人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练
1．如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第四象限内作等腰直角，设点C的坐标为．
(1)当时，点C的坐标为 ．
(2)动点A在运动的过程中，试判断的值是否发生变化，若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
(3)当时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知为等边三角形，点为直线上一动点（点不与点，点重合）．以为边作等边三角形，连接．
(1)如图1，当点在边上时．
①求证：；
②求证：；
(2)如图2，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间存在的数是关系，并写出证明过程．
3．如图，已知，，且m，n满足．点D是线段中点，动点E，F分别在线段，上运动，且始终有．
(1)请直接写出点A和点B的坐标；
(2)请判断的形状并说明理由；
(3)下列结论：①四边形周长为定值；②四边形面积为定值；③为定值．请选择一个正确的结论并说明理由．
4．如图，是等边三角形，，，，延长至E，使，连接．
(1)求证：；
(2)求的面积；
(3)点M，N分别是线段，上的动点，连接，求的最小值．
5．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式．
(1)点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒．
①在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，______；
②在点的运动过程中，记的面积为，用含的代数式表示；
(2)点在射线上，点为射线上一动点，，连接，作平分交轴于点，直线上取点，连接，使，当时，求的大小．
6．平面直角坐标系中，点A，C分别是轴和轴上的动点，．
(1)如图1，若，求点的坐标
(2)如图2，过点作轴，交轴于点，交的延长线于点F，交轴于点，若平分，，求点的纵坐标；
(3)如图3，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值（用含的式子表示）
7．综合与探究:如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，为轴正半轴上一个动点，以为腰，在右侧作等腰三角形，使，.
(1)求出点的坐标.
(2)求证：.
(3)数学活动小组进行深入探究后发现：在点的运动过程中，的度数总是保持不变，你同意这个说法吗？请说明理由.
8．已知：平面直角坐标系中，如图1，点，轴于点B，并且满足．
(1)试判断的形状，并说明理由．
(2)如图2，若点C为线段的中点，连并作，且，连交x轴于点E，求证: ．
(3)如图3，点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以为一边作交y轴负半轴于点N，连，将沿直线翻折，点M的对应点为，点P是x轴上的一动点，当且的周长最小时，请直接写出的值.
9．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，是轴上的动点，连接作，其中．
(1)如图①，请找出图中与相等的角，并说明理由；
(2)如图②，交轴于点，过点作轴于点，求证：平分；
(3)如图③，若，点在轴正半轴移动，且，取，连交轴于点，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．
10．直线垂直平分线段，点A是直线上的动点，连接，，以为边作等边三角形，使其与点在直线的两侧，与直线相交于点（点与点A不重合），连接．
(1)如图，当时，
①求证：；
②在点A运动的过程中，的度数是否会发生改变？如果会请说明理由，如果不会请求出的度数；
(2)在点A运动的过程中，试探究线段，，之间的数量关系．
11．在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，，．
(1)如图1，求证：是等边三角形；
(2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，求证：；
(3)如图2，若，，点为的中点，连接、交于，请问、与之间有何数量关系，并证明你的结论．
12．在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴上一动点，连接，以为腰作等腰，．
(1)如图1，点B在x轴负半轴上，点C的坐标是，直接写出点A和点B的坐标；
(2)如图2，点B在x轴负半轴上，交x轴于点D，若平分．且点C的纵坐标是，求线段的长；
(3)如图3，点B在x轴正半轴上，以为边在左侧作等边，连接，，若，且，求的面积．
13．等腰直角中，，，，点、分别是轴，轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点.
(1)如图1，已知点的横坐标为，直接写出点的坐标；
(2)如图2，若点为轴上的固定点，且，当点在轴正半轴运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化请说明理由；若不变化，请求出的长度.
