结业测试卷（范围：第六、七、八章）（基础篇）-【寒假预科讲义】（人教A版2019必修第二册）
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
（2023上·四川内江·高二校考阶段练习）
1．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ）
A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）
（2023·四川南充·统考一模）
2．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023上·辽宁铁岭·高一校考期末）
3．如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·陕西安康·校联考模拟预测）
4．已知复数满足，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
（2023上·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）
5．已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）
6．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有某种溶液，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1和图2中溶液体积分别为，则（ ）
A． B． C．1 D．
（2023上·全国·高三专题练习）
7．在中，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·四川南充·高二阆中中学校考阶段练习）
8．如图所示，空间四边形的各边都相等，分别是的中点，下列四个结论中不正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（2023·全国·高一专题练习）
9．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小
（2023上·辽宁·高三校联考期中）
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．z在复平面内对应的点的坐标为
B．
C．z在复平面内对应的点与点关于原点对称
D．
（2023上·黑龙江大庆·高三校考期末）
11．已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为2
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
（2023上·福建漳州·高三校考阶段练习）
12．如图，三棱锥中，，平面，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与平面所成的角为
B．二面角的正切值为
C．点到平面的距离为
D．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（2023下·新疆喀什·高一统考期末）
13．已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 .
（2023·河南·统考模拟预测）
14．在平行四边形中，，，点为线段 的中点，则 .
（2023上·贵州贵阳·高三校考阶段练习）
15．在中，内角所对的边分别为，则的面积为 .
（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）
16．如图，已知在棱长为2的正方体中，点E，F，H分别是，，的中点，点G是上的动点，下列结论中正确的有 .
①平面ABH ②平面
③直线EF与所成的角为 ④三棱锥的体积最大值为
四．解答题（共6小题，满分70分）
（2023·全国·高一课堂例题）
17．实数m取什么值时，复数是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
（2023上·新疆·高三学业考试）
18．已知．
(1)若θ为与的夹角，求θ的值；
(2)若与垂直，求k的值．
（2023下·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）
19．正四棱锥的底面边长为4，高为1，求：
(1)求棱锥的体积和侧棱长；
(2)求棱锥的表面积．
（2023上·河北张家口·高三校联考阶段练习）
20．已知复数满足（是虚数单位）.
(1)求；
(2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
（2023上·西藏林芝·高三统考期末）
21．设的内角的对边分别为，且．
(1)求的大小；
(2)若，且的周长为，求的面积．
（2023·上海杨浦·统考一模）
22．如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形.
(1)求证：平面平面；
(2)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】根据棱柱的结构特征确定答案即可.
【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，
所以，棱柱有（1）（3）（5）.
故选：A
2．D
【分析】根据题意，得到，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由，可得，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
3．D
【分析】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.
对于B，因为，故，故B正确.
对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.
对于D，因为交于，故不成立，故D错误，
故选：D.
4．D
【分析】借助复数的基本概念和运算即可得.
【详解】，故.
故选：D.
5．B
【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可.
【详解】因为，，
且，
所以，即，解得.
故选：B
6．D
【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出.
【详解】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为4，在图2中，中间液面四边形的边长为5，
则，
所以.
故选：D.
7．B
【分析】借助余弦定理得出，即可得出，结合面积公式即可得.
【详解】在中，因为，，，
由余弦定理得，
因为，所以，
则.
故选：B.
8．C
【分析】根据线面平行、线面垂直、面面垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，连接，由于分别是的中点，
所以，由于平面，平面，
所以平面，所以A选项正确.
B选项，连接，
由于三角形和三角形是等边三角形，
是的中点，所以，
由于平面，所以平面，B选项正确.
C选项，几何体是正四面体，
设在底面上的射影为，连接，则平面，
且是等边三角形的中心，
连接，由于分别是的中点，
所以是等边三角形的中位线，所以，
所以平面与平面不垂直，C选项错误.
D选项，连接，
同理B选项的分析可得平面，
由于平面，所以平面平面，所以D选项正确.
故选：C
9．ABC
【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；
【详解】解：依题意球的表面积为，
圆柱的侧面积为，所以AC选项正确．
圆锥的侧面积为，所以B选项正确．
圆锥的表面积为，
圆柱的表面积为，所以D选项不正确．
故选：ABC
10．BCD
【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据复数的几何意义求解AC，根据共轭复数的概念求解B，根据模长公式即可求解D.
