2023-2024学年广西柳州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 绿色饮品 B. 绿色食品
C. 有机食品 D. 速冻食品
2.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
3.掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( )
A. 点数的和为 B. 点数的和为 C. 点数的和大于 D. 点数的和小于
4.下列各点中，不在反比例函数图象上的点是( )
A. B. C. D.
5.如图，为直径，弦于点，，，则长为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知是方程的一个根，则的值是( )
A. B. C. D.
7.如图，是的直径，弦交于点，连接、若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
8.电影长津湖讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为( )
A. B.
C. D.
9.如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴是直线，根据图象判断以下说法正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 当，则随的增大而增大
10.如图，正方形，边长，对角线、相交于点，将直角三角板的直角顶点放在点处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点旋转时，线段的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______．
12.已知线段，以为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是点在______填“圆内”、“圆外”或“圆上”
13.已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是______．
14.请你给出一个值， ______ ，使方程无实数根．
15.如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长度为______．
16.如图，已知点是轴正半轴上一点，过点作轴，分别交反比例函数和图象的于点和点，以为对角线作平行四边形若点在轴上，平行四边形的面积为，则的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：．
四、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
如图，位于一平面直角坐标系中．
画出将绕原点顺时针旋转后得到的；
在的操作下，求点经过的路径长结果保留
19.本小题分
已知：如图，是的切线，是切点．为上一点，求证：是的切线．
20.本小题分
某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角阴影部分，两边足够长，用米长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，设米．
若花园的面积为米，求的值；
若在直角墙角内点处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是米，米，要将这棵树围在矩形花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园的面积能否为米？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
21.本小题分
如图，直线与双曲线为常数，交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，点的坐标为．
求反比例函数的解析式．
结合图象直接写出当时，的取值范围．
22.本小题分
如图，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下以喷水池中心为原点，水平方向为轴、中心线为轴建立平面直角坐标系，则水柱高度单位：与水柱距离喷水池中心的水平距离单位：之间的关系如图所示当水流与中心线的水平距离为时，达到最大高度，此时水柱刚好经过中心线上的点，已知点距水面高．
求如图所示抛物线的解析式．
为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，要求喷水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用表示仅考虑轴右侧的情况．
求的取值范围；
若水刚好喷到中心线上，且距水面高处，直接写出此时的值______ ．
23.本小题分
如图，在中，，把边绕点旋转到．
如图，连接，使，，求到的距离；
如图，连接交于点，当时，在边取一个点，使，过点作的垂线交于点，交于点，交延长线于点，求证：；
如图，若，连接，点是内部一个动点，连接、使，连接、，若，，当取最小时，请直接写出的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图形重合．
2.【答案】
【解析】解：、原方程为二元一次方程，不符合题意；
B、原式方程为二元二次方程，不符合题意；
C、原式为分式方程，不符合题意；
D、原式为一元二次方程，符合题意，
故选：．
利用一元二次方程的定义判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、两枚骰子的点数的和为，是不可能事件，故不符合题意；
B、两枚骰子的点数之和为，是随机事件，故符合题意；
C、点数的和大于，是不可能事件，故不符合题意；
D、点数的和小于，是必然事件，故不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】
【解析】解：反比例函数，
，
A、，
点在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
B、，
点在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
C、，
点在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
D、，
点不在反比例函数图象上，故本选项符合题意．
故选：．
根据反比例函数解析式可得，然后对各选项分析判断即可得解．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
5.【答案】
【解析】解：
设的半径为，则，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即，
故选：．
设的半径为，则，根据垂径定理求出，，在中，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，解此题的关键是求出的长和得出关于的方程，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
6.【答案】
【解析】解：是方程的一个根，
，
解得：．
故选：．
直接把的值代入求出答案．
此题主要考查了一元二次方程的解，正确把的值代入是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
若把增长率记作，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，根据三天后票房收入累计达亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：若把增长率记作，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，
依题意得：．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：、抛物线与轴有两个交点，
