2023-2024学年重庆市高一上学期期中七校联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，或，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
3.命题“，”的否定是( )
A. ，， B. ，
C. ， D. ，
4.已知幂函数，且，则实数( )
A. B. C. D.
5.设函数，则( )
A. B. C. D.
6.函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
7.若、是方程的两个根，则( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若实数，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是( )
A. 的值域为 B. 的定义域为
C. 为周期函数 D. 为偶函数
11.下列说法正确的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 函数与是同一函数
C. 函数的单调递增区间是
D. 已知的定义域为，则函数的定义域为
12.已知定义在上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是( )
A. 的一个周期为
B. 在区间上单调递减
C. 的图像关于直线对称
D. 在区间上共有个实根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则 ．
14.若、，且，则的最大值为 ．
15.已知集合，，且，则实数的取值范围是 ．
16.已知定义域为的函数，则满足条件的实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设集合，，．
若时，求
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集
若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知，求的最小值：
若、，且满足条件，求的最小值．
20.本小题分
党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元．
分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式
该企业已筹集到万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少
21.本小题分
已知是定义在上的奇函数．
求的值
已知函数，若函数与在上有两个交点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
根据交集的定义即可得解．
【解答】
解：集合，或，
．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域，就是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，是基础题．
由根式内部的代数式大于等于，分式的分母不等于联立取交集即可．
【解答】解：要使原函数有意义，则，解得且．
所以原函数的定义域为．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题．
直接根据全称量词命题的否定是存在量词命题得到答案．
【解答】解：全称量词命题的否定是存在量词命题，
则命题： 的否定是：
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂函数，属于基础题．
求出解析式，再求函数值即可．
【解答】
解：因为幂函数，且，
则，
则，
则
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数求函数值，考查转化与计算能力，属于基础题．
利用函数的解析式，先求出，即可求解．
【解答】
解：，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数图像的判断；属于基础题．
先判断出是奇函数，然后利用特殊值进行排除得到正确选项．
【解答】解：，即是奇函数，图象关于原点对称，排除
因为，所以，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
所以，排除，，
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数的运算性质，求解的关键是熟练掌握对数的运算性质，以及一元二次方程的根与系数的关系．
根据一元二次方程的根与系数的关系得：，，再利用对数的运算性质对化简求值．
【解答】解：，是方程两个根，
，，
则
，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了奇函数的定义，函数的单调性，不等式的解法，考查了计算能力，属基础题．
由题可知当时，函数单调递增，求解，然后根据函数是奇函数，进而可得到在上的解集．
【解答】
解：当时，由函数的单调性可知：
函数单调递增，且
令，解得，
因为函数为奇函数，所以的图象关于原点对称，
故当时，令可得
则的解集为：．
故选C．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查结合指数函数的单调性和幂函数单调性考查不等式比较大小及其相关性质，属于基础题．
根据指数函数的单调性判断，幂函数单调性等知识可对选项进行逐一判断．
【解答】
解：因为，所以由指数函数的单调性可得，故A正确
当，时，，故B错误
当时，所以由幂函数的单调性可得，故C正确
当时，，无意义，故D错误．
故选AC．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数的应用，属于中档题．
