1.2 空间向量基本定理【第一课】
1.2 空间向量基本定理
[课标要求]
1.掌握空间向量基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题.
[明确任务]
1.空间向量基本定理的应用. (数学抽象)
2.应用空间向量基本定理解决问题. (数学建模)
1.平面向量基本定理、基底.、正交分解、共线向量
核心知识点1 基底的判断
1.基底的定义：
由空间向量基本定理知，如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
例1
1．已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
归纳总结 判断基底的基本思路及方法
（1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能作为基底；若不共面，则能作为基底．
（2）方法：①若向量中存在零向量，则不能作为基底；若存在一个向量可以用另外两个向量线性表示，则不能作为基底．②已知三个向量，，，可假设，运用向量共面的充要条件，建立关于，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
【举一反三】
2．在三棱柱中，可以作为空间向量一组基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
（2023·湖南师大附中高二期中）
3．设是空间的一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一组基底的向量是（ ）
A． B． C． D．或
核心知识点2 用基底表示向量
1.空间向量基本定理：
如果三个向量a，b，c不共面，在此处键入公式。那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
设向量a，b，c不共面(如图所示). 过点O作＝a，＝b，＝c，＝p，过点P作直线PP'平行于OC，交平面OAB于点P'，在平面OAB内，过P'作直线P'A'∥OB，P'B'∥OA，分别与直线OA，OB相交于点A'，B'，于是存在三个实数x，y，z，使＝xa，＝yb，＝zc，，即＝p＝xa＋yb＋zc①. 如果p＝xa＋yb＋zc＝x'a＋y'b＋z'c，那么可推出x＝x'，y＝y'，z＝z'，这也证明了表达式①是唯一的.
2.空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
例2 . （2023·安徽安庆桐城中学校考期末）
4．如图，在平行六面体中，设，则（ ）
A． B．
C． D．
归纳总结 用基底表示向量的基本方法
若基底确定，则要充分利用向量加法、减法运算的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行运算；若没给定基底，则先选择基底，且要尽量使所选的基向量能简便地表示其他向量，并且关系更明确(如夹角或线段长度)，这样更利于解题.
【举一反三】
5．如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在梯形中，，，点为空间任一点，设，，，则向量用表示为 .
核心知识点3 空间向量基本定理的应用
例3.
8．如图，在平行六面体中，设，，，E，F分别是的中点.
(1)用向量表示；
(2)若，求实数x，y，z的值.
归纳总结 空间向量基本定理应用的基本思路
由空间向量基本定理可以知道，如果三个向量a，b，c是不共面的向量(基向量)，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，并且有序数组(x，y，z)是唯一的，这是利用空间向量基本定理求参数值的理论基础.
【举一反三】
9．为空间的一个基底，且存在实数，，使得，则，，的值分别为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD（ ）
A．相交 B．平行
C．垂直 D．无法判位置关系
11．如图，在正方体中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（ ）
A．a B．a C．a D．a
12．如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)若，求的值.
13．若：是三个非零向量；：为空间的一个基底，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．
15．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．已知，，，是空间中的四点，若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面
D．若是两个不共线的向量，而，且，则构成空间的一个基底
16．如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为
A． B．
C． D．
（2023·山东菏泽三中高二期末）
17．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
18．已知平行六面体，且，，＝c.
(1)用表示向量；
(2)设G，H分别是侧面和的中心，用表示.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据空间基底的概念，结合选项，判断每组向量是否共面，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以不能作为一组空间基底；
对于B中，假设共面，则存在，使得，
即，可得，此时方程组无解，所以不共面，所以向量可以作为空间的一组基底；
对于C中，由，所以不能作为空间的一组基底；
对于D中，由，所以不能作为空间的一组基底.
故选：B.
2．C
【分析】根据三棱柱的性质和空间向量基底的定义逐个分析判断
【详解】对于A，因为向量，，是共面向量，∥，所以，，是共面向量，所以不能作为基底，所以A错误，
对于B，因为，，是共面向量，所以不能作为基底，所以B错误，
对于C，因为，，这三个向量不共面，所以能作为一组基底，所以C正确，
对于D，因为，，是共面向量，所以不能作为基底，所以D错误，
故选：C
3．C
【分析】根据基底向量不共面分析即可.
【详解】因为是空间的一组基底，所以向量不共面，
而向量，，则，，
故，与或共面，则不与共面.
故选：C.
4．B
【分析】根据空间向量线性运算求解即可.
【详解】连接，如图所示：
.
故选：B
5．B
【分析】根据空间向量基本定理结合平行六面体的性质求解
【详解】因为在平行六面体中，M为，的交点，，，，
所以
,
故选：B
6．C
【分析】根据空间向量的线性运算可得结果.
【详解】因为，即为的中点，所以，
因为，所以，
.
