内江市2023～2024学年度第一学期高二期末检测题
数学
本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置.
2.选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.不能答在试题卷上.
3.非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上.
4.考试结束后，监考人员将答题卡收回.
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上.）
1.直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则（ ）
A. B. C.1 D.2
3.如图，空间四边形的对角线，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为90°，则（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
4.若双曲线（，）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
6.如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，，则（ ）
A. B.
C. D.
7.我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
8.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“蹴”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表画上有四个点、、、，其中平面，，，，，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分.）
9.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C.平面平面 D.
10.数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A.是递增数列 B.当时，
C. D.当或时，取得最大值
11.已知圆：，直线：，则（ ）
A.直线过定点
B.直线与圆可能相离
C.圆被轴截得的弦长为
D.圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为
12.已知抛物线：（）的焦点为，点、在拋物线上，且、都在轴的上方，（为坐标原点），记、的面积分别为、，则（ ）
A.直线的斜率为 B.直线的斜率为
C. D.
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.若数列为等差数列且，，则数列的通项公式______.
14.正方体的棱长为，、是、的中点，则点到平面的距离为______.
15.如图，已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时：
（1）当点在圆内且不与点重合时，点的轨迹是______（从圆、椭圆、抛物线中选择一个填写）；
（2）当______（从＞、＝、＜中选择一个填写）时，点的轨迹是双曲线的一支.
16.设、是椭圆：（）与双曲线：（，）的公共焦点，曲线、在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是______.
四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17.（本题满分10分）
已知圆过、两点且圆心在直线：上.经过点的直线交圆于，两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若，求直线的方程.
18.（本题满分12分）
设为数列的前项和，已知，.
（1）数列是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
19.（本题满分12分）
如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求锐二面角的余弦值.
20.（本题满分12分）
在“①，；②，”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.已知正项等比数列的前项和为，满足______.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21.（本题满分12分）
如图，四棱锥的底面为菱形，平面平面，，，，为上一点，且.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）在棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
22.（本题满分12分）
已知椭圆：（）的左、右顶点分别为、，且，离心率为，为椭圆的右焦点，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的面积；
（3）设是椭圆上不同于、的一点，直线、与直线分别交于点、.证明：以线段为直径的圆过定点，并求出定点的坐标.
