2023~2024学年度第一学期阶段性质量监测（二）
高三年级数学学科答案
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.
祝各位考生考试顺利!
第I卷
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目涂在答题卡上；
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
●锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高.
●对于事件，那么.
一 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由集合补集及交集的性质即可求得.
【详解】，
又
故选：C
2. 函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过判断不是奇函数，排除A，B，又因为，排除C，即可得出答案.
【详解】因为的定义域为，又因为，所以不是奇函数，排除A，B.
，所以排除C.
故选：D.
3. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】因为，
所以，解得.
所以 ，
故 “”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则的值为（）
A. 0.02 B. 0.2 C. 0.04 D. 0.4
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.
【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为，
则，解得.
故选：A.
5. 设，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数的运算性质、对数函数的性质和指数函数的性质即可求解.
【详解】，
由在上单调递增，，得，
所以，即，于是有，
由，得，
所以.
故选：D.
6. 数列满足，，其前项积为，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依次代入可得是以为周期的周期数列，由可推导得到结果.
【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；…，数列是以为周期的周期数列，
，
.
故选：D.
7. 已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则四面体ABCD的体积为（）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】易证平面，然后由求解.
【详解】解：如图所示：
连接，
因为，，且，
所以平面，
所以，
，
故选：D
8. 设函数.若，且的最小正周期大于，则（）
A. . B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意求得，再由周期公式求得，再由可得，结合，求得值，即可得解．
【详解】由的最小正周期大于，可得，
因为，可得，
则，且，所以，
即，
由，即，
可得，，则，，
且，可得，，
所以，.
故选：C．
9. 已知，分别是双曲线的左 右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点为双曲线右支上一点，结合双曲线的定义与条件可得，，在中，根据大边对大角可知为最小角，进而根据余弦定理求得，再得到，即可得到答案.
【详解】设点为双曲线右支上一点，则，
因为，且，
所以，，
由题，因为，则，所以为最小角，故，
所以在中，由余弦定理可得，，解得，
所以，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；
2.本卷共11小题，共105分.
二 填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
10. 已知复数，若是实数，则实数的值为__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算可得，进而结合题意可得，运算求解即可.
【详解】由题意可得：，
若是实数，则，解得.
故答案为：.
11. 展开式中，的系数等于________．
【答案】15
【解析】
【详解】6的通项为
Tr＋1＝C6r6－rr＝C6r(－1)rx6－ryr－3，
令6－r＝3，得r＝2，r－3＝0，
故x3的系数为C62(－1)2＝15.
12. 直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.
【详解】解：圆C：，其圆心坐标，半径为3．
圆心到直线2x－y＋1＝0的距离，
则．
故答案为:4.
13. 设甲乘汽车 动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为__________.
【答案】0.82##
【解析】
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】设事件“甲乘汽车前往某目的地”，事件“甲乘动车前往某目的地”，事件“甲正点到达目的地”.
.
故答案：0.82
14. 在中，，则__________；若为所在平面内的动点，且，则的取值范围是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】建立，利用向量的坐标运算求；设，利用向量的坐标运算结合辅助角公式可得，再结合正弦函数的有界性分析求解.
【详解】如图，以C坐标原点，分别为轴所在直线，建立平面直角坐标系，
则，
可得，则，
所以；
因为，设，
可得，
则，
，
其中，
因为，所以.
故答案为：；.
15. 已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是__________；函数的零点个数是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】作出大致图象，结合图象可得实数的取值范围；令，将问题转化为，根据图象分析得有两个零点为，，从而考虑与根的个数即可求解.
【详解】作出大致图象如下：
若方程有三个不等的实根，由图象可得实数的取值范围是；
令，则，可得，
且，
结合图象可知方程的一个根，另一个根，
当时，与的图象有1个交点，所以有1个实根，
当时，与的图象有3个交点，所以有3个实根，
综上所述：共有4个零点.
故答案为：；4.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
三 解答题：本大题共5题，共5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在中，角所对的边分别为，且，.
（1）求角的大小；
（2）求角的大小；
（3）求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用余弦定理边化角即可得解；
（2）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；
（3）可得，代入结合降幂公式分析求解.
【小问1详解】
因为，
由余弦定理可得，则.
又因为，所以.
【小问2详解】
因为，由正弦定理可得，
即，
所以，则.
因为，所以.
【小问3详解】
由（1）（2）可得，
则
.
17. 如图，在正方体中，为棱上一点（不含端点），为棱的中点.
