高一数学上学期单元测试基础卷（人教B版2019）
第1章集合与常用逻辑用语
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．下列命题与“，”表述一致的（ ）
A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得
C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题.若为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．对于命题“若，则”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．已知集合，集合，下列关系正确的是（ ）．
A． B． C． D．
11．若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（ ）
A． B． C． D．
12．下列四个命题中正确的是（ ）
A．由所确定的实数集合为
B．同时满足的整数解的集合为
C．集合可以化简为
D．中含有三个元素
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）
13．已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 .
14．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为 ．
15．设集合，，已知且，则的取值集合为 .
16．集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．写出下列命题的条件和结论.
（1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等；
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等；
（3）若a，b都是偶数，则是偶数；
（4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同；
（5）若，则；
（6）若，则方程有实数解.
18．已知集合.
(1)若是空集，求的取值范围；
(2)若中只有一个元素，求的值，并求集合；
(3)若中至多有一个元素，求的取值范围
19．已知集合或，．
(1)若，求和；
(2)若是的必要条件，求实数a的取值范围.
20．已知，.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
21．设集合， .
(1)若，试求；
(2)若，求实数的取值范围．
22．已知集合为非空数集，定义：
，
（1）若集合，直接写出集合，.
（2）若集合，，且，求证：
（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】由题意，即方程组的解的个数，再联立方程求解即可.
【详解】由题意，即方程组的解的个数，即，解得或.故，则中元素的个数为2.
故选：B
2．D
【分析】根据存在量词命题的描述方法即可得解.
【详解】与“，”表述一致的为至少有一个实数x，使得.
故选：D.
3．A
【分析】由集合，中的元素特征判断可得.
【详解】，
当时，表示的整数倍与的和，表示的整数倍与的和，
故，
故选：A
4．C
【分析】由题意为真命题，再根据一次函数恒成立性质求解即可.
【详解】由题意为真命题，故，恒成立，故，即.
故选：C
5．B
【分析】先求得，再利用交集定义即可求得
【详解】由，，可得，
则
故选：B
6．A
【分析】化简已知条件，根据充分条件、必要条件的概念可得解.
【详解】由，得，
即，则，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：A
7．D
【分析】确定M中一定含有，再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答案.
【详解】的子集有，
由题意知M中一定含有，
则M中可以含有的其他元素从剩余的5个集合中选取；
当剩余的5个集合都不选时，，共1个；
当只取1个时，或，
或，满足题意，此时M有3个；
当取2个时，或，
或，满足题意，此时M有3个；
当取3个时，或，
或或，满足题意，此时M有4个；
当取4个时，没有符合题意的情况；
当5个全选时，，共1个，
故所有含的“M—集合类”的个数为，
故选：D
8．D
【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可.
【详解】由题意得，
所以，且等号不能同时成立，解得.
故选：D.
9．AD
【分析】逐个代入验证，只要满足条件，不满足结论即可说明是假命题.
【详解】对于A，当，时，满足，但，能说明命题是假命题，所以A正确，
对于B，当，时，满足，，所以不能说明命题是假命题，所以B错误，
对于C，当，时，满足，，所以不能说明命题是假命题，所以C错误，
对于D，当，时，满足，但，能说明命题是假命题，所以D正确，
故选：AD
10．ACD
【分析】根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．
【详解】由已知集合，集合是由抛物线上的点组成的集合，
A正确，B错，C正确，D正确，
故选：ACD．
【点睛】本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．
11．AB
【解析】由题意可知，命题“，成立”，利用参变量分离法结合基本不等式可求得的取值范围，由此可得结果.
【详解】由题意可知，命题“，成立”，
所以，，可得，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，.
故选：AB.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
12．ABC
【分析】对于A选项:对的符号分类讨论即可；对于B选项：解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C选项：对讨论验证相应的是否是自然是即可；对于D选项：结合的因数并对讨论即可.
【详解】对于A选项: 讨论的符号并列出以下表格：
由上表可知，的所有可能的值组成集合，故A选项正确.
对于B选项:由，，所以解不等式组得，
其整数解所组成的集合为,故B选项正确.
对于C选项：若 满足且，所以，所有只需讨论时的情形，由此列出以下表格：
0 1 2 3 4 5
8
由表可知集合可以化简为，故C选项正确.
