巴东一中2023年秋季学期高二第五次月考数学试题
一、单选题
1．若复数z的虚部小于0，且，则（ ）
A． B． C． D．
2. 在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限.
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3. 已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数到与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23则该数列的第100项为（ ）
A. 4862 B. 4962 C. 4852 D. 4952
5．一个电路如图所示，A，B，C，D为4个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
6. 如图，在中，设，，的中点为的中点为R，的中点为P，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
7. 中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系．是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含最x（单位：克）与药物功效y（单位：药物单位）之间满足y＝15x﹣2x2．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5克．标准差为克．则估计这批中医药的药物功效的平均值为（ ）
A. 14药物单位 B. 15.5药物单位 C. 15药物单位 D. 16药物单位
8. 法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A. 椭圆C的离心率为 B. M到C右焦点的距离的最大值为
C. 若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为，，则
D. 面积的最大值为
二、多选题
9. 在数列中，，，则以下结论正确的为（ ）．
A. 数列为等差数列 B.
C. 当取最大值时，n的值为51
D. 当数列的前n项和取得最大值时，n的值为49或51
10. 函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 在区间上单调递增
D. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
11. 如图所示，在长方体中，，点是上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：其中真命题的是（ ）
A. 四棱锥的体积恒为定值；
B. 存在点，使得平面
C. 对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面
D. 存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值．
12. 已知函数，的零点分别为，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题
13. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是______．
14. 如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且.已知，，.则线段______.
15. 已知函数对于一切实数均有成立，且，则当，不等式恒成立时，实数的取值范围是________．
16. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为_________．
四、解答题
17. 解答下列各题
（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值；
18． 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．
19．某学校组织人工智能知识竞赛，在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的4个问题中随机抽取3题作答，每答对1题得20分，答错得0分；第二轮从B类分值分别为10，20，30的3个问题中随机抽取2题作答，每答对1题该题得满分，答错得0分.若两轮总积分不低于90分则晋级复赛.甲、乙同时参赛，在A类的4个问题中，甲每个问题答对的概率为，乙只能答对3个问题；在B类3个分值分别为10，20，30的问题中，甲答对的概率分别为1，，乙答对的概率分别为.甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.
（1）分别求甲、乙在第一轮得最高分的概率；
（2）谁晋级复赛的概率更大？请说明理由.
20. 如图①，已知矩形的长为4，宽为，点是边上的点，且.如图②，将沿折起到的位置，使得平面平面，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）在线段（不包含端点）上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
21. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）已知函数在区间单调递减.试判断是否恒成立，并说明理由.
22. 已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】B
【解析】设复数，因为，所以，所以，所以.故答案为：B.
2【答案】D
【详解】因为，
，
所以在第四象限；故选：D.
3.【答案】D
【详解】如图所示，
圆的圆心为，半径为3，
圆关于直线的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为，
则 ，解得：，故圆B的圆心为，半径为1，
由于此时圆心A与圆心B的距离为：，
大于两圆的半径之和，所以两圆相离，此时点的对称点为，且，所以，在P点运动过程中，当P，B，A，，F五点共线时，且在圆B左侧，点F在圆A右侧时，最大，最大值为，故选：D.
4【答案】D
【详解】2，3，5，8，12，17，23，后项减前项可得1，2，3，4，5，6，
所以，
所以
.
所以.故选：D
5．【答案】A
【解析】【解答】解：开关A，B所在的分支不通电的概率为，
开关C，D所在的分支不通电的概率为，
所以灯亮的概率为.故答案为：A.
6【答案】C
【详解】
,,故选：C
7【答案】C
【详解】设6个样本中药物成份甲的含量分别为，
因为成分甲的含量的平均值为5克，所以，
标准差为克，所以，可得，
又由，所以，
所以这批中医药的药物功效的平均值为.故选：C.
8【答案】D
【详解】A.因为椭圆的蒙日圆为，根据蒙日圆的定义，，得，所以椭圆，，，则，所以椭圆的离心率，故A正确；
B.点是圆上的动点，椭圆的右焦点，则的最大值是，故B正确；
C.根据蒙日圆的定义可知，则为圆的直径,与椭圆交于两点，点关于原点对称，设，，，
，故C正确；
D.因为为圆的直径，，当点到直线的距离为时，的面积最大，此时最大值是，故D错误.故选：D
9【答案】ACD
【详解】对于A，由，得，
两式作差得，即，所以数列为等差数列，故A正确；
对于B，令，知，故B错误；
对于C，由等差数列的性质知，即，又，
可得公差，所以，知数列的前51项为正，从第52项开始为负，当取最大值时，n的值为51，故C正确；
对于D，由数列的前51项为正，从第52项开始为负，又，
知，，，所以数列前49项和最大，
又，所以数列前51项和最大，当时，，
所以当或51时，的前n项和取得最大值，D正确．故选：ACD
10【答案】AC
【详解】由函数图象得：A=2，,所以，
又因为函数图象过点 ，所以，即 ，
解得 ，即 ，
因为，所以，所以，A. ，故正确；
B. ，故错误；
C. 因为，所以，故正确；
D.将的图象向左平移个单位，所得到的函数是，非奇非偶函数，故错误；故选：AC.
