海淀区高一年级练习
数 学 2024.01
（A）56 （B）80 （C）144 （D）184
学校 班级 姓名
考 1.本试卷共6页，共三道大题，26道小题，满分150分，考试时间120分钟。
生 2.在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名。
3.答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答。
（6）若实数a,b满足a b，则下列不等式成立的是（ ） 须
4.考试结束，请将本试卷交回。
知 （A） a b （B）a+c b+c （C）a2 b2 （D）ac2 bc2
（7）函数 f (x) = 2x +2x 的零点所在的区间为（ ）
一、选择题：共14小题，每小题4分，共56分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
（A） ( 2, 1) （B） ( 1,0) （C） (0,1) （D） (1, 2)
（1）已知全集 U = 2, 1,0,1,2 ，集 合 A = 2, 1,0 ， 则 CU A =（ ）
x a
（A） 1,2,3 （B） 1,2 （C） (0, 2) （D） (1, 2) （8）在同一个坐标系中，函数 f (x) = loga x, g(x) = a ,h(x) = x 的部分图象可能是（ ）
（2）某学校有高中学生1500人，初中学生1000人。学生社团创办文创店，想了解初高中学生对
学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽
取了100人，则在高中学生中抽取了 （ ）
（A）150人 （B）200人 （C）250人 （D）300人
（3）命题“ x R, x + 2 0 ”的否定是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（A） x R, x + 2 0 （B） x R, x + 2 0 （C） x R, x + 2 0 （D） x R, x + 2 0 （9）下列函数中，既是奇函数，又在 (0,+ )上单调递减的是（ ）
1
x + y = 0 （A） f (x) = x (B) f (x) = x x (C) f (x) =
3
(D) f (x) = x
2
（4）方程组 2 解集是（ ） x +1
x + x = 2 （10）已知a = 20.1,b = log2 3,c = log3 2 ，则实数a,b,c 的大小关系是 （ ）
（A）c a b （B） c b a （C） a c b （D） a b c （A） (1, 1) ,( 1,1) （B） (1,1) ,( 2,2) （C） (1, 1) ,( 2,2) （D） (2, 2) ,( 2,2)
1 a
（11）已知函数 f (x) = ，则“a=1”是 f (x) 为奇函数的（ ）
x
（5）某部门调查了 200 名学生每周的课外活动时间（单位：h），制成了如图所示的频率分布直方图，其 2 +1 2
（A） 充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
中课外活动时间的范围是 10的,20 ，并分成 10,12)， 12,14)， 14,16)， 16,18)， 18,20 五组．根据直方 （12）已知函数 f (x) = log (x+1)+ x 2，则不等式 f (x) 0的解集为 （ ） 2（A） ( ,1) （B） ( 1,1) （C） (0,1) （D） (1,+ ) 图，判断这 200 名学生中每周的课外活动时间不少于 14h 的人数是（ ） 高一数学第1页（共6页） 高一数学第2页（共6页）
{#{QQABRYaEoggAAAIAABhCQQUaCkAQkBECAIoOgBAMIAAAgQFABCA=}#}
（13）科 赫 (Koch)曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下： 2 x , x 0
（19）已知函数 f (x) = ，则 f (x) 的单调递增区间为__________；满足 f (x) 4 10
4
的整数
如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生 x
2 , x 0
解的个数为____________ （参考数据： lg 2 0.30）
成1级科赫曲线“ ”,将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科
赫曲线，同理可得3级科赫曲线 …… （20）共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具。通过调查发现人们在单车选择时，
a
在分形中， 一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的 x可以使用“Tullock 竞争函数”进行近似估计，其解析式为 S(x) = , x [0,1],a 0 (其中参
xa + (1 x)a
1
部分组成。若 D r = ，则称D为该图形的分形维数。那么科赫曲线的分形 数a表示市场外部性强度，a越大表示外部性越强)。给出下列四个结论：
N 1 1
① S (x) 过定点（ ，）；
维数是（ ） 2 2
② S (x) 在[0,1]上单调递增；
（A） log 3 （B） log 2 （C） 1 （D） 2 3 2log3 2
1
x + a, x a ③ S (x) 关于 x = 对称；
（14）已知函数 f (x) = ，若存在非零实数 x ， 使得 f ( x ) = f (x 成立，则实数a的取值 22 0 0 0)
x , x a ④取定 x ，外部性强度a越大， S (x) 越小。
范围是 （ ）
1 1 其中所有正确结论的序号是_____________
（ A） ( ,0] （B） ( , ] （C） [ 4,0] （D） [ 2, ]
4 4 三 解答题：共64分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
二 填空题：共6小题，每小题5分，共30分
（21）（本小题12分）
（15）函数 f (x) = lg(x 1) 的定义域是_____________
化简求值:
（16）已知幂函数 f (x) 经过点（2，8），则函数 f (x) =
1
（17）农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育 0.5 4 64 3 32 log 3（I） 2+ + (0.1) 3 0 （II）5log3 2 log3 +5
5
的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图(单位： cm)： 9 27 9
（22）（本小题 12 分）
已知一元二次方程2x2 +3x 2 = 0的两个实数根为 x1, x2 .
