1.1.1 空间向量及其线性运算【第一课】
1.1 空间向量及其运算（第一课）
1.1.1 空间向量及其线性运算
[课标要求]
1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．
2．经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程．
3．掌握空间向量的线性运算．
[明确任务]
1．空间向量加减运算及其几何意义． (数学运算)
2．向量加减运算由平面向空间的推广． (直观想象)
3．应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题． (数学抽象)
4．证明线面平行与面面平行． (数学建模)
1．平面向量的概念．、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量．
2．平面向量的加法、减法、数乘运算．
核心知识点1 空间向量的有关概念
1． 定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
2． 长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．
3． 表示法：（1）几何表示法：空间向量用有向线段表示．
（2）字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，
其模记为|a|或||．
4． 几类特殊向量
特殊向量 定义 表示法
零向量 长度为0的向量 0
单位向量 模为1的向量 |a|＝1或||＝1
相反向量 与a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量 －a
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或
例1（2023·福建三明一中高二月考）(多选题)
1．下列命题中，是真命题的为 （ ）
A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同
B．若空间向量满足，则
C．若空间向量满足，则
D．在正方体中，必有
归纳总结 理解空间向量相关概念的注意点
（1）单位向量、零向量都只规定了向量的模而没有规定方向． 需注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等．
（2）和平面向量一样，若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同．
（3）向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 因此，关于两个向量的比较，我们仅研究二者是否相等．
【举一反三】(多选题)
2．下列命题中正确的是 （ ）
A．如果,是两个单位向量，则
B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同
C．若，，为非零向量，且，，则
D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内
核心知识点2 空间向量的线性运算
1．空间向量的加法与减法
加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
加法运算 交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
提示：（1）求向量的和时，可以首尾相接(三角形法则)，也可以共起点(平行四边形法则)；求向量的差时，必须共起点(三角形法则：共起点，指被减)．
（2）空间向量加减运算的运算法则，所满足的运算律与平面向量完全相同．
2．空间向量的数乘
定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ＜0 λa与向量a的方向相反
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
提示：（1）λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．
（2）向量λa与向量a一定是共线向量．
例2 ．（2023·江西赣州高二期末）
3．如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
归纳总结 解决空间向量线性运算问题的方法及技巧
进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和． 运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
【举一反三】
4．如图，在三棱锥O－ABC中，D是BC的中点，若，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是 .（填序号）.
①； ②；
③； ④.
核心知识点3 共线向量与共面向量
1．共线向量
（1）空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
（2）直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．直线可以由其上一点和它的方向向量确定．
提示：：（1）向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上．
（2）因为零向量0＝0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立．因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线．
例3． （2023·北京大兴区高二期中）
6．已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
归纳总结 空间向量共线判断方法
1． 要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线．
2． 证明空间三点P，A，B共线的方法
（1）＝λ(λ∈R)；
（2）对空间任一点O，(t∈R)；
（3）对空间任一点O，(x＋y＝1)．
【举一反三】
7．若向量与不共线且，，，则（ ）
A．，，共线 B．与共线
C．与共线 D．，，共面
8．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断与是否共线.
2．共面向量
（1）向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α．
（2）共面向量
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
提示：向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．
例4．
9．设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？
归纳总结：证明空间三向量或四点共面的方法
设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．
【举一反三】
10．是空间四点，有以下条件：
①； ②；
③； ④，
能使四点一定共面的条件是
11．已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证：
(1)四点共面；
(2)；
12．下列命题中，真命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
14．化简：＝ ．
15．设是不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则实数k为 ．
（2023·山东泰安一中高二月考）
16．有下列命题：
①若，则四点共线；
②若，则三点共线；
③若为不共线的非零向量，，则；
④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则．
其中是真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上)．
17．如图所示，在正方体中，M、N、P、Q分别为、、、的中点，用共面向量定理证明M、N、P、Q四点共面．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．CD
【分析】根据给定条件，利用空间向量的相关概念逐项判断即得.
【详解】当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等的向量起点、终点不一定相同，A错误；
模相等的两个向量的方向是任意的，即模相等的两个向量的方向不一定相同，也不一定相反，B错误；
由相等向量的传递性，知若，则，C正确；
在正方体中，四边形是矩形，向量与的方向相同，模也相等，即，D正确，
故选：CD
2．ACD
【分析】根据向量的定义及性质可以判定.
【详解】由单位向量的定义即得，故A正确；
共线不一定同向，故B错误；
因为为非零向量，且，所以，故C正确；
在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故D正确．
故选：ACD
3．A
【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】-＝，
.