14．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点、分别位于轴和轴上，连接，交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)动点从出发以个单位/秒的速度沿轴向终点运动，连接，将线段绕着点逆时针旋转后得到线段，与为对应点．连接、，为的面积，用含的式子表示；
(3)在（）的条件下，连接，过点作于，交轴于，交于，若，求点的坐标．
15．如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．
(1)如图①，当的面积等于面积的一半时，求的值：
(2)如图②，点在边上，点在边上，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形恰好与全等，求点的运动速度．
16．如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，．
(1)求出点坐标；
(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正半轴运动，同时点从点出发，以相同速度沿轴向左运动，连接，过点作交直线于点，连接，设点的运动时间为，请用含的式子表示的面积；
(3)在(2)的条件下，直线与直线交于点，当时，求点坐标．
17．已知中，，过点的直线交轴于，其中是方程组的解，
(1)求的值
(2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动，运动时间为秒；请用含的式子表示线段的长度；并直接写出此时的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当为何值时，直线与直线互相垂直．
18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，，，将沿射线折叠，射线的对应边交y轴于点D．
(1)如图1求的长；
(2)如图2动点E在第二象限，点E的坐标为，连接，，请写出的面积s与t的关系；
(3)在（2）的条件下，如图3点F在第一象限，连接、、，，，连接，当，求的值．
参考答案：
1．(1)
(2)动点A在运动的过程中，的值不变，
(3)或或
【分析】本题考查全等三角形判定及性质．
（1）根据题意过点C作轴于点，证明出，利用全等性质即可得到本题答案；
（2）由（1）得，利用全等性质及点坐标表示线段长即可得到本题答案；
（3）根据题意分3种情况讨论P点位置，利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案．
【详解】（1）解：如下图，过点C作轴于点E，则，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
在和中，
∴（AAS），
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：动点A在运动的过程中，的值不变．理由如下：
由（1）知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵点C的坐标为，
∴，即的值不变；
（3）解：存在一点P，使与全等，
符合条件的点P的坐标是或或，
分为三种情况讨论：
①如下图，过点P作轴于点E，则，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∴，
即点P的坐标是，
②如下图，过点C作轴于点M，过点P作轴于点E，
则．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴．
∵，
∴，
即点P的坐标是；
③如下图，过点P作轴于点E，则．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∴，
即点P的坐标是，
综上所述，符合条件的点P的坐标是或或．
2．(1)①见解析；②见解析；
(2)，见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形，全等三角形．
（1）①根据等边三角形的性质得出，，，根据得出，从而说明三角形全等；
②根据全等的性质得出，然后根据即得；
（2）根据等边三角形的性质得出，，，根据得出，从而说明，根据全等的性质得出，然后根据即得．
【详解】（1）证明：①∵和是等边三角形，
∴，，．
∴，
∴．
在和中，
，
∴；
②∵，
∴．
∵，
∴；
（2）解：，
证明：∵和是等边三角形，
∴，，．
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
3．(1)，
(2)等腰直角三角形，理由见详解
(3)②正确，理由见详解
【分析】（1）根据绝对值的非负性即可的，，即可得，问题得解；
（2）连接，，先证明是等腰直角三角形，再证明，即可作答；
（3）根据，可得，即有，问题得解．
【详解】（1）∵，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，；
（2）连接，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
∵点D是线段中点，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴等腰直角三角形；
（3）②正确，理由见详解．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形面积为定值．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，绝对值的非负性，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．
4．(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”可得，，根据，可得，即有，问题得证；
（2）过D点作于点G，利用含角的直角三角形的性质可得，问题随之解得；
（3）将沿向下翻转得到，再作N点关于的对称点H，连接、、，根据对称性有：，，，先证明、是等边三角形，即有，结合图形有：，当M点在上时，，此时有最小值，即可得，问题得解．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过D点作于点G，如图，
∵，，，
∴在中，，
∵在（1）中已求出，
∴；
（3）将沿向下翻转得到，再作N点关于的对称点H，连接、、，如图所示，
根据翻折可知：、关于轴对称，
∴N点关于的对称点H在上，
根据对称性有：，，，
∴，
∴是等边三角形，
∵N点关于的对称点是点H，
∴垂直平分线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
结合图形有：，
当M点在上时，，此时有最小值，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，灵活利用轴对称构造辅助线，是解答本题的关键．
5．(1)①秒或秒；②当时，；当时，；当时，．
(2)或．
【分析】（1）①由非负数的性质得，，解得，，根据当点到的距离为2个单位长度分两种情况，即点在段或在段，求出运动时间；
②分三种情形：当点在段时，；当点在段时，；当点在段时，，分别含的代数式表示；
（2）分三种情形分别画出三个图形，即：当点在点左侧时，当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求的大小．
【详解】（1）①解：a、c满足关系式，
∴，，
解得，，
∴，．
当点P到AB的距离为2个单位长度时，分两种情形：
点在段时，
，运动路程
点在段时，
，运动路程，
∴（秒）或（秒），
故答案为：秒或秒；
②根据点的位置有三种情形：
I．当时，点在段，此时；
II．当时，点在段，此时；
III．当时，点在段，此时，，
，
综上所述：当时，；当时，；当时，．
故答案为：当时，；当时，；当时，．
（2）设，，，则，，
在中，，
，即：，
I．当点在点左侧时，
如图，
，即：，
在中，，
，即：
联立得：，
解得：，
．
II．当点在线段上时，
如图，，
，即：，
在中，
，
，
即：
联立得：，
解得：，
此时：，不合题意舍去；
III．当点在线段上时，
如图，，
，即：，
，
，
在中，，
，即：
联立得：，
解得：，