故选：C
7．
【分析】根据题意，得到，结合向量的线性运算法则，即可求解.
【详解】在梯形 中，，，可得，
所以，即，
所以.
故答案为：.
8．(1)，；
(2).
【分析】（1）根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得.
（2）用表示，再利用空间向量基本定理求解即得.
【详解】（1）在平行六面体中，
，
由E，F分别是的中点，得.
（2），
而，且不共面，
所以.
9．B
【分析】根据基底的定义、向量共面的充要条件，利用反证法运算分析即可得解.
【详解】解：假设，，中存在一个不为0的数，不妨设，
则由可得：，
∴由向量共面的充要条件知向量共面，
这与是空间的一个基底矛盾，故假设不真，
即，，中不存在一个不为0的数，
∴.
故选：B.
10．C
【分析】结合空间向量的数量积判断即可.
【详解】因为，
所以.
所以，即.
所以直线AB与CD垂直.
故选：C.
11．A
【分析】根据空间向量的基本定理，用，，表示，将线段长度问题转换为向量模长问题.
【详解】设，，，则构成空间的一个正交基底.
，
故，所以MN＝a.
故选：A
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明；
（2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】（1）证明：
，
∴，，，四点共面.
（2）
，
∴，，，
∴.
13．B
【分析】根据空间向量基地概念和必要不充分条件即可得到答案.
【详解】空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，
若是三个共面的非零向量，则不能作为空间的一个基底；不满足充分性，
若为空间的一个基底，则不共面，即是三个非零向量，
所以是的必要不充分条件，
故选：B.
14．D
【分析】根据向量基底的定义解答即可.
【详解】因为能与，构成基底的向量与，不共面.
又，，，
则，，都分别与，共面，故ABC错误；
假设与，共面，
则存在，使得，
则，
所以共面，这与为基底矛盾，假设不成立，
所以与，不共面，可构成基底，故D正确.
故选：D.
15．ABC
【分析】利用命题的真假、基底的定义、向量共面的充要条件运算分析即可得解.
【详解】对于选项A，因为可以作为空间的一个基底，所以不共面.
假设与共面，则存在实数，使得，
因为与共线，，所以存在实数，使得，
因为，所以，从而，
所以与共面，与已知条件矛盾，故假设不真，
所以与不共面，即A是真命题；
对于选项B，根据基底的定义，可知空间中任何三个不共面的向量都可以构成
空间的一个基底，因为，即经平移后共线，则和空间任何
向量都共面，所以与任何向量都不能构成空间的一个基底，故B是真命题；
对于选项C，由，，有公共点，则因为，，不能
构成空间的一个基底，所以向量，，共面，即，，，
四点共面，故C是真命题；
对于选项D，因为，且，所以共面，
所以不能构成空间的一个基底，故D是假命题.
故选：ABC.
16．A
【详解】,故本题正确答案为
17．A
【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值.
【详解】，，
，
，，，.
故选：A.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）（2）根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得.
【详解】（1）在平行六面体中，
.
（2）在平行六面体中，G，H分别是侧面和的中心，
则分别是线段的中点，
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页1.2 空间向量基本定理【第一练】
1.2 空间向量基本定理【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.运用基底的概念判定三个向量组成的向量组能否作为基底，培养数学运算和逻辑推理能
力，如第1题、第4题；
2.运用基底表示空间向量，发展直观想象和数学运算素养，如第2题、第3题、如第7题：
3.运用空间向量基本定理解决简单立体几何问题，锻炼逻辑推理和数学运算能力，如第6题、如第10题：
一、填空题
（2023·宁夏银川一中高二月考）
1．设，，是三个不共面的向量，现在从①；②；③；④；⑤中选出可以与，构成空间的一个基底的向量，则所有可以选择的向量为 （填序号）.
（2023·江苏南通金沙中学高二期中）
2．在平行六面体中，E，F分别是棱，的中点，记，，，则等于 （用，，表示）．
（2023·山西师大附中高二期中）
3．已知正方体中，若点是侧面的中心，且，则 .
（2023·江苏淮安高二统考期末）
4．设,且是空间向量的一组基底.给出下列向量组：①,②,③,④.其中可以作为空间向量的一组基的有 个.
（2023·江西赣州高二期中）
5．定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底．若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ．
（2023·河北邯郸高二期末）
6．平行六面体的底面是菱形，，，，线段的长度为，则 ．
二、解答题
（2023·福建莆田五中高二月考）
7．如图，给定长方体，点在棱的延长线上，且．设，，，试用、、的线性组合表示下列向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
（2023·海南海口高二期中）
8．如图，已知正方体，分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中的值：
(1)；
(2)；
(3).
（2023·陕西榆林高二期中）
9．如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，.
(1)用，，表示；
(2)计算.
（2023·山东泰安实验高中高二期中）
10．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设.
