第二章 直线和圆的方程全章综合测试卷-提高篇
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·全国·高二课时练习）如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为、、，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）（2022·江西省高一阶段练习（理））已知，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ，以下结论不正确的是（ ）
A．不论a为何值时， 与 都互相垂直
B．当a变化时，与分别经过定点 和
C．不论a为何值，与都关于直线对称
D．如果 与交于点为坐标原点，则 的最大值是
4．（5分）（2022·河北·高二阶段练习）过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
5．（5分）（2022·河北保定·高二阶段练习）如图，已知两点，从点射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上，最后经直线OB上的点N反射后又回到点P，则直线MN的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（5分）（2022·河南开封·高二阶段练习）关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高二单元测试）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2022·全国·高二课时练习）在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·江苏省高二阶段练习）使方程表示圆的实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C． D．
10．（5分）（2022·辽宁·高二开学考试）已知直线：和直线：，则（ ）
A．若，则或 B．若在轴和轴上的截距相等，则
C．若，则或2 D．若，则与间的距离为
11．（5分）（2022·广东广州·一模）已知点，，且点在圆：上，为圆心，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：
C．当最大时，的面积为
D．的面积的最大值为
12．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法错误的有（ ）
A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为
C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·上海市高一期末）设直线、的斜率分别为、，倾斜角分别为、，若，则| ．
14．（5分）（2022·全国·高二课时练习）过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，则四边形PRSQ面积的最小值为 ．
15．（5分）（2022·福建福州·高二期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
16．（5分）（2022·江苏·高二开学考试）已知圆 ，直线上定点，若与圆相交于P，Q两点线段PQ的中点为M，又与：的交点为，则的值为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）经过点作直线，且直线与连接点，的线段没有公共点，求直线的倾斜角和斜率的取值范围．
18．（12分）（2022·全国·高二课时练习）求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程.
19．（12分）（2022·浙江宁波·高二期末）已知三条直线：，：，：（是常数），.
(1)若，，相交于一点，求的值；
(2)若，，不能围成一个三角形，求的值：
(3)若，，能围成一个直角三角形，求的值.
20．（12分）（2022·全国·高二课时练习）在①直线BC的斜率为；②直线AC的斜率为这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下面的问题．
已知以角A为顶角的等腰三角形ABC的顶点，______．
(1)求直线AC的一般式方程；
(2)求直线BC的一般式方程；
(3)求角A的角平分线所在直线的一般式方程．
21．（12分）（2022·江西·高二开学考试）已知圆过点，，且圆心在直线：上.
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程.
(3)若点在直线上运动，求的最小值.
22．（12分）（2022·四川省高二开学考试）已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线．
(1)求曲线的方程；
(2)若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．第二章 直线和圆的方程全章综合测试卷-提高篇
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·全国·高二课时练习）如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为、、，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先判断三条直线的倾斜角，进而根据倾斜角与斜率的关系即可得出结论..
【解答过程】由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜角为锐角，
当倾斜角为锐角时，斜率为正，即，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即，
又因为倾斜角为时，倾斜角越大，斜率越大，即；
所以.
故选：B.
2．（5分）（2022·江西省高一阶段练习（理））已知，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】数形结合，计算，判断斜率不存在的情况，从而写出斜率的取值范围.
【解答过程】如图所示，过点的直线与线段相交，
，；
又因为该直线与轴垂直时，斜率不存在，
所以过点与线段相交的直线斜率取值范围为.
故选：A.
3．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ，以下结论不正确的是（ ）
A．不论a为何值时， 与 都互相垂直
B．当a变化时，与分别经过定点 和
C．不论a为何值，与都关于直线对称
D．如果 与交于点为坐标原点，则 的最大值是
【解题思路】根据直线垂直的条件可判断A;求出直线与所过的定点，可判断B；在上任取点，求出其关于直线的对称点，判断是否满足方程，判断C;求出 与交点，求出的表达式，可判断D.
【解答过程】对于A， 恒成立，与互相垂直恒成立，故A正确；
对于B，直线 ，当a变化时， 恒成立，
所以 恒过定点 ；
，当a变化时， 恒成立，所以 恒过定点 ，故B正确；
对于C，在上任取点，，
其关于直线 对称的点的坐标为，
代入 ，则左边为不恒等于0，故C不正确；
对于D，联立,解得,
即，
所以|MO|
＝≤，
所以 的最大值是，故D正确，
故选C.
