2023-2024上学期期末模拟诊断测评卷（九年级数学）
（分值：120分 时间：120分钟）
一、选择题（每小题3分，有10个小题，共30分）
1．如图，数轴上点A所表示的数的倒数是（ ）
A． B． C．9 D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( )
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．频数分布直方图
5．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（ ）
A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度减小
C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变
10．如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（ ）
①；
②；
③方程的两个根为，；
④抛物线上有两点和，若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，有5个小题，共15分）
11．在比例尺为的地图上，量得两地在地图上的距离为厘米，即实际距离为28000000厘米．数据28000000用科学记数法可表示为 ．
12．如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．
13．某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
盖面朝上频率
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 ．（填序号）
14．若x满足，则整数x的值为 ．
15．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，如图1，为水面截线，为台面截线，，，，．将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动．如图2，则操作后剩余水的截面周长为 ．
三、解答题（有9个小题，共75分）
16．先化简，再求值：，其中．
17．设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①，；②，；③，．
18．某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．
信息一：排球垫球成绩如图所示（成绩用表示，分成六组）：
A、；B、；C、；D、；E、；F、
信息二：排球垫球成绩在D、这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24；
信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：
分组
人数 2 m 10 9 6 2
信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如表：
学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6
排球垫球 26 25 23 22 22 15
掷实心球 ▲ 7.8 7.8 ▲ 8.8 9.2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：__________；
(2)若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，下列结论正确的是__________；（填序号）
①估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为75；
②掷实心球成绩的中位数记为，则；
③如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．
(3)在（2）③的前提下，从6名男生中随机抽取一名，该学生两项都不是优秀的概率是__________．
19．如图，在矩形中，点为线段上任一点．
(1)若，请在图中用尺规作图画出所有符合要求的点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
20．如图所示，有一长方形的空地，长为米，宽为12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园．
(1)请用含的代数式表示正方形乙的边长：__________米；
(2)若丙地的面积为32平方米，请求出的值．
21．如图，为的直径，过上一点作的平分线交于点D，的平分线交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若淇淇跳起将沙包回传后，嘉嘉又恰在点处接住，则的值是多少？
(3)若嘉嘉在轴上方1m的高度上，且到点前后水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，直接写出符合条件的的整数值．
23．在中，，，，点是的中点．四边形是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），，且，菱形可以绕点顺时针旋转，连接和，设旋转角为．
(1)在菱形绕点旋转的过程中，当点在线段上时，如图①，请直接写出与的数量关系；
(2)当菱形绕点旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)在菱形（从图①位置开始）绕点D旋转一周的过程中，，当所在的直线经过点时，请直接写出的度数．
24．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点到定点的距离，始终等于它到定直线的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线与轴的交点为．其中原点为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为，其中，．
图1 图2 图3
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线的方程：__________，__________；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线上一点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，求点坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线的焦点为，准线方程为．直线，过抛物线上点作轴垂线，交直线于点，，，当时，请直接写出点横坐标的取值范围．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数以及倒数的概念．先由数轴可知点A表示的数为9，再根据倒数定义求解即可．
【详解】解：由数轴可知，点A表示的数为：9，
点A表示的数的倒数为：，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了同底数幂的除法：、为正整数，．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及合并同类项．分别根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，所以A选项不正确；
B、，所以B选项正确；
C、，所以C选项不正确；
D、，所以D选项不正确．
故选：B．
3．C
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
4．C
【分析】在扇形统计图中将总体看做一个圆，用各个扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占总体的百分比．
【详解】根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图．
故选C．
【点睛】本题考查了统计图的选取，扇形统计图的特点及优点，熟练掌握各种统计图的特点及优点是解题的关键．
5．B
【分析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解．
【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，
∴总面积为，
阴影部分的面积为，
∴点落在阴影部分的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．
6．A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
7．C
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质，对顶角的性质．由平行线的性质得到，由对顶角的性质得到，再根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，
，
∵，
，
，
．
故选：C．
8．D
【分析】根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴的度数可能是
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．C
【分析】根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可．
【详解】解：A、因为矩形框架向左扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，故A正确，不符合题意；
B、向左扭动框架，的长度减小，故B正确，不符合题意；
C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意；
D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性，弄清图形变化前后的变量和不变量是解答此题的关键．