11【答案】ABD
【详解】由面面平行的性质定理可得四边形为平行四边形，所以四棱锥的体积等于三棱锥的体积的两倍，
∴ ，
又，都是定值，所以四棱锥的体积为定值，A对，
当BE⊥B1C时，
∵ CD⊥BE，BE⊥B1C，由线面垂直判断定理可得BE⊥平面B1CD，
∴ BE⊥B1D，又BB1=B1D1， ∴ B1D⊥BD1，
∴ 平面，B对，
当E运动到点C处时，不存在相应的点，使得平面，C错，
由面面平行的性质定理可得四边形为平行四边形，
∴ 截面四边形的周长为，当时，取最小值，此时截面四边形的周长最小，故存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值，D对，故选：ABD.
12【答案】BCD
【详解】因为，，
令，，得，，
因为与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称，
因为，
所以由的图象向右向上各平移一个单位得到图象，
故函数的图象关于直线对称，即可知点关于直线对称，
作出，与的大致图象，如图，
由图象可知的横坐标为，的横坐标为，
对于A，由上述分析得，则，
所以，故A错误；
对于B，由上述分析得，故B正确；
对于C，由，故C正确；
对于D，，
当且仅当，即时，等号成立，
显然，则，故等号不成立，所以，故D正确.故选：BCD.
13【答案】或
【详解】由，则，
由，则或，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，
则或，即或．故答案为：或．
14【答案】或
【详解】因为，所以，
由于，，则，，
又因为两条异面直线a，b所成角为，所以或，
故，可得或.故答案为：或
15【答案】
【详解】∵对于一切实数均有成立，
∴令y＝0，x＝1代入已知式，
得f（1）﹣f（0）＝2，∵f（1）＝0，∴f（0）＝﹣2；
令y＝0得，∴．
当，不等式恒成立时，即恒成立，
设，在（0，）上是增函数，∴，
∴要使恒成立，则在恒成立，
若a＞1时，不成立．
若0＜a＜1，则有时， ，∴要使在恒成立，
则，故答案为：
16【答案】
【详解】试题分析：因为，所以，因为，所以为的中点，，又因为为的中点，所以，所以，因为抛物线的方程为，所以抛物线的焦点坐标为，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过点作的垂线，过点作，则为抛物线的准线，所以，所以点的横坐标为，设,在中，，即，解得.
17【答案】（1） （2）
18【答案】（1） （2）
【小问1详解】
由正弦定理，得，
得，
得，
因为，所以，即.
小问2详解】
因为，所以.
因为，即（当且仅当b＝c＝6时，等号成立），
所以．故△ABC面积的最小值为.
19．【答案】（1）解：在A类的4个问题中，甲每个问题答对的概率为，
所以甲在第一轮得最高分（即60分）的概率为，
在A类的4个问题中，乙只能答对3个问题，
设这4个问题分别为a，b，c，d，乙只会回答其中的a，b，c，
从中随机选三个问题所得的4个样本点为：a，b，c；a，b，d；a，c，d；b，c，d，
得60分的一个样本点为a，b，c，所以乙在第一轮得最高分（即60分）的概率为.
（2）解：甲在第一轮的得分可能为0，20，40，60，乙在第一轮的得分可能为40，60.
把甲在第一轮选择的3个问题分别记为e，f，g，答对分别记为E，F，G，
所以甲在第一轮得40分的概率为
，
甲在第一轮得60分的概率为，
甲在第二轮得分分类如下：
选10分和20分的题所得分数为10分和30分，
选10分和30分的题所得分数为10分和40分，
选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分和50分，
所以甲两轮的总积分不低于90分的概率为
.
由（1）得，乙在第一轮得40分的概率为，乙在第一轮得60分的概率为，
乙在第二轮得分分类如下：
选10分和20分的题所得分数为0分、10分、20分和30分，
选10分和30分的题所得分数为0分、10分、30分和40分，
选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分和50分，
所以乙两轮的总积分不低于90分的概率为
.
因为，所以乙晋级复赛的概率更大.
20【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点为线段的中点
【小问1详解】
，又平面平面平面.
又平面，平面平面，
平面平面平面.
【小问2详解】
假设存在点.
由题意知，
又由勾股定理可得，
.
又平面平面，平面平面平面，
平面，
过点作垂直于平面的直线，以点为原点，分别以所在直线为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，则，
设为平面的法向量，，
，则，令，则，
为平面的一个法向量.
设，由题意，知，
则，
设为平面的法向量，，
，令，则，
则为平面的一个法向量，
由得，解得.
在线段（不包含端点）上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，此时点为线段的中点.
21【答案】（1） （2） （3）恒成立，理由见解析
【小问1详解】
因为，由，可得，即的定义域为；
又，所以为奇函数，
当时，易得单调递减，
所以在上单调递减，且的值域为，
不等式，可化为，
所以，即，
即，即，解得，
则原不等式解为；
【小问2详解】
函数，
若存在，使得成立，
则和在上的值域的交集不为空集；
由（1）可知：时，单调递减，
所以的值域为；
若，则在上单调递减，所以的值域为，
此时只需，即，所以；
若，则在上单调递增，可得的值域为，
此时与的交集显然为空集，不满足题意；
综上，实数的范围是；
【小问3详解】
恒成立，理由如下：
因为，
所以
，
因为在区间单调递减，
所以当时，，所以，
即，即，
所以，即.
22【答案】（1） （2）存在定点，
【小问1详解】
由题知，椭圆C过点和，所以，解得
所以椭圆C的方程为．
【小问2详解】
假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设，，
由，得，
∴，，
∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP
∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF
，
∴
∴恒成立
∴，解得∴
∴存在定点，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．