4．（5分）（2022·河北·高二阶段练习）过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【解题思路】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【解答过程】动直线化为，可知定点，
动直线化为，可知定点，
又
所以直线与直线垂直，为交点，
.
则，当且仅当时，等号成立.
即面积的最大值为2.
故选：C.
5．（5分）（2022·河北保定·高二阶段练习）如图，已知两点，从点射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上，最后经直线OB上的点N反射后又回到点P，则直线MN的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】分别求出点P关于直线与y轴的对称点，从而得到结果.
【解答过程】由题意易得AB所在的直线方程为，
设点关于直线的对称点，
则，解得，，
点P关于直线AB对称的点为，点P关于y轴对称的点为．
直线MN即直线，则直线MN的方程为，即．
故选：D.
6．（5分）（2022·河南开封·高二阶段练习）关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将问题转化为直线与且有两个交点，数形结合判断存在两个交点对应的m范围即可.
【解答过程】令且，则且，即圆的上半部分，
只需恒过的直线与且有两个交点即可，
如上图，当与半圆相切时，得，
当过时，，
当过时，，
综上，.
故选：C.
7．（2022·全国·高二单元测试）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得.
【解答过程】设，，所以，
又，所以．
因为且，所以，
整理可得，
又动点M的轨迹是，
所以，解得，
所以，又，
所以，因为，
所以的最小值为．
故选：C．
8．（5分）（2022·全国·高二课时练习）在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，则，，建立直角坐标系，根据已知条件求出各点坐标，由圆O与圆内切，解得，由圆O与圆内切，解得，分别求出阴影部分与最大半圆的面积，即可求出答案.
【解答过程】设，则，，以C为坐标原点，
建立如图所示的坐标系，则C（0，0），，，．
设，，则
（圆，外切与勾股定理结合），得，所以．
由圆O与圆内切，得，解得．
同理（圆，外切与勾股定理结合），
得，由圆O与圆内切，得，
解得．设阴影部分的面积为，最大半圆的面积为，
，
所以．
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·江苏省高二阶段练习）使方程表示圆的实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C． D．
【解题思路】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a的取值范围.
【解答过程】，配方得：
，
要想表示圆，则，
解得：，
故选：BC.
10．（5分）（2022·辽宁·高二开学考试）已知直线：和直线：，则（ ）
A．若，则或 B．若在轴和轴上的截距相等，则
C．若，则或2 D．若，则与间的距离为
【解题思路】由两直线平行，即可求出，则可判断出A选项，结合两直线的距离公式即可判断出D选项；由在轴和轴上截距相等等价于过原点或其斜率为，即可列出等式，解出或2，则可判断出B选项；由两直线垂直，即可求出或2，则可判断出C选项.
【解答过程】若，由，解得或，
经检验当时，，重合，当时，，
所以，故A错误；
若在轴和轴上截距相等，则过原点或其斜率为，则或，则或，故B错误；
若，则，解得或2，故C正确；
当时，，则：，：，
即：，则与间的距离为，故D正确．
故选：CD．
11．（5分）（2022·广东广州·一模）已知点，，且点在圆：上，为圆心，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：
C．当最大时，的面积为
D．的面积的最大值为
【解题思路】依题意画出图象，判断出在圆内，当为射线与圆的交点时，取得最大值，即可判断A；求出以为直径的圆再两圆方程作差，即可求出公共弦所在直线方程，即可判断B，当与圆相切时，最大，求出三角形的面积，即可判断C，求出直线的方程，可得在上，即可得到到的距离最大值，再求出，即可判断D.
【解答过程】解：圆C：的圆心为，半径，又，则，所以点在圆内，
所以当为射线与圆的交点时，取得最大值，故A正确；
因为点恰好是、的中点，且，所以以为直径的圆的方程为，
所以以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为，
整理得，故B正确；
当与圆相切时，最大，此时，故C错误，
直线的方程为，又，且在直线上，
所以到的距离最大值为，
所以，故D正确；
故选：ABD.
