黄浦区重点中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学
2024.01
一、填空题（共12小题，每题3分）
1．若幂函数的图像经过点，则________．
2．已知全集，集合，则________．
3．不等式的解集为________．
4．在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合．若点在角终边上，且，则________．
5．若角满足，，则________．
6．已知，．则________．（用及表示）
7．已知，若，则________．
8．函数的单调递增区间为________．
9．设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是________．
10．设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都可以看成是某一个函数的图像，则的最大值
为________．
11．已知，若关于的方程有唯一解，则的取值范围是________.
12．已知，若对任意，恒成立，则的取值范围是________.
二、选择题（共4小题，每题3分）
13．已知为非零实数，则“”是“”成立的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
14．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．已知定义在上的函数，对于给定集合，若对任意，，当时都有，则称是“封闭”函数．已知给定两个命题：
：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数．
：若是“封闭”函数，则在区间上严格减．
则下列正确的判断为（ ）
A．是真命题，是真命题 B．是假命题，是真命题
C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是假命题
三、解答题（共5大题，52分）
17．（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题5分）
（1）求解关于不等式：；
（2）已知，且，求的值．
18．（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题5分）
设为实数，已知函数为偶函数．
（1）求的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义法加以证明；
19．（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题5分）
已知函数，且不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围．
20．（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题5分）
第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，
且．经测算，当生产10千台空调需另投入的资金万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．
（1）求2022年企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润销售额成本）
21．（本题共3小题，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题4分）
若函数在其定义域内给定区间上存在实数．满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点．
（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；
（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；
（3）设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对．
参考答案
一、填空题
1.4； 2.； 3.； 4.； 5. ； 6.； 7.；
8.； 9.； 10.； 11.； 12.且；
11. 已知，若关于的方程有唯一解，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】数形结合
12.已知，若对任意，恒成立，则的取值范围是________.
【答案】且
【解析】解法一:当时,
,
与已知条件矛盾,若,
则当时,,与条件矛盾,
解法二:由,
作出的图象,如图,
数形结合,得且.
二、选择题
13.D； 14.D； 15.C； 16.C；
15. 已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由均值不等式和对数的性质可以判断①②④正确。
16. 已知定义在上的函数，对于给定集合，若对任意，，当时都有，则称是“封闭”函数．已知给定两个命题：
：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数．
：若是“封闭”函数，则在区间上严格减．
则下列正确的判断为（ ）
A．是真命题，是真命题 B．是假命题，是真命题
C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是假命题
【答案】C
【解析】命题P可通过新定义来证明，命题Q可通过写出该命题的逆否命题来判断出是假命题。
三、解答题
17.（1 （2）
18.（1） （2）证明略
19.（1） （2）
20.第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，
且．经测算，当生产10千台空调需另投入的资金万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．
（1）求2022年企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润销售额成本）
【答案】（1） （2）8990万元.
【解析】（1）由题意知,当时,,所以,
当时,
当时,
所以
（2）当时,
所以当时,有最大值,最大值为8740,
当时,
当且仅当,即时,有最大值,最大值为8990,
因为,所以当2022年产量为100千台时,企业的利润最大,最大利润为8990万元.
21.若函数在其定义域内给定区间上存在实数．满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点．
（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；
（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；
（3）设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对．
【答案】（1）见解析 （2） （3）或
【解析】（1）由题意可知,
存在成立,则是区间上的”平均值函数“;
（2）由题意知存在,
知,即
则,因为,所以,
而在有解,
不妨令
解得或,则,解得;综上,;
（3）由题意的,则,且,
由题意可知,
即,所以,
因为,所以,则,又因为,则,或,
则当;当时,成立,所以或是满足条件的实数对.