此时：，
故答案为：或．
【点睛】本题是角的转换计算综合题，考查了图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的内角和等于、三元一次方程组的应用等知识，综合性强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属干中考常考题型．
6．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点B作轴于点D，通过证明，得出，即可求出点B的坐标；
（2）先证明，得出，根据平分，，得出，即可求出点B的纵坐标；
（3）连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据折叠的性质和角平分线的性质推出，通过证明，得出，通过证明，得出，即可得出，最后证明，得出，即可求解．
【详解】（1）解：过点B作轴于点D，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴点B的纵坐标为；
（3）解：连接，过点E作于点M，过点E作于点N，
由折叠的性质可得：，
∵，，，
∴，
∵为的角平分线，，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分线上的点到两边距离相等．
7．(1)
(2)见解析
(3)的度数总是保持不变，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，坐标与图形；
（1）根据等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而解答即可；
（3）根据全等三角形的性质得出，进而利用平角的定义解答即可．
【详解】（1）解：如图所示，过作轴于，
点的坐标为，，
，
点坐标为；
（2）证明：和是等腰三角形，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
；
（3）解：是定值，理由如下：
，
，
是定点，
的度数是定值，
的度数也是定值，
，是定值．
8．(1)是等腰直角三角形，理由见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性可求出a，b的值，得到点A的坐标，从而可判断的形状；
（2）由点C是的中点，可得，过点D作轴于点F，根据同角的余角相等可得，又有，，从而证得，因此，，，又，，证得，从而得到，得证；
（3）由可得点点的坐标为，作点关于x轴的对称点，则的坐标为，，连接，交x轴于点，此时的周长最小．过点作轴于点Q，则，，，又，因此有，从而求得，．由翻折可得，因此，又，根据同角的余角相等得到，又， ，证得，因此，．所以求得．
【详解】（1）∵，，且，
∴，，
∴，，
∴点A的坐标，
∵轴于点B，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（2）
∵，点C是的中点，
∴，
过点D作轴于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴在和中
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，
在和中
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）
∵，
∴点的坐标为，
作点关于x轴的对称点，则的坐标为，，
连接，交x轴于点，则，由于为定值，此时的周长最小．
过点作轴于点Q，
∴，，
∵，
又，
∴，
∴，
∴．
∵
∴由翻折可得，
∴，
∴
∵
∴，
∵，由翻折有，
∴在和中，
，
∴
∴，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，最短路径问题，三角形的面积，综合运用各个知识，在第（3）题中利用面积求出的长是解题的关键．
9．(1)，理由见解析
(2)见解析
(3)的长度不变，．
【分析】对于（1），根据同角的余角相等得出答案；
对于（2），延长交的延长线于点，再根据证明，可得，进而得出，即可知垂直平分，可得答案；
对于（3），作轴，先证明，可得，再得出，进而得出，根据等腰直角三角形的性质和判定即可得出答案．
【详解】（1）．
理由：，
；
（2）证明：如图②中，延长交的延长线于点．
．
∵，，
，
．
，
即．
垂直平分，
平分．
（3）的长度不变，．
理由：如图③中，过点作轴于点．
．
．
．
．
，
．
．
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质和判定等，构造辅助线是解题的关键．
10．(1)①见解析；②不变，
(2)或
【分析】（1）①根据垂直平分线的性质得出，再由等边对等角及各角之间的数量关系求解即可；②设与交于点M，根据等边三角形的性质及各角之间的关系得出，即可求解；
（2）分两种情况进行分析：当时，当时，分别利用全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质分析求解即可．
【详解】（1）证明：①点A、E在线段的垂直平分线l上，
∴，
∴，
∴，
即；
②在点A运动的过程中，的度数不变，理由如下：
如图，设与交于点M，
∵是等边三角形，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
（2）当时，在上截取，连接，
∵，
∴，
由(1)得直线，，
∴，
∴是等边三角形，
∴ ，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴；
当时，如图所示在上截取，连接，
∵，
∴，
由(1)得直线，，，
∴，
∴F是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上可得：或．
【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键，同时注意进行分类讨论．
11．(1)见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论；
（2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论；
（3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证．
【详解】（1）解：证明：，，
，
，
是等边三角形；
（2）证明：由（1）知：是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（3），理由如下：
如图2，在上截取，连接，，即，
，，
，
为的中点，
平分，即，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
为等边三角形，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，以及含角的直角三角形的性质，添加辅助线．
12．(1)，
(2)6
(3)8
【分析】（1）如图1，作于，由，可得，，证明，则，，进而可得，；
（2）如图2，作轴，交轴于，交的延长线于，证明，则，证明，根据，计算求解即可；
（3）如图3，在上截取，使，连接，则是等边三角形，证明，则，由，求得，如图3，作于，于，则，，，，，证明，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：如图2，作轴，交轴于，交的延长线于，
∴，
∵平分，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为6；
（3）解：∵为等边三角形，
∴，，
如图3，在上截取，使，连接，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图3，作于，于，则，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为8．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线，含的直角三角形．熟练掌握一线三垂直的全等模型，由构造等边三角形证明全等是解题的关键．
13．(1)
(2)
【分析】（1）如图①,过作 轴于, 证明可得从而可得答案；
（2）如图①,过点作 轴于点.证明 ,可得 ,再证明,从而可得: .