12．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法错误的有（ ）
A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为
C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点
【解题思路】由圆心到直线：的距离为，可判定A错误；由圆的切线长，可判定B错误；由四边形的面积为，可判定C错误；设，求得以为直径的圆的方程，进而得到两圆的相交弦的方程，联立方程组，可判定D正确.
【解答过程】由圆，可得圆心，半径，
所以圆心到直线：的距离为，
因为，故圆上不是只有一个点到直线的距离为，所以A错误；
由圆的性质，可得切线长，
当最小时，达到最小，又，则，所以B错误；
由四边形的面积为，所以四边形的面积的最小值为1，所以C错误；
设，由题知在以为直径的圆上，
又由，所以，
即 ，
因为圆，即 ．
两圆的方程相减得直线，即，
由，解得，，即直线恒过定点，所以D正确.
故选：ABC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·上海市高一期末）设直线、的斜率分别为、，倾斜角分别为、，若，则| ．
【解题思路】由已知及得，讨论、并结合正切函数性质求.
【解答过程】由，且，即，
若，则，而，故，即；
同理，可得.
综上，| .
故答案为：.
14．（5分）（2022·全国·高二课时练习）过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，则四边形PRSQ面积的最小值为 ．
【解题思路】设出直线 l的方程，即可分别求出点、的坐标，进而求出直线PR和QS的方程，接着可求出点和点到直线的距离以及直线和直线的距离，最后利用梯形的面积公式即可得到四边形PRSQ面积的表达式，利用基本不等式即可求最值.
【解答过程】由已知得直线 l的方程为，则，，
由此可得直线PR和QS的方程分别为和，
点到直线的距离为，同理，
直线和直线的距离为，
故
,
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
15．（5分）（2022·福建福州·高二期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
【解题思路】先求出点关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.
【解答过程】设点关于直线的对称点，
则的中点为， ,
故解得，
由知军营所在区域中心为，
要使从点到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离为，
“将军饮马”的最短总路程为，
故答案为：.
16．（5分）（2022·江苏·高二开学考试）已知圆 ，直线上定点，若与圆相交于P，Q两点线段PQ的中点为M，又与：的交点为，则的值为 6 ．
【解题思路】由条件通过联立方程组求出的坐标，结合两点距离公式表示并化简可得.
【解答过程】过点的斜率不存在的直线为，联立可得，
即直线与圆有且只有一个交点，与已知矛盾，
过点的斜率为0的直线为，联立可得，故方程组无解，所以直线与圆没有交点，与已知矛盾，
所以直线斜率必定存在，且不为0，可设直线： ，
由得，
又直线与垂直，所以
得，
所以
.
故答案为：6.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）经过点作直线，且直线与连接点，的线段没有公共点，求直线的倾斜角和斜率的取值范围．
【解题思路】先求出与线段相交时直线的倾斜角的范围与斜率范围，再讨论不相交的情况即可.
【解答过程】解：因为，，
所以，当直线与线段相交时，由图可知，，即，
所以或，
由于在及均为增函数，
所以直线的倾斜角的范围为：.
故倾斜角的范围为，斜率的范围是.
所以，直线与连接点，的线段没有公共点时，倾斜角的范围为，斜率的范围是.
18．（12分）（2022·全国·高二课时练习）求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程.
【解题思路】先联立两圆的方程，求出交点坐标和.
解法一：易得所求圆的圆心在x轴上，结合圆心在直线上可得圆心，进而求得半径即可；
解法二：设所求圆的方程为，整理可得圆心为，再代入直线求解即可.
【解答过程】解法一：联立得解得或，
所以点和都在所求圆上，所以所求圆的圆心在x轴上.
又圆心在直线上，所以所求圆的圆心为（6，0），半径，
所以所求圆的方程为.
解法二：设所求圆的方程为，
整理得，所以圆心为.
因为圆心在直线上，所以，解得.
所以所求圆的方程为.
19．（12分）（2022·浙江宁波·高二期末）已知三条直线：，：，：（是常数），.
(1)若，，相交于一点，求的值；
(2)若，，不能围成一个三角形，求的值：
(3)若，，能围成一个直角三角形，求的值.
【解题思路】(1)由二条已知直线求交点，代入第三条直线即可；
(2)不能围成一个三角形，过二条已知直线的交点，或者与它们平行；
(3)由直线互相垂直得，斜率之积为-1.
