2023-2024学年重庆市乌江新高考协作体高一（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1．（5分）已知x是实数，则“x≥2”是“x2+4x﹣12≥0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（5分）已知sinα+cosα，α∈（0，π），则tanα的值为（ ）
A．或 B． C． D．
3．（5分）函数f（x）＝2x的值域为 （ ）
A．（0，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，4] D．（0，4]
4．（5分）cos45°sin75°+sin45°sin165°的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．ω＝2
B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）在[，]上单调递减
D．该图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象
6．（5分）若二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m的一个零点在区间（1，2）内，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（2，3）
7．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|﹣ax（x＞0，0＜a＜1）的两个零点是x1，x2，则（ ）
A．0＜x1x2＜1 B．x1x2＝1 C．1＜x1x2＜e D．x1x2＞e
8．（5分）若关于x的方程在区间[0，1]内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，1] B．[﹣3，1]
C．（﹣∞，﹣2]∪[0，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[0，1]
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）赵同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是R；③在（0，+∞）上是增函数．则以下幂函数符合这三个性质的有（ ）
A．f（x）＝x3 B．f（x）＝x2 C．f（x）＝x D．f（x）＝x﹣1
（多选）10．（5分）已知m，n均不为0，且2m2﹣3mn﹣2n2＝0，则的值可以是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
（多选）11．（5分）已知，则（ ）
A．tanα＝﹣2
B．tanα＝2
C．
D．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝﹣4cosxcos（x）+1，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．x为函数f（x）图像的一条对称轴
C．函数f（x）在[，]上单调递减
D．函数y＝f（x）在[0，π]上有3个零点
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知集合，则集合A、B的关系为 ．
14．（5分）已知函数f（x）＝4﹣log2x，x∈[2，8]，则f（x）的值域是 ．
15．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+4）＝f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣x2，则f（2019）＝ ．
16．（5分）已知函数f（x）满足 x∈R，有f（x）＝f（6﹣x），且f（x+2）＝f（x﹣2），当x∈[﹣1，1]时，．当x∈（﹣1，11）时，方程的所有根的和为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．
18．（12分）已知．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
19．（12分），其中x满足．
（1）求实数x的取值范围；
（2）求f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．
20．（12分）设函数（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求t的值；
（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m，（m≠1）使函数在[1，log23]上的最大值为m，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x2+2x．
（1）画出y＝f（x）在R的图象，并写出函数的减区间；
（2）求函数f（x）在R上的解析式；
（3）求不等式xf（x）＞0的解集．
22．（12分）已知函数f（x）＝loga（2x﹣3）+1（a＞0，a≠1）．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜3的解集；
（2）当a＝10时，设g（x）＝f（x）﹣1，且g（3）＝m，g（4）＝n，求log645（用m，n表示）；