（1）若为棱的中点：
（i）求直线与平面所成角正弦值；
（ii）求平面和平面的夹角的余弦值；
（2）求直线与所成角余弦值的取值范围.
【答案】（1）（i）；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标；
（i）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；
（ii）分别求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；
（2）根据（1）的结论，分别求出直线和直线的方向向量，利用向量的夹角与线面角的关系，结合对勾函数的性质即可求解.
【小问1详解】
在正方体中以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示
设正方体的棱长为2，
若为棱的中点，则，.
所以.
（i）设平面的一个法向量为，
则即令，则.
设与平面所成角为，则有.
故直线与平面所成角的正弦值为.
（ii）易知平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，则有.
故平面和平面的夹角的余弦值为.
【小问2详解】
设直线与所成角为，则.
所以.
因为，所以，即，于是有，
所以，即.
故直线与所成角余弦值的取值范围为.
18. 设椭圆经过点，且其左焦点坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆定义可求方程；
（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出，利用二次函数可得答案.
【小问1详解】
因为椭圆的左焦点坐标为，
所以右焦点坐标为.
又椭圆经过点，
所以.
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
①当直线中有一条直线的斜率不存在时，.
②当直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程，
由，得，
则，
.
设直线的方程为，同理得，
所以，
设，则，
则，
所以时，有最小值.
综上，的最小值是.
19. 已知正项等比数列满足，数列的前项和为，当时，.
（1）求的通项公式：
（2）证明是等差数列，并求；
（3）设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用等比数列基本量的计算求通项公式；
（2）利用与的关系以及等差数列的定义求解；
（3）利用错位相减法求和以及基本不等式求解.
【小问1详解】
设正项等比数列的公比为，
由，得，
解得，所以.
【小问2详解】
当时，，
所以，
整理得，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
所以，即.
【小问3详解】
由（1） （2）知，
所以，①
②
①-②得,
所以.
由得，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以.
20. 已知函数，且函数与有相同的极值点.
（1）求实数的值；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：.
【答案】（1）1 （2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求得的极大值点为，由可得，经检验可确定；
（2）先求得在上的最大值和最小值，然后分和两种情况可得的取值范围；
（3）所证不等式即为，通过证明和即可证得结果.
【小问1详解】
令，解得，
当时，在单调递增，
当时，在单调递减，
故函数的极大值点为.
令，由题意可得，解得，
经验证符合题意，故实数的值为1.
【小问2详解】
由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，
又，且，
所以当时，，
若不等式恒成立，
则，
所以的取值范围为.
【小问3详解】
所证不等式即为.
先证：，即证在上恒成立，
设，
设，
因为在上恒成立，
所以在单调递增，则，
所以在单调递增，则，
所以.
再证：，即证.
设，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以.
设，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以.
所以，即.
综上，，得证.
【点睛】关键点睛：第（3）问的关键点是：将证明转化为证明和.
12023~2024学年度第一学期阶段性质量监测（二）
高三年级数学学科
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.
祝各位考生考试顺利!
第I卷
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目涂在答题卡上；
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
●锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高.
●对于事件，那么.
一 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则的值为（ ）
A. 0.02 B. 0.2 C. 0.04 D. 0.4
5. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 数列满足，，其前项积为，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则四面体ABCD的体积为（ ）
A. B. C. 1 D.
8. 设函数.若，且的最小正周期大于，则（ ）
A. . B.
C. D.
9. 已知，分别是双曲线的左 右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；
2.本卷共11小题，共105分.
二 填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
10. 已知复数，若是实数，则实数的值为__________.
11. 展开式中，的系数等于________．
12. 直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
13. 设甲乘汽车 动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为__________.
14. 在中，，则__________；若为所在平面内的动点，且，则的取值范围是__________.
15. 已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是__________；函数的零点个数是__________.
三 解答题：本大题共5题，共5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在中，角所对的边分别为，且，.
（1）求角的大小；
（2）求角大小；
（3）求的值.
17. 如图，在正方体中，为棱上一点（不含端点），为棱的中点.
（1）若为棱的中点：
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）求平面和平面的夹角的余弦值；
（2）求直线与所成角余弦值的取值范围.
18. 设椭圆经过点，且其左焦点坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值.
19. 已知正项等比数列满足，数列的前项和为，当时，.
（1）求的通项公式：
（2）证明是等差数列，并求；
（3）设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
20. 已知函数，且函数与有相同的极值点.
（1）求实数的值；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：.
1