，故本选项说法错误，不符合题意；
B、抛物线与轴交于点，
，
抛物线的对称轴是直线，
，
，
，故本选项说法错误，不符合题意；
C、抛物线与轴交于点，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
若，则，故本选项说法正确，符合题意；
D、当时，随的增大而增大，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据抛物线与轴的交点情况，抛物线的对称性、抛物线的性质判断即可．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，正确理解二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点的关系是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
，且，，
≌
，且，
，
取最小值，有最小值，
当时，有最小值，
，，，
，
的最小值为，
故选：．
由“”可证≌，可得，可得，则取最小值，有最小值，当时，有最小值，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明≌是本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：点关于原点对称点的坐标是，
故答案为：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12.【答案】圆外
【解析】解：的半径为，，
，
点在圆外．
故答案为：圆外．
根据点的圆的位置关系的判定方法进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则点在圆外；点在圆上；点在圆内．
13.【答案】
【解析】解：二次函数的对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而增大，
．
故答案为：．
根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于列式计算即可得解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意知，
，
满足条件值有很多，例如：、、．
故填：大于即可．
由于方程无实数根，则，由此建立关于的不等式，然后解不等式即可求出的取值范围．
总结：
、一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
、本题为开放题，不仅考查了知识点，还能张显学生个性化的答案．
15.【答案】
【解析】解：绕点顺时针旋转 得到，
，，
是等边三角形，
，
，
．
故答案为：．
根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：连接、，
轴，
，
又四边形是平行四边形，为对角线，
，
由反比例函数系数的几何意义得，
，，
又，
，
解得，舍去，
故答案为：．
连接、，利用反比例函数系数的几何意义可得，，再根据同底等高的三角形面积相等，得到，由平行四边形的面积为可求出，进而求出答案
本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是正确应用的前提．
17.【答案】解：，
，
，
所以，．
【解析】先把移到方程右边，再两边加上，利用完全平方公式得到，然后利用直接开平方法求解．
本题考查了解一元二次方程配方法：把方程左边含未知数的项配成完全平方式，然后利用直接开平方法求解．
18.【答案】解：如图，即为所求．
，
点经过的路径长为．
【解析】根据旋转的性质作图即可．
利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可．
本题考查作图旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解答本题的关键．
19.【答案】证明：连接、、，如图：
是的切线，是切点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
又是的半径，
是的切线．
【解析】连接、、，由切线的性质得出，证明≌，得出，即可得出结论．
本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：米，
米，
由题意得：，
解得：，，
即的值为或；
花园的面积不能为米，理由如下：
由题意得：，
解得：，
当时，，
即当米，米米，这棵树没有被围在花园内，
将这棵树围在矩形花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园的面积不能为米．
【解析】由矩形面积公式得出方程，解方程即可；
根据题意可得方程，求出的值，然后再根据处这棵树是否被围在花园内进行分析即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】解：把代入直线，可得，
解得，
，
把代入双曲线为常数，，可得，
双曲线的解析式为；
解得或，
，
由图象可知，当时，的取值范围或．
【解析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式．
把点的坐标代入直线，求得，然后再代入双曲线为常数，，根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
解析式联立，解方程组求得就点的坐标，然后根据图象即可求得．
22.【答案】
【解析】解：由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，点，
设该抛物线的解析式为，
将点代入，可得，
解得，
该抛物线的解析式为；
对于抛物线，
当时，可有，
解得或舍去，
根据题意，喷水头向中心线沿直线滑动，若要求喷水柱最高点不能超过中心线，如下图，
则当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，
此时抛物线解析式为，
令，即有，
解得或舍去，
的取值范围为；
设喷水头向中心线沿直线滑动距离为，
则抛物线解析式为，
当水刚好喷到中心线上，且距水面高处，即此时抛物线经过点，
将点代入抛物线，
可得，
解得或滑动距离超出中范围，舍去，
此时抛物线解析式为，
令，即有，
解得或舍去，
此时喷头位置为．
故答案为：．
由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，点，设该抛物线的解析式为，将点代入求解即可；
对于抛物线，当时，可解得或舍去；
则当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，此时抛物线解析式为，令，即有，解得或舍去，即可确定的取值范围；设喷水头向中心线沿直线滑动距离为 ，则抛物线解析式为，根据题意，将点代入并求解，可得，即可确定此时抛物线解析式为，再令，求解即可确定此时喷头位置．
本题主要考查了利用二次函数解决实际问题，理解题意，利用数相结合的思想分析问题是解题关键．
23.【答案】解：如图，
作于，
，
，
，
，
，
，
，
点到的距离为；
证明：如图，
延长至，使，连接，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
，
；
解：如图，
，
，
，
，
，
点在以为直径的圆的运动，
当点是与的交点，
，，，
，
，
作于，
，
，
，
．
【解析】作于，先求得的长，进而求得，进而求得结果；
延长至，使，连接，可证得四边形是平行四边形，从而，证明≌，从而，进而得出，从而得出，可推出从而得出，进一步得出结论；
可推出，从而得出点在以为直径的圆的运动，即当点是与的交点，根据勾股定理求得的长，进而求得，进而求得上的高，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形．
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