根据函数解析式逐一判断即可．
【解答】
解：因为函数，所以函数的定义域为，值域为，故A错误，B正确；
对于任何一个非零有理数，
若为有理数，则也为有理数，
则，
若为无理数，则也为无理数，则，
即任何一个非零有理数都是函数的周期，即为周期函数，故C正确；
函数，故为偶函数，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件、同一函数的判断、函数的单调性和定义域，属于基础题．
对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于、由，得或，故“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于、函数的定义域为，的定义域为或，
故定义域不同，不是同一函数；
对于、因为无意义，故C错误；
对于、因为的定义域为，
则，得
故函数的定义域为，故D正确
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，周期性，对称性及函数的零点，属于中档题．
根据函数的奇偶性，周期性，对称性及函数的零点逐选项进行判断即可．
【解答】
解：对于，令，得，则，
因为是偶函数，所以，所以，
故，即的一个周期为，故A项错误；
对于，因为在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，
由周期性可知，在区间上单调递减，故B项正确；
对于，因为是偶函数且是周期函数，所以的图像关于直线对称，故C项正确；
对于，由周期性可知，在区间上，，
而区间上有个周期，即在区间上有个零点，
又因为，所以在区间上有个零点，
由为偶函数，可知在区间上有个零点，即有个实根，故D项正确，
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查求函数值，属于基础题．
根据函数和即可求解．
【解答】解：因为函数，
所以，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
由题意易得，再由基本不等式可得，继而可求出的最大值．
【解答】解：因为，
所以，
又、，
则，当且仅当时，等号成立，
则，
所以，当且仅当时，等号成立，
即的最大值为，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】本题考查交集的运算以及空集的定义，属于基础题．
由题意先求出集合和，再结合交集运算和空集的定义即可求出的取值范围．
【解答】解：由题意可得
集合，
，
又，
所以，
故答案为：．
16.【答案】或
【解析】【分析】本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题．
先利用定义法证得为上的增函数，再由定义法得出是奇函数，继而由已知条件得出，则，再解不等式即可得出的取值范围．
【解答】解：任取，，且，
则
，
，
，，
，
，
函数为上的增函数
又，定义域为
为奇函数，
则等价于，
又函数为上的增函数，
所以，
即，
即，
所以或．
故答案为：或．
17.【答案】解：
由题意知当 时， ，故 ，
而 ，故 ．
由“ ”是“ ”的充分不必要条件，可得 为 的真子集，
当时，，即符合题意；
当时，与等号不能同时取得，
解得 ，
综上所述： 的取值范围为．
【解析】本题主要考查了集合的运算，集合的包含关系，充分不必要条件的应用，属于中档题．
先利用补集概念求 ，再结合交集概念求 ；
由“ ”是“ ”的充分不必要条件，可得 ，再建立不等关系求的取值范围即可．
18.【答案】解不等式的解集为，
和是方程的两根，
，
解得，
不等式即为，
即解得，
不等式的解集为，
不等式对恒成立，
，
即，
解得
【解析】本题考查含参一元二次不等式的求解，不等式恒成立问题，属于基础题．
由题意得和是方程的两根，结合韦达定理求出，，再解一元二次不等式即可；
由不等式恒成立可得，即可求解．
19.【答案】解：因为，故，，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为
因为，为正数，，所以，
，，
则
当且仅当即，时等号成立，
所以当，时，有最小值．
【解析】本题考查利用基本不等式求最值
先将函数变形，再利用基本不等式求出最值
结合常数代换利用基本不等式求出最值．
20.【答案】解：设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元，
由题意知，，
由图可知，，，，
从而，，
设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元．
则，
令，则，则，
该二次函数在上单调递增，在上单调递减
当时，此时，
答：产品投入万元，产品投入万元时，企业利润取得最大值万元
【解析】【分析】本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用待定系数法求函数的解析式、考查换元法注意新变量的范围、二次函数的最值与对称轴有关．属于中档题．
根据函数的模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出两个函数解析式．
将企业获利表示成对产品投资的函数；令，将函数转化为二次函数，求出对称轴，求出函数的最值．
21.【答案】解是定义在上的奇函数，
由可知，
经检验时，符合题意，
；
由知，即，
与在上有两个交点，
即关于的方程有两个不等正实根，
即关于的方程有两个不等正实数根，
令，
则关于的方程在上有两个不等实数根，
整理，
即与在内有两个交点，
又由于，
当且仅当即时等号成立，
如图所示：
，解得．
【解析】本题考查了函数的奇偶性、指数函数的图象与性质和基本不等式及函数图象的应用，是中档题．
由奇函数得得出，再检验即可；
由题意关于的方程有两个不等正实数根，令，利用基本不等式和函数图象可得结果．
第1页，共1页