（3）在（2）的条件下，是否存在正整数k，使得不等式2g（x+1）＞lg（kx2）在区间[3，5]上有解，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由．
2023-2024学年重庆市乌江新高考协作体高一（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【解答】解：由“x2+4x﹣12≥0”可得（x+6）（x﹣2）≥0，
∴x≤﹣6或x≥2，
∴“x≥2”是“x2+4x﹣12≥0”的充分不必要条件，
故选：A．
2．【解答】解：∵sinα+cosα，α∈（0，π），∴α为钝角，
结合sin2α+cos2α＝1，∴sinα，cosα，则tanα，
故选：C．
3．【解答】解：令t，则t≥0，
2﹣x＝t2，解得x＝2﹣t2，
∴f（t）＝﹣2t2+t+4＝﹣2（t）2，
∴函数f（x）＝2x的值域为（﹣∞，]．
故选：B．
4．【解答】解：cos45°sin75°+sin45°sin165°＝cos45°cos15°+sin45°sin15°＝cos（45°﹣15°）＝cos30°，
故选：A．
5．【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象，
可得A＝2，，
所以ω＝2，故A正确；
利用五点法作图，可得2φ＝π，可得φ，
所以f（x）＝2sin（2x），
令x，求得f（x）＝﹣2，为最大值，故函数y＝f（x）的图象关于直线x对称，故B正确；
当x∈[，]，2x∈[﹣π，0]，函数f（x）没有单调性，故C错误；
把f（x）的图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象，故D正确，
故选：C．
6．【解答】解：令f（x）＝x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0，
即（x+1）（x﹣m）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝m，
又因为函数f（x）的一个零点在区间（1，2）内，
﹣1 （1，2），
所以m∈（1，2）．
解得1＜m＜2，
所以实数m的取值范围是（1，2）．
故选：C．
7．【解答】解：因为f（x）＝|ln x|﹣ax＝0 |ln x|＝ax，作出函数y＝|ln x|，y＝ax的图象如图所示，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2，从而ln x1＜0，ln x2＞0，因此|ln x1|ln x1，|ln x2|ln x2．故ln x1x2＝ln x1+ln x20，所以0＜x1x2＜1．
故选：A．
8．【解答】解：当a＝0时，方程解为x＝1，满足题意；
令f（x）＝（ax+1）2，函数f（x）的对称轴是x，
令g（x）a，
当a＝﹣1时，f（x）＝（﹣x+1）2＝（x﹣1）2，
当x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，
g（x）1，当x∈[0，1]时，g（x）∈[2，3]，
所以，当a＝﹣1时，方程（ax+1）2a在区间[0，1]内无解，故a≠﹣1，排除A、B选项；
当a＝﹣2时，f（x）＝（﹣2x+1）2＝（2x﹣1）2，当x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，
g（x）2，当x∈[0，1]时，g（x）∈[3，4]，
所以，当a＝﹣2时，方程（ax+1）2a在区间[0，1]内无解，故a≠﹣2，排除选项C；
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【解答】解：对A，f（x）＝x3是定义域R上的奇函数，增函数，值域为R，故A正确；
对B，f（x）＝x2是定义域R上的偶函数，不符合要求，故B错误；
对C，f（x）＝x是定义域R上的奇函数，增函数，值域为R，故C正确；
对D，f（x）＝x﹣1在（0，+∞）上单调递减，不符合要求，故D错误．
故选：AC．
10．【解答】解：由题意2m2﹣3mn﹣2n2＝0得（m﹣2n）（2m+n）＝0，
可得m＝2n或，
故当m＝2n时，，
当时，．
故选：BC．
11．【解答】解：∵，∴﹣sinα+2cosα＝0，∴tanα2，
故A错误，且B正确；
∴3，故C错误，且D正确，
故选：BD．
12．【解答】解：由题意得：f（x）＝﹣4cosxcos（x）+1
＝﹣4cosx（）+1
＝﹣2
＝﹣（1+cos2x）
sin2x﹣cos2x
＝2sin（2x），
∴f（x）的最小正周期Tπ，故A错误；
f（）＝﹣2，故B正确；
∵x∈[，]，∴2x∈[，3π]，
∴函数f（x）在[，]上单调递减，故C正确；
令y＝f（x）0，
即2sin（2x）0，所以sin（2x），
因为0≤x≤π，所以，
令t＝2x，t∈[，]，则h（t）＝sint，所以选项D的问题转化为
h（t）＝sint，t∈[，]与y的交点个数问题，
如图所示：
观察可知，有2个零点，故D错误．
故选：BC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：由集合A得：
A＝{x|x（2n+1），n∈Z}，
由集合B得：
B＝{x|x（2n+3），n∈Z }，
∵{x|x＝2n+1，n∈Z}＝{x|x＝2n+3，n∈Z}，
∴A＝B，
故答案为：A＝B．
14．【解答】解：∵函数f（x）＝4﹣log2x在x∈[2，8]时单调递减，
∴当x＝2时函数取最大值4﹣log22＝3，
当x＝8时函数取最小值4﹣log28＝1，