【解答过程】(1)
显然，相交，由
得交点，
由点代入得
所以当，，相交时，.
(2)
过定点 ，因为，，不能围成三角形，所以，或与平行，或与平行，
所以，或，或.
(3)
显然与不垂直，所以，且或，
所以的值为或.
20．（12分）（2022·全国·高二课时练习）在①直线BC的斜率为；②直线AC的斜率为这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下面的问题．
已知以角A为顶角的等腰三角形ABC的顶点，______．
(1)求直线AC的一般式方程；
(2)求直线BC的一般式方程；
(3)求角A的角平分线所在直线的一般式方程．
【解题思路】先判断出轴，选①：根据斜率的定义数形结合可得AC的倾斜角为60°；选②：直线AC的斜率为可推出得AC的倾斜角为60°，可得直线BC的倾斜角为30°或120°．
（1）根据点斜式求解AC的方程，再化成一般式即可；
（2）根据点斜式求解BC的方程，再化成一般式即可；
（3）数形结合可得角A的角平分线所在直线的倾斜角，再根据点斜式求解，进而化简成一般式即可.
【解答过程】（1）
因为，所以轴．
选①：直线BC的斜率为，则直线BC的倾斜角为30°，因为△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，所以直线AC的倾斜角为60°，如图所示．
因为A（－1，2），AC的倾斜角为60°，所以直线AC的方程为，其一般式方程为．
选②：
直线AC的斜率为，则直线AC的倾斜角为60°，因为△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，所以直线BC的倾斜角为30°或120°，如图所示：
因为A（－1，2），AC的斜率为，所以直线AC的方程为，
其一般式方程为．
（2）
选①：
因为B（－3，2），直线BC的倾斜角为30°，所以直线BC的方程为，
其一般式方程为．
选②：
因为B（－3，2），直线BC的倾斜角为30°或120°，所以直线BC的方程为或，
其一般式方程为或．
（3）
选①：
由（2）可知，角A的角平分线所在直线的倾斜角为120°，斜率为，
所以角A的角平分线所在直线的方程为，
其一般式方程为．
选②：
由题意可知，角A的角平分线所在直线的倾斜角为120°或30°，其斜率为或，
所以角A的角平分线所在直线的方程为或，
其一般式方程为或．
21．（12分）（2022·江西·高二开学考试）已知圆过点，，且圆心在直线：上.
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程.
(3)若点在直线上运动，求的最小值.
【解题思路】（1）由题意可求线段的中垂线方程，联立直线方程可得圆心，进而可得半径与圆的方程；
（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，求点关于直线的对称点，求出直线即为；
（3）由题意设点的坐标为，根据两点间距离公式可得，进而可得最小值.
【解答过程】（1）
由，，得直线的斜率为，线段中点，
所以，直线的方程为，即，
联立，解得，即，
所以半径，
所以圆的方程为；
（2）
由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，
设点关于直线的对称点，
则直线与直线垂直，且线段的中点在上，
即，解得，
所以，
所以直线即为直线，且，
直线方程为，即；
（3）
由已知点在直线上，
设，
则 ，
所以当时，取最小值为.
22．（12分）（2022·四川省高二开学考试）已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线．
(1)求曲线的方程；
(2)若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【解题思路】（1）设点的坐标为，由结合平面内两点间的距离公式化简可得出点的轨迹方程；
（2）设为圆上任意一点，先证明出圆在点处的切线方程为，设点、、，可写出直线、的方程，将点的坐标代入直线、的方程，可求得直线的方程，化简直线的方程，可求得直线所过定点的坐标.
【解答过程】（1）
解：设点的坐标为，
由可得，，整理可得，
所以曲线的方程为．
（2）
解：设为圆上任意一点，则，
当时，（为坐标原点），
此时，圆在点处的切线方程为，即；
当时，圆在点处的切线方程为或，切线方程满足；
当时，圆在点处的切线方程为或，切线方程满足.
因此，圆在点处的切线方程为.
当时，直线的方程为，设点、、，
则直线的方程为，直线的方程为，
所以，，
所以，点、的坐标满足方程，
故直线的方程为，即，
由，解得，
因此，直线过定点.
