红山区2023-2024学年度第一学期学情监测试卷
高一年级数学（A卷）
注意事项：
1.本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，请将第I卷选择题的答案用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；请将第Ⅱ卷的答案用黑色中性笔答在答题卡指定答题区域内，在本试卷上答题无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留.
2.本试卷共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题共60分）
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小愿给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
2.方程的解所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
3.已知角的终边经过点，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
5.今有一组实验数据如下：
2 3 4 5 6
1.5 2.01 2.98 5.02 8.98
现准备用下列函数中的一个，近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知在上是减函数，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像特征，函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数，若不等对任意实数恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列函数中，最小正周期为的有（ ）
A. B.
C. D.
10.若，则下列关系式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（ ）
A. B.
C.的值可能是6 D.的值可能是4
12.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A.若有两个零点，则
B.只有一个零点
C.若有两个零点，则
D.若有四个零点，则.
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.求值：__________.
14.已知函数，则函数的单调递减区间是__________.
15.不等式的解集是__________.
16.已知实数，且，则的最小值是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
（1）求值：；
（2）求函数的定义域.
18.（12分）已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
19.（12分）
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
20.（12分）为了研究其种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前三天观测的该微生物群落单位数量分别为.根据实验数据，用表示第天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①；②，其中且.
（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；
（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500.
21.（12分）已知，不等式的解集是.
（1）求的解析式；
（2）不等式组的正整数解仅有2个，求实数取值范围；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.
22.（12分）已知函数与.
（1）判断的奇偶性；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.
2023-2024学年高一年级上学期期末考试
数学试题答案
一 单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B D C D C A
二 多选题
题号 9 10 11 12
答案 AC AC BC BCD
三 填空题
题号 13 14 15 16
答案 0 13
四 解答题
17.（1）
（2）由题意得，
解得
得：
所以原函数的定义域是
18.解：（1）为第三象限角.
（2）原式
19.解：（1）由
得
所以函数的单调递增区间为
（2）令
得
函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
又
所以在区间上的最大值为1，
最小值为
20.解：（1）对于函数模型①：把及相应值代入，
得
解得，
所以；
对于函数模型②：把及相应值代入得：，
解得，
所以.
（2）对于模型①，当时，；
当时，，故模型①不符合观测数据；
对于模型②，当时，；
当时，，符合观测数据，所以函数模型②更合适.
要使，则，
即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500.
21.（1）因为，不等式的解集是，
所以2，4是一元二次方程的两个实数根，
可得，解得，所以；
（2）不等式，即，
解得，因为正整数解仅有2个，可得该正整数解为7，8，
可得到，9，解得，则实数取值范围是
（3）因为对于任意，不等式恒成立，
所以，
当时，恒成立；
当时，函数在，上单调递减，所以只需满足
，解得；
当时，函数在上单调递增，所以只需满足
，解得；
综上，的取值范围是.
22.（1）的定义域为，
为偶函数
（2）或
函数只有一个零点
即只有一个零点
即方程有且只有一个实根
令，则方程有且只有一个正根
①当时，，不合题意；
②当时，若方程有两相等正根，则，且
，解得；满足题意
③若方程有一个正根和一个负根，则，即时，满足题意.
所以或