【详解】（1）解: 如图①,过作 轴于，
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴.
∴,
，
∴，
∴，
故答案为 : .
（2）的长度不变,理由如下:
如图②, 过点作 轴于点.
∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ .
∵,
∴ ,
∴，
∵ ,
∴ .
∵ ,
∴,
.
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键.
14．(1)点；
(2)；
(3)点.
【分析】（）利用等腰三角形的性质求出线段长即可；
（）先证明，再根据求面积公式即可求解；
（）过作交延长线于点，证明四边形为正方形，则，然后过作于点，证明，由性质可得，最后根据求出即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点；
（2）如图，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∴；
（3）如图，过作交延长线于点，
∴四边形为正方形，
∴，
过作于点，
∵
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
15．(1)或19
(2)或或或
【分析】（1）根据三角形中线平分三角形面积可知，当点P为的中点时和点P为中点时，的面积等于面积的一半，据此根据时间路程速度进行求解即可；
（2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可．
【详解】（1）解：当点P在上时，由三角形中线平分三角形面积可知，当点P为的中点时，的面积等于面积的一半，
∴此时，
同理当点P为中点时，的面积等于面积的一半，
∴此时；
综上所述，t的值为10或19；
（2）解：设点的运动速度为，
由题意得，，
①当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得；
②当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得；
③当点在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为
∴，
解得：；
④当点在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为
∴，
解得：；
综上所述，点的运动速度为或或或．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）过作于，在轴负半轴上截取，连接，①当在线段上时，证明，得出，根据，利用三角形面积公式，即可求解；②当在线段的延长线上时，过点作轴于，在延长线上截取点，证明，，得出，进而即可求解；
（3）根据题意得出，过点作轴于，设，则，，，进而根据求得，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，点在轴正半轴上，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴；
（2）解：如图所示，过作于，在轴负半轴上截取，连接，
从出发，以每小时个单位长度的速度沿轴正半轴运动，
从出发，以相同速度沿轴向左运动，
，
①当在线段上时，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
又，
，
②当在线段的延长线上时，
过点作轴于，在延长线上截取点，
，
等腰，
，
设，
，，
为的一个外角，
，
，
在和中，
，
，
在和中，
，
，
综上所述，
（3）解：∵
∴
解得：(负值舍去)
∴，
∴
过点作轴于，
，
，
，
，
设，
，，，
解得：
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17．(1)
(2),
(3)当时，直线与直线互相垂直
【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可求解；
（2）分点P在线段上、点P在线段的延长线上两种情况求解即可；
（3）设直线与直线互相垂直，交点为N，先求得，证明得到，求得即可求解．
【详解】（1）解：，
由②得③，
将③代入①中，得，则，
∴，
即方程组的解为；
（2）解：由（1）知，，则，
当点P在线段上时，，则，
∴；
当点P在线段的延长线上，，
∴；
（3）解：如图，设直线与直线互相垂直，交点为N，
由（1）知，，
则，
∵直线与直线互相垂直，
∴，
∴，又，
∴，又，，
∴，
∴，则，
∴．
故当时，直线与直线互相垂直．
【点睛】本题考查解二元一次方程组、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，证明是解答的关键．
18．(1)
(2)
(3)0
【分析】（1）由，，可得，由折叠可得，因此，，可得，则，由线段和差关系可得；
（2）过点E作轴于点C，由点E在第二象限，且坐标为可得，根据三角形的面积公式即可解答；
（3）由（1）知，，，则，，延长直线交轴于点，交于，连接，在轴上取点，使得，连接，，，，，易知，，，为等边三角形，可得，过点，点分别作，，则，易证，，可得，进而可得，可证得，易得，可知为等边三角形，地，求得，过点作轴，则，地，可知，，进而求得．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
（2）解：过点E作轴于点C，
∵点E在第二象限，点E的坐标为，则，
∴
∴，
即的面积s与t的关系式为：；
（3）解：由（1）知，，，则，，延长直线交轴于点，交于，连接，在轴上取点，使得，连接，，，，，
∵，，，
∴，
∴，，则垂直平分，
∴，，则为等腰三角形，
则，
∴，则为等边三角形，
∵，，，
∴，且为等边三角形，
∴，，，
由（1）可知，，则，，
∴，
∵，则，
∴，
过点，点分别作，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
∵，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即：为等边三角形，
∴，
∵，
∴，则
过点作轴，则，
∴，
∵点的坐标为，
∴，，
则，
∴．
【点睛】本题考查含的直角三角形，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，图形与坐标，轴对称等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