记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a,b，则 a b =
1 1
2 2
若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为s , s ，则 s s 求值：（I） x1 +x2 ； （II） + 。 1 2 1 2 x1 x2
(用 “< , >或 =”连 接 ) .
4
（18）已知函数 f (x) = x + a 没有零点，则a的一个取值为________；a的取值范围是_________
x
高一数学第3页（共6页） 高一数学第4页（共6页）
{#{QQABRYaEoggAAAIAABhCQQUaCkAQkBECAIoOgBAMIAAAgQFABCA=}#}
（23）（本小题9分） （24）（本小题9分）
国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位(下述简称为“第一批文 5 3 已知集合 A = x x2 x 2 0 , B = x x
2 2
保单位”) 分为六大类。其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史
（I）求 A B, A C B； R
纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F:古墓葬”，北京的 18 个“第一批文保单位”
（II）记关于 x 的不等式 x2 (2m+4)x+m2 +4m 0的解集为M ，若B M = R ，
所在区分布如下表:
求实数m 的取值范围。
行政区 门类 个数
A：革命遗址及革命纪念建筑物 3
东城区
C：古建筑及历史纪念建筑物 5 （25）（本小题11分）
西城区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2 已知函数 f (x) = ln(1 x)+ k ln(1+ x)，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
丰台区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 1 解答下面的问题：
海淀区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2
条件①： f (x) + f ( x) = 0
C：古建筑及历史纪念建筑物 1
房山区 条件②： f (x) f ( x) = 0
E：古遗址 1
C：古建筑及历史纪念建筑物 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分. 1
昌平区
F：古墓葬 1 （I）求实数k 的值；
延庆区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1
（II）设函数F(x) = (1 x)(1+ x)
k ，判断函数F (x)在区间上 (0,1) 的单调性，并给出证明；
（I）某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C: k（III）设函数 g(x) = f (x)+ x + 2 k ，指出函数 g(x) 在区间 ( 1,0）上的零点的个数，并说明理由。
古建筑及历史纪念建筑物”的概率；
（II）小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行
（26）（本小题11分）
参观；小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个
已知函数 f (x), g(x),h(x)的定义域均为R ，给出下面两个定义：
进行参观。两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；
①若存在唯一的 x R，使得 f (g(x)) = h( f (x)) ，则称 g(x) 与h(x) 关于 f (x) 唯一交换；
（III）现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行
常规检查，记抽到海淀区的概率为P ，抽不到海淀区的概率记为P ，试判断P 和P 的大小(直接写出 ②若对任意的 x R，均有 f (g(x)) = h( f (x)) ，则称 g(x) 与h(x) 关于 f (x) 任意交换。 1 2 1 2
结论)。 （I）请判断函数 g(x) = x +1与h(x) = x 1关于 f (x) = x
2 是唯一交换还是任意交换，并说明理由；
（II）设 f (x) = a(x2 +2)(a 0), g(x) = x2 +bx 1，若存在函数h(x) ，使得 g(x) 与h(x) 关于 f (x) 任
意交换，求b 的值；
ex 1
（III）在（II）的条件下，若 g(x) 与 f (x) 关于 (x) = 唯一交换，求a的值。
ex +1
高一数学第5页（共6页） 高一数学第6页（共6页）
{#{QQABRYaEoggAAAIAABhCQQUaCkAQkBECAIoOgBAMIAAAgQFABCA=}#}