10．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向和与y轴交点可判断出a，c的正负即可对①作出判断，利用抛物线与x轴的交点和对称轴可得出时，即可对②作出判断；由对称性可对③④作出判断，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：抛物线开口方向向下，
，
抛物线交y轴于正半轴，
，
，故①正确；
抛物线对称轴为直线，时，，
时，，
，故②错误；
抛物线与轴交于点，对称轴为直线，
方程的两个根为，，故③正确；
，
两点分布在对称轴的两侧，
，
到对称轴的距离等于到对称轴的距离，
，故④正确，
综上所述正确的有：①③④，共有3个，
故选：C．
11．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．
【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可．
【详解】∵正方形的面积为7，正方形的面积为9
∴，
即，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．
13．①③
【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．
【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；
②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．
故答案为：①③．
【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．
14．或3或1
【分析】此题主要考查了零指数幂，以及有理数的乘方．根据零指数幂可得，根据有理数的乘方可得；，为偶数，再解即可．
【详解】解：由题意得：
①，，
解得：；
②，
解得：；
③，为偶数，
解得：，
故答案为：或3或1．
15．
【分析】本题主要考查圆的基本性质，涉及垂径定理、勾股定理和弧长公式，根据题意得圆的半径，连接，过点O作交于点H，根据勾股定理可求得，利用弧长公式可求得，即可得到剩余水的截面周长．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
在中，，
连接，过点O作交于点H，如图，
∵，，
∴，，
∴，
则，
∵，
∴操作后剩余水的截面周长为．
故答案为：．
16．，1
【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，根据负整数幂和0次幂的运算法则，求出x的值，最后将x的值代入计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及负整数幂和0次幂的运算法则是解题的关键．
17．选②，；
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程．由方程有两个不相等的实数根，则，即，分别验证四组数值，确定满足条件的b，c的值后，分别解方程即可完成解答．
【详解】解：这个方程有两个不相等的实数根，
，即，
当，，，，故①不满足题意，
当，，，，故②满足题意，
则这个方程为，
，
，
∴；
当，，，，故③不满足题意．
18．(1)11
(2)①②③
(3)
【分析】本题考查的是从频数分布表，统计表中获取信息，概率公式的应用．
（1）由总人数减去各小组已知人数即可得到答案；
（2）由排球垫球成绩达到22个及以上的人数除以总人数可判断①，由中位数的含义可判断②，分三种情况进行分析讨论可判断③，从而可得到答案；
（3）根据概率公式即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得：；
故答案为：11；
（2）解：①排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，
估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为，故①符合题意；
②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在这一组，
∴掷实心球成绩的中位数记为n，则；故②符合题意；
③由排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．
∴从这点出发可得：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5为优秀，
∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，
∴若学生1为优秀，则学生4不为优秀，可得学生3优秀；
若学生4为优秀，学生1不为优秀，可得学生3优秀；
学生1，学生4不可能同时为优秀，
∴学生3掷实心球的成绩必为优秀，故③符合题意；
故答案为：①②③；
（3）解：从6名男生中随机抽取一名，该学生两项都不是优秀的情况有2种，
∴从6名男生中随机抽取一名，该学生两项都不是优秀的概率是．
故答案为：．
19．(1)见解析
(2)的长为2或8．
【分析】本题主要考查尺规作图、圆的性质、勾股定理、矩形的性质等相关知识点．
（1）以为直径作圆即可，与交点即为P；
（2）连接，过作垂直于点，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：取中点O，以O为圆心，长为半径作圆，交于P，如下图所示，点和都符合要求，
；
（2）解：连接，过作垂直于点，
∵四边形是矩形，
∴四边形是矩形，
∴，
∵O为中点，∴，
∴在中，，
∴；
同理，；
综上，的长为2或8．
20．(1)
(2)的值为或
【分析】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）根据图形结合甲和乙为正方形即可得出正方形乙的边长；
（2）由（1）可得：丙的长为米，从而得出丙的宽为米，结合“丙地的面积为32平方米”得出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：甲和乙为正方形，
结合图形可得正方形乙的边长为米，
故答案为：；
（2）解：由（1）可得：丙的长为米，
丙的宽为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
的值为或．
21．(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理．
（1）由三角形外角的性质、圆周角定理及角平分线的定义可得，，，即可得，根据等角对等边可得；
（2）利用圆周角定理，推出，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵， ，
，
∴；
（2）解：连接，，
∵为的直径，
∴，
∵平分，平分，且，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∵，，
解得，
∴,
∴．
22．(1)的最高点坐标为，，；
(2)；
(3)符合条件的n的整数值为4和5．
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值；
（2）将代入即可求解；
（3）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，
令，则；
（2）解：由题意得在抛物线上，且，
∴，
解得；
（3）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
23．(1)；
(2)（1）中结论成立，证明见解析；
(3)的度数为或．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、菱形的性质，直角三角形的性质．
（1）根据直角三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，由，即可得出答案；
（2）证明，即可求解；
（3）分当B、E、F共线和B、F重合时，两种情况讨论，画出图形，利用菱形的性质即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
在中，，
点D是的中点，
，
则，
∵四边形是菱形，
∴，
∴；
（2）解：（1）的结论成立，理由：
证明：连接，
，
，
，
，
；
（3）解：当B、E、F共线时，如下图，连接，
∵，，
∴均为等边三角形，
∴；
当B、F重合时，也符合题意，如下图：
，
∴；
综上，的度数为或．
24．（1），；（2）或；（3）．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，根据交点确定不等式解集等知识，理解题干中焦点与准线的意义，善于利用抛物线上的点到焦点的距离等于此点到准线的距离是解题的关键．
（1）根据焦点与准线方程的定义即可求解；
（2）设，过点P作准线l的垂线于点N，交x轴于点A，则可得，根据，建立方程即可求得x的值，从而得点P的坐标；
（3）由题意得，设直线交准线l于点N，则可分别得点Q与N的坐标，从而得关于x的表达式，利用则可求得x的范围．
【详解】解：（1）∵的焦点为，准线方程为，
而中，，
∴，
∴的焦点坐标为，准线的方程；
故答案为：，；
（2）设，
连接，过点P作准线l的垂线于点N，交x轴于点A，如图，
由题意得：，
由（1）知，抛物线的焦点为，准线的方程为；
∵，
∴，；
∵，即，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为或；
（3）∵点P的横坐标为x，且点P在抛物线上，
∴，
如图，连接，设直线交准线l于点N，则；
由（1）知，抛物线的焦点为，准线的方程为；
∵轴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解，得：；
对于，化简得：，
考虑二次函数，令，
解得：，
即二次函数图象与x轴交于，
∵二次函数的图象开口向上，
∴的解集为：或；
综上，不等式的解集为：，
即x的范围为．