故选：A．
4．C
【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.
【详解】因为D为BC的中点，所以，
又，
所以．
故选:C．
5．①②③
【分析】根据向量的加法运算法则即可逐一求解.
【详解】,,,
,故①②③均正确，④错误，
故答案为：①②③
6．证明见解析
【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可.
【详解】因为，，，
所以，
，
所以，
所以，又为公共点，
所以B，C，D三点共线．
7．D
【分析】利用空间向量共线定理和共面定理判断.
【详解】因为，即，即，
又与不共线，所以共面，故D正确A错误；
因为，所以与不共线，与不共线，故BC错误；
故选：D
8．证明见解析.
【分析】连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，然后利用三角形中位线定理和空间向量的线性运算将用表示，从而可证得结论
【详解】解：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别为AB、CD的中点.
∴.
又∵E、F、G三点共面，
∴，即与共线.
9．共面
【分析】由已知得，由此利用空间向量共面定理能证明，，，四点共面．
【详解】解：，，，四点共面．
理由如下：，，
，
即，由，，三点不共线，可知和不共线，
由共面定理可知向量，，共面，
，，，四点共面．
10．④
【分析】利用空间向量共面定理即可判断.
【详解】对于④，，由空间向量共面定理可知四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件.
故答案为：④
【点睛】本题考查空间向量共面定理，属于基础题.
11．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据共面向量的基本定理，由可得是共面向量，又因为有公共点A，从而可得证；
（2）结合图形，利用向量的线性运算证明即可.
【详解】（1）因为，
由共面向量的基本定理，可得是共面向量，
又因为有公共点A，所以四点共面．
（2）因为 ,
则
,
所以 .
12．ABC
【分析】根据向量的定义即可判断出答案.
【详解】对于A，向量是有向线段，不能比较大小，此命题是真命题.
对于B，两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同，此命题是真命题.
对于C，零向量：模长为0的向量，此命题是真命题.
对于D，共线的单位向量是相等向量或相反向量，此命题是假命题.
故选：ABC.
13．A
【分析】根据空间向量线性运算计算即可.
【详解】
.
故选：A.
14．
【分析】根据题意，由向量的加法运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】.
故答案为：
15．
【分析】利用向量的减法求出，再利用向量共线求出k即得.
【详解】由，，得，
由A，B，D三点共线，得，而，因此，解得，
所以实数k为.
故答案为：
16．②③④
【分析】根据共线向量的定义及推论，以及向量的基本概念，逐项判定，即可求解.
【详解】①中，若，根据共线向量的定义，可得或四点共线，
所以①不正确；
②中，若，且和由公共点点，所以三点共线，所以②正确；
③中，由，可得，所以，所以③正确；
④中，由，可得，所以，所以④正确．
故答案为：②③④.
17．证明见解析
【分析】通过证明向量、、共面来证得四点共面.
【详解】令，，，
所以，，
，
设，
，
则，解得，
则．所以向量、、共面，
所以M、N、P、Q四点共面．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页1.1 .1空间向量及其线性运算【第一练】
1.1.1 空间向量及其运算【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.对空间向量及其相关概念的判断，培养逻辑推理能力，如第1题；
2.运用空间向量的线性运算，发展直观想象和数学运算素养，如第2题、如第7题：
3.运用空间向量判断三点共线，锻炼逻辑推理和数学运算能力，如第6题、如第8题：
4.运用空间向量判断四点共面，培养逻辑推理和数学抽象能力，如第5题、如第10题：
一、填空题
1．①零向量没有方向；
②两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
③空间向量的数乘运算中，只决定向量的大小， 不决定向量的方向；
④若， 则；
⑤若两个向量的起点重合， 则这两个向量的方向相同；
则上述命题中正确的是 .（填写序号）
2．已知平行六面体，，则m的值为 ．
3．运算的结果是 ．
4．若，其中，，为已知向量，则未知向量 .
5．对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，若，，，四点共面，则 .
6．设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ．
二、解答题
7．如图，在正方体中，点为棱上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：
(1)的相等向量，的相反向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示；
(3)用三个或三个以上向量的和表示．
8．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．
9．求证：点在直线上的充要条件是对空间任意一个确定的点，存在实数使得.
10．已知空间向量不共面，且，判断向量是否共面，并说明理由.
【易错题目】第5题、第6题 、第8题、第10题
【复盘要点】运用空间向量判断点共线与共面问题
1. 证明空间三点P，A，B共线的方法
(1)＝λ(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，(t∈R)；
(3)对空间任一点O，(x＋y＝1).
