北京市密云区2023—2024学年第一学期期末考试
高一数学试卷 2024.1
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.命题，都有，则命题的否定为（ ）
A.，使得 B.，都有
C.，使得 D.，都有
3.已知，则有（ ）
A.最大值0 B.最小值0 C.最大值 D.最小值
4.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
5.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
6.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（ ）
A. B. C. D.
7.近年来，密云区生物多样性保护成效显著，四百多种野生鸟类在密云繁衍生息，近万候鸟变留鸟，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为耗氧量的函数.若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为，则两岁燕子飞行速度为时，其耗氧量达到（ ）
A.80个单位 B.120个单位 C.160个单位 D.320个单位
8.已知，，，则“”的一个充分而不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
9.设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.____________.
12.函数的定义域是__________.
13.已知幂函数的图象经过点，则此函数的解析式为_______________.
14.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则__________；若（，且），则的一个取值为__________.
15.已知函数给出下列五个结论：
①存在无数个零点；
②不等式的解集为（）；
③在区间上单调递减；
④函数的图象关于直线对称；
⑤对（），都有.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题13分）已知集合，.
（Ⅰ）当时，求和；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围.
17.（本小题13分）已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）在平面直角坐标系中，以为始边，已知角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.
18.（本小题15分）已知函数.
（Ⅰ）若不等式的解集为，求的值；
（Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）解关于的不等式.
19.（本小题15分）已知函数.（）
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数唯一确定，求在区间上的最大值和最小值.
条件①：当时，的最小值为；
条件②：函数的图象对称中心与相邻的对称轴之间的距离为；
条件③：函数在区间上单调递增.
注：如果选择的条件不符合要求.第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
20.（本小题15分）已知函数.
（Ⅰ）若为奇函数，
（ⅰ）求的值，并说明理由；
（ⅱ）比较与的大小；（结论不要求证明）
（Ⅱ）若，使得，求的取值范围.
21.（本小题14分）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”
（Ⅰ）判断集合是否是“和谐集”，并说明理由；
（Ⅱ）求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数；
（Ⅲ）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