对于D选项：若满足，则是6的正因数，又6的正因数有1，2，3，6，由此可列出以下表格：
1 2 3 6
2 1 0
因此满足上述条件的的可能取值的个数为4个，即中含有4个元素，故D选项错误.
故选：ABC.
13．
【分析】根据题目条件可得，对进行分类讨论求出实数a的取值范围.
【详解】因为“”是“”的必要条件，所以，
当时满足题意，即，所以；
当时，或，
解得：或；
综上可得，实数a的取值范围是.
故答案为：.
14．172
【分析】画出韦恩图求解即可.
【详解】
，
（人．
故答案为：172
15．
【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果.
【详解】因为，即，
所以或，
若，则或；
若，即，则或.
由与互异，得，
故或，
又，即，所以，解得且，
综上所述，的取值集合为.
故答案为：
16．或
【分析】由题设条件求，，，，，的大小关系，再根据集合运算新定义求即可.
【详解】，得；，得；
∴，；同理，
∴．由(1)(3)可得．
∴，，．
或．
故答案为：或
17．（1）条件：两个三角形相似；结论：两个三角形的对应角相等.
（2）条件：四边形是平行四边形；结论：四边形的对角相等.
（3）条件：a，b都是偶数；结论：是偶数.
（4）条件：两个实数的积为正数；结论：两个实数的符号相同.
（5）条件：；结论：.
（6）条件：；结论：方程有实数解.
【分析】根据命题的定义即可得出答案.
【详解】（1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等；
条件：两个三角形相似；结论：两个三角形的对应角相等.
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等；
条件：四边形是平行四边形；结论：四边形的对角相等.
（3）若a，b都是偶数，则是偶数；
条件：a，b都是偶数；结论：是偶数.
（4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同.
条件：两个实数的积为正数；结论：两个实数的符号相同.
（5）若，则
条件：；结论：.
（6）若，则方程有实数解.
条件：；结论：方程有实数解.
18．(1)
(2)的值为或，当时，当时
(3)
【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根；
（2）A中只有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且方程有两个相同的根；
（3）A中至多有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且至多一个实根.
【详解】（1）A是空集，且，，解得，
的取值范围为：；
（2）当时，集合，
当时，，，解得，此时集合，
综上所求，的值为或，当时，集合，当时，集合；
（3）由可知，当中至多有一个元素时，或，
的取值范围为：.
19．(1)，或
(2)或
【分析】（1）根据集合交集和并集的定义进行求解即可；
（2）根据必要条件的性质进行求解即可.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，或；
（2）∵是的必要条件，
∴
∴当时，则有，解得．满足题意．
当时，有，或，
由不等式组可得，不等式组无解．
综上所述，实数a的取值范围是或.
20．(1)
(2)或
【分析】（1）首先求出集合，依题意可得，则和为方程的两根；
（2）分、为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为，
若是的子集，则，
所以，解得.
（2）若是的子集，则.
①若为空集，则，解得；
②若为单元素集合，则，解得.
将代入方程，得，解得，所以，符合要求；
③若为双元素集合，，则.
综上所述，或.
21．(1)
(2).
【分析】（1）利用一元二次方程的公式及集合的并集的定义即可求解.
（2）利用子集的定义及一二次方程的根的情况即可求解.
【详解】（1）由，解得或，
.
当时，得解得或
；
∴.
（2）由（1）知，，，
于是可分为以下几种情况．
当时，，此时方程有两根为，，则
，解得.
当时，又可分为两种情况．
当时，即或，
当时，此时方程有且只有一个根为，则
，解得，
当时，此时方程有且只有一个根为，则
，此时方程组无解，
当时，此时方程无实数根，则
，解得.
综上所述，实数a的取值为.
22．（1），；（2）证明见解析；（3）1347.
【解析】（1）根据题目定义，直接计算集合及；
（2）根据两集合相等即可找到，，，的关系；
（3）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值．
【详解】（1）根据题意，由，则，；
（2）由于集合，，且，
所以中也只包含四个元素，
即，
剩下的，
所以；
（3）设满足题意，其中，
则，
，
，
，
，，
中最小的元素为0，最大的元素为，
，
，
，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，，
则，，
依题意有，即，
故的最小值为674，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.
【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