2. 解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有或(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数；
3.证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论
（1）；
（2）对空间任一点O，；
（3）对空间任一点O，(x＋y＋z＝1)；
（4）(或或).
【复盘训练】
11．在正方体中，下列各组向量与共面的有（ ）
A． B． C． D．
12．下面关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．若向量平行，则所在直线平行
B．若向量所在直线是异面直线，则不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面
13．(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则结论正确的有（ ）
A．P∈直线AB B．P 直线AB
C．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线
14．对于空间中的三个向量，，，它们一定是（ ）
A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．无法判断
15．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中不能确定点M，A，B，C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
16．若向量，，不共面，则下列选项中的三个向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．④
【分析】依据空间向量的有关概念辨析即可.
【详解】①错误.零向量与任意向量平行，方向是任意的.
②错误.方向相同或相反的向量称为共线向量，只终点相同，不能确定向量的方向.
③错误.当时，与向量的方向相同；当时，与向量的方向相反.
④正确.由相反向量的概念可知正确.
⑤错误.若两个向量的起点重合，终点不确定，则其方向的关系不能确定.
故答案为：④
2．1
【分析】根据平行六面体的性质和空间向量的线性运算求即可.
【详解】
，所以.
故答案为：1.
3．
【分析】利用向量加减、数乘运算律化简即可.
【详解】.
故答案为：
4．
【分析】由已知及向量的加减、数乘运算求未知向量即可.
【详解】由题设，则，故.
故答案为：
5．3
【分析】利用空间中四点共面的判定条件进行求解.
【详解】已知空间任意一点和不共线的三点，，，
则，，，四点共面等价于：，
所以.
故答案为：3.
6．
【分析】利用空间向量共线的充要条件计算即可.
【详解】因为，，
则有，
又三点共线，于是可设，
即，而不共线，
因此，解得，
所以实数k的值是.
故答案为：
7．(1)、、；，
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据相等向量以及相反向量的概念即可得答案.
（2）根据向量的加减运算即可得答案.
（3）利用向量首尾依次相接的规则，即可求得答案.
【详解】（1）根据正方体棱与棱之间的关系，的相等向量有、、，
的相反向量有：、．
（2）用“首尾规则”求解，如果只在含的三角形中考虑，有，
，，．（答案不唯一）
（3）用“首尾规则”求解，则，．
（答案不唯一）
8．证明见解析
【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线．
【详解】连接，，
∵
，
，
∴，∴，
又，∴，，三点共线．
9．证明见解析.
【分析】由向量共线的线性关系证明即可.
【详解】证明：必要性
在直线上
．所以点在直线上是的必要条件；
充分性
由，
所以在直线上，所以是点在直线上的充分条件，
题目得证．
10．共面，理由见解析.
【分析】根据向量共面定理，假设共面，则存在实数，使得.
【详解】假设共面，则存在实数，使得，
则，
∵不共面，∴即故向量共面.
11．C
【分析】作图，根据即得解.
【详解】解：
如图，,
因为共面，所以共面，其它几组都不共面.
故选；C
12．D
【分析】利用平行向量的意义判断A；利用空间共面向量的意义判断BCD作答.
【详解】向量平行，所在直线可以重合，也可以平行，A错误；
可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，BC错误；
显然AB，AC，AD是空间中有公共端点A，但不共面的三条线段，所以向量，，不共面，D正确.
故选：D
13．ACD
【解析】由题意可得，代入向量式化简可得，可得向量共线，进而可得三点共线，可得结论．
【详解】解:因为，所以，
所以=，
即=n()，
即=n，所以共线.
又有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.
因为=m+n，故O，A，B，P四点共面.
故答案为：ACD
【点睛】本题考查平面向量的共线问题，熟练表示出向量共线的条件是解决问题的关键，属中档题．
14．A
【分析】根据平面向量基本定理分析判断.
【详解】若共线，则，，共线，，，共面；
若不共线，则可作为基底向量，可以用基底向量线性表示，根据平面向量基本定理可知：，，共面；
综上所述：，，共面.
故选：A.
15．ABC
【分析】利用向量四点共面的结论进行判断即可.
【详解】设，
若点与点共面，则，
逐一检验各选项，可知只有选项D确定点M，A，B，C共面.
故选：ABC.
16．C
【分析】利用向量共面定理即可判断出结论．
【详解】解：向量，，不共面，
A，，因此三个向量共面；
B，，因此三个向量共面；
C，若，，共面，则存在实数，使得，
故，这与，，不共面矛盾，故三个向量不共面；
D，，因此三个向量一定共面．
故选：C．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