∴函数f（x）的值域为[1，3]，
故答案为：[1，3]．
15．【解答】解：因为对任意实数x，恒有f（x+4）＝f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数，
因为f（x）是定义在R上的奇函数，x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣x2，
所以f（2019）＝f（505×4﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（2×1﹣1）＝﹣1．
故答案为：﹣1
16．【解答】解：由题设，知，
故f（x）在x∈[﹣1，1]上为奇函数且单调递减，又f（x+2）＝f（4﹣x）＝f（x﹣2），
即关于x＝2k+1、（2k，0），k∈Z对称，且最小周期为4，
由题意，只需确定f（x）与在x∈（﹣1，11）的交点，
判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，
∴共有6个交点且关于x＝5对称，则x1+x6＝x2+x5＝x3+x4＝10，
∴所有根的和为30．
故答案为：30．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，，
∴当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣2xf（x），
∴f（x）＝2x，
∴函数f（x）；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
证明：∵当x＞0时，，
∴当x∈（0，+∞）时，
令x1＞x2＞0，
则（x1﹣x2）（2），
又∵x1﹣x2＞0，x1x2＞0，20，
∴f（x1）＞f（x2），
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（证毕）．
18．【解答】解：（1）；
（2）原式．
19．【解答】解：（1）由，得32x﹣90×3x+729≤0．
∴（3x﹣9）（3x﹣81）≤0，解得9≤3x≤81，
∴2≤x≤4．
∴实数x的取值范围是[2，4]；
（2）∵x∈[2，4]，∴log2x∈[1，2]，
∴（log2x﹣1）（log2x﹣2）
．
∴当log2x＝1或log2x＝2，即x＝2或4时，函数f（x）有最大值为．
20．【解答】解：（1）∵是奇函数，∴f（0）＝0，1﹣（t﹣1）＝0，解得t＝2．
当t＝2时，，∴f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x），
∴f（x）是奇函数，满足题意，∴t＝2．
（2）∵，f（1）＞0，∴，又a＞0，∴a＞1，
设 x1，x2∈R，x1＜x2，则，
∴，
∵x1＜x2，a＞1，∴，又∵．
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1），∴f（x）是单调递增函数．
f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0，f（kx﹣x2）＜﹣f（x﹣1）＝f（1﹣x），∴kx﹣x2＜1﹣x恒成立，
即x2﹣（k+1）x+1＞0恒成立，∴Δ＝（k+1）2﹣4＜0，∴﹣3＜k＜1，
∴k的取值范围为（﹣3，1）．
（3）∵函数f（x）的图象过点，
∴（a＞0），解得a＝2，
设t＝f（x）＝ax﹣a﹣x，由（2）知f（x）是单调递增函数，
∴当x∈[1，log23]时，，t2＝a2x+a﹣2x﹣2，
∴，，其最大值为m，
也即t2﹣mt+2有最值1，二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取∴只可能是以下三种情况：
①，解得，此时对称轴为，左端点处取的是二次函数最小值，
而m＞1，也即h（t）最小值，不合题意舍去．
②，解得，此时对称轴为，右端点离对称轴更远，取的最大值，
而m＞1，也即h（t）最大值，符合．
③，解得m＝±2，此时对称轴为t＝±1，不在区间上，
∴最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去．
综上所述，．
21．【解答】解：（1）图象如图所示：
由图象可得，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减．
（2）根据题意，设x＞0，则﹣x＜0，
则f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x，
又由f（x）为奇函数，
则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x；
则f（x）；
（3）根据题意，xf（x）＞0，即或，
结合图象可得0＜x＜2或﹣2＜x＜0，
∴不等式的解集为（﹣2，0）∪（0，2）．
22．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝log2（2x﹣3）+1＜3，
∴0＜2x﹣3＜4，∴不等式f（x）＜3的解集为（）；
（2）当a＝1时，g（x）＝f（x）﹣1＝lg（2x﹣3），
∴m＝g（3）＝lg3，n＝g（4）＝lg5，
∴log645．
（3）在（2）的条件下，不等式2g（x+1）＞lg（kx2）化为（2x﹣1）2＞lg（kx2），
∴k（2）2，∈[]，
∴k＜h（x）max＝h（5），
∵k是正整数，∴k的最大值为3．
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