(1)将空间向量与用表示出来；
(2)求线段BM的长.
【易错题目】第1题、第4题 、第5题、第10题
【复盘要点】判断给出的三个向量组成的向量组能否作为空间的一个基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面判断三个向量是否共面难以入手，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．.
【典例】（2023·广东佛山一中高二期中）
11．已知为空间的组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【复盘训练】
（2023·福建三明一中高二期中）
12．若：是三个非零向量；：为空间的一个基底，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
A．，，不能构成空间的一个基底
B．，，不能构成空间的一个基底
C．，，不能构成空间的一个基底
D．，，能构成空间的一个基底
（2023·山东滨州高二月考）
14．在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
（2023·安徽铜陵高二期中）
15．是空间的一个基底，向量，若，则x，y，z分别为（ ）
A．，， B．，1，
C．，1， D．，1，
（2023·福建三明一中高二月考）
16．在四棱锥中，底面是矩形，为矩形外接圆的圆心.若，则 .
（2023·湖南衡阳高二期中）
17．已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．③④⑤
【分析】利用空间向量基本定理即可求出结果.
【详解】根据空间向量基本定理知，构成基底只要三个向量不共面即可，故①②不合题意，
又，，是三个不共面的向量，故只要含有向量即可，故③④⑤都可以.
故答案为：③④⑤.
2．
【分析】连接，利用空间向量的线性运算求解.
【详解】连接，，
故答案为：
3．
【分析】根据空间向量基本定理可求出即可得解.
【详解】
因为，
又因为，
所以，.
则.
故答案为：.
4．3
【分析】三个不共面的向量可作为空间向量的一组基底，分析各向量组是否共面即可.
【详解】如图，设，则，
由四点不共面可知向量也不共面.
同理可知和也不共面，可以作为空间向量的一组基，
因，故共面，故不能作为空间向量的一组基底.
故答案为：3.
5．
【分析】根据基底的定义结合题意直接求解即可
【详解】因为向量在基底下的坐标为，
所以，
所以向量在基底下的坐标为，
故答案为：
6．##0.5
【分析】利用空间向量基本定理得到，平方后，利用数量积公式列出方程，求出.
【详解】因为，
所以
因为，，，，
所以，
解得：.
故答案为：
7．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据空间向量加减运算法则，将各向量表示成以为基底即可．
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
8．(1)；
(2)；
(3)；
【分析】（1）（2）（3）根据空间向量线性运算法则，利用基底表示出所求向量，由此可得结果.
【详解】（1），故；
（2），故；
（3），故.
9．(1)
(2)1
【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用表示出；
（2）应用向量数量积的运算律得，结合已知即可求数量积.
【详解】（1）；
（2）
.
10．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算用基底表示向量即可；
（2）利用（1）的结论以及模长公式计算可求出结果.
【详解】（1）
（2）由题可知因为，
又因为，
所以.
易得，
所以，
所以，即的长为.
11．B
【分析】根据空间向量基底的概念，结合选项，判断每组向量是否共面，即可求解.
【详解】对于A，因为，所以，，共面，不能作为空间的基底；
对于选项B，假设，，共面，则存在实数，，使得，
即，所以，无解，所以，，不共面，可以作为空间的基底，故B正确；
对于C，因为，所以，，共面，不能作为空间的基底；
对于D，因为，所以，，共面，不能作为空间的基底.
故选：B.
12．B
【分析】根据空间向量基地概念和必要不充分条件即可得到答案.
【详解】空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，
若是三个共面的非零向量，则不能作为空间的一个基底；不满足充分性，
若为空间的一个基底，则不共面，即是三个非零向量，
所以是的必要不充分条件，
故选：B.
13．ABC
【分析】由，，与，，均不能构成空间的一个基底，可得空间五点，，，，共面，从而可作判断
【详解】解：因为，，与，，均不能构成空间的一个基底，且，，，，是空间五点，且任何三点不共线
所以空间五点，，，，共面，
所以这五点，，，，中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC正确，D错误.
故选：ABC
【点睛】此题考查空间向量基本定理，属于基础题
14．B
【分析】根据基底的含义，非零向量不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，即可判断
【详解】因为为基底，所以非零向量不在同一平面内，
即O，A，B，C四点不共面，
所以A、C、D选项说法正确，B错误．
故选：B
15．A
【分析】根据空间向量基本定理结合基底得到方程组，计算即可.
【详解】依题意，得
由空间向量基本定理，得，解得.
故选：A.
16．
【分析】利用空间向量基本定理将用出来，从而可求出的值，进而可得答案
【详解】如图，由题意可得
，
则，，，故.
故答案为：
17．
【分析】设，然后整理解方程组即可.
【详解】设，
即有，
因为是空间的一个单位正交基底，
所以有，
所以.
故答案为：
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