【详解】由题可得，
即在复平面内对应的点的坐标为，与点关于原点对称，A错误，C正确；
，B正确；
，D正确.
故选：BCD
11．AB
【分析】利用向量平行垂直的坐标表示，向量模和夹角的坐标表示，通过计算验证各选项中的结论.
【详解】已知，
若，则，解得，A选项正确；
若，则，解得，B选项正确；
，，
当时，有最小值，C选项错误；
当时，，，
向量与向量的夹角为，D选项错误.
故选：AB
12．ABC
【分析】根据线面垂直结合线面角的定义即可求解A，根据二面角定义即可求解B，利用等体积法即可求解C，根据垂直关系得矛盾即可判断D.
【详解】选项A，因为平面，故为直线与平面所成的角，
又，所以，
故直线与平面所成的角是，故A正确；
选项B，取中点为，连接，，
因为，平面，
所以，，
因为，平面，所以平面，
故为二面角的平面角，则，
故二面角的正切值为，故B正确；
选项C，因为，
所以，
设到面的距离为，则由，
可得：，解得，故C正确；
选项D，若，又，且，
平面,则面，
则有，与矛盾，故D错误．
故选:ABC．
13．
【分析】根据复数为纯虚数，列式求解.
【详解】由复数为纯虚数，可知，
，得.
故答案为：
14．
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求向量数量积.
【详解】，以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
，则，
有，，，，，
.
故答案为：
15．
【分析】根据余弦定理可得，由题意得，结合三角形的面积公式计算即可求解.
【详解】因为，由余弦定理得，
因为，所以，得，
故.
故答案为：
16．②③④
【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理判定①错②对；根据异面直线夹角的求法判定③对；利用三棱锥体积公式判定④对.
【详解】
对于①：因为为正方体，所以，
则A，，，四点共面，即在平面上，故①错；
对于②连接，，，
在正方体中，，面，平面，
∴，
∵，，面，∴⊥面，
又面，∴，
又∵，面，平面，∴．
∵，，面，∴⊥面，
∵平面，∴，
又，，， 面，
∴面，故②正确；
对于③：取中点I，连接，
在中，∵F，I分别为，的中点，∴，
又，∴，∴与所成角为，
在中，，，，
∴，∴与所成的角为，故③正确；
对于④：当G位于点时，三棱锥的体积最大，故
，故④正确.
故答案为：②③④.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数是实数，则求解；
（2）根据复数是虚数，则求解；
（3）根据复数是纯虚数，则求解；
【详解】（1）当，即时，复数z是实数．
（2）当，即时，复数z是虚数．
（3）当且，即时，复数z是纯虚数．
18．(1)；
(2)0.
【分析】（1）根据向量的数量积的定义和题设条件，分别计算出两向量的模长和数量积，代入向量的夹角的坐标公式即得；
（2）利用向量垂直的充要条件，推得方程，将向量模长和数量积代入即得.
【详解】（1）由可得，
则且，由因，故.
（2）由与垂直知，即得：，
因，故得：，解得：
19．(1)，
(2)
【分析】（1）根据棱锥的体积公式及勾股定理计算即可.
（2）利用三角形及正方形面积公式计算即可.
【详解】（1）
由题意可知底面四边形是正方形，设其对角线交于O点，则，
所以四棱锥的体积为：，
侧棱长；
（2）取的中点E，连接，易知，
由上可知，
所以棱锥的表面积为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的除法计算法则和模的运算公式求解即可；
（2）根据复数乘法计算法则和在复平面对应点的特征求解即可.
【详解】（1）由，
得，所以
（2）因为，
所以
，
因为该复数在复平面内对应的点在第三象限，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理进行求解即可；
（2）根据三角形公式、结合余弦定理进行求解即可.
【详解】（1）根据正弦定理，由
，
由余弦定理可知：，
所以，因为，所以；
（2）因为，
所以有，
而的周长为，所以，
于是有，
所以的面积为.
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；
（2）利用等体积法求解即可.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，
因为底面是正方形，所以，
又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）因为四棱锥的体积为，
所以，解得，
又平面，所以，
所以，,
所以正三角形面积为，
设点到平面的距离为，
则由可得：，
即，解得.
即点到平面的距离为.
答案第1页，共2页
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