2023-2024学年云南省三校高三高考备考实用性联考卷（五）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数学符号的使用对数学的发展影响深远，“”作为等号使用首次出现在砺智石一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”，便于不等式的表示，设命题：，，，则为
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2.已知向量，，则与夹角的余弦值为
A. B. C. D.
3.若集合，，若，则集合中的元素有
个．( )
A. B. C. D.
4.已知函数的值域为，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
5.中国古建筑闻名于世，源远流长．如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为的等边三角形，若点，，，，，都在球的球面上，则球的表面积为
A. B. C. D.
6.某次考试共有道单选题，某学生掌握了其中道题，道题有思路，道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别为，，．，，成等差数列，当的外接圆半径时，周长的最大值为
A. B. C. D.
8.关于函数，则下列说法正确的是
A. 函数在上单调递减
B. 当时，函数在上恒成立
C. 当或时，函数有个零点
D. 当时，函数有个零点，记为，，，则
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为
A. B. C. D.
10.若复数，则
( )
A. 的共轭复数 B.
C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限
11.下列命题正确的是
A. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则，
C. 若某校高三班位同学身高单位分别为：，，，，，，，，则这组数据的下四分位数即第百分位数为
D. 根据变量与的样本数据计算得到，根据的独立性检验，可判断与有关，且犯错误的概率不超过
12.如图所示的八面体的表面是由个全等的等边三角形和个全等的等腰梯形组成，设，，有以下四个结论，其中正确的结论是
A. 平面
B. 平面
C. 该八面体的体积为
D. 直线与平面所成角的正切值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在二项式的展开式中，常数项为________．
14.已知函数的导数为，则的图象在点处的切线的斜率为________．
15.已知双曲线的左焦点为，过作一倾斜角为的直线交双曲线右支于点，且满足为原点为等腰三角形，则该双曲线的离心率为________．
16.已知，满足，则的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求函数的值域；
在中，角，，的对边分别为，，，若，，求的面积的最大值．
18.本小题分
已知各项均为正数的数列，，且满足．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，已知底面为直角梯形，，，为等边三角形，平面平面．
求证：平面平面；
若，，求二面角的余弦值．
20.本小题分
某学校有人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验次，统计专家提出了一种方法：随机地按人一组分组，然后将各组个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设某学校携带病毒的人数有人．
用样本的频率估计概率，若个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率；
用统计专家这种方法按照个人一组或个人一组，问哪种分组方式筛查出这人中该病毒携带者需要化验次数较少？为什么？
21.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
如图，若一条斜率不为的直线过点与椭圆交于，两点，椭圆的左、右顶点分别为，，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
22.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查全称量词命题与存在量词命题的否定，属于基础题．
直接利用命题的否定求解即可．
【解答】解：存在量词的否定为全称性量词命题，
，，，则为，，，
故选B．，
2.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查的是平面向量的数量积运算，平面向量的减法运算，属于基础题．
直接利用平面向量的数量积公式求解即可．
【解答】解：由题，，则，
则，
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．
由题意得， ，，，，，， ， ，利用集合的运算即可得解．
【解答】
解：由题意得， ，，，，，， ， ，
故A ，即集合中共有个元素．
4.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了分段函数的值域问题，属于基础题型．
分别求出两段的值域，观察即可求解．
【解答】解：当时，，
当时，，
因为函数的值域为，
所以，所以实数的取值范围是，
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】本题考查了球的表面积，属于中档题．
找到球心及球心在平面上的投影，根据题干信息得到各边长，设出，利用半径列出方程，求出，进而求出半径，可求外接球表面积．
【解答】解：
如图，连接，，设，因为四边形为矩形，所以为矩形外接圆的圆心，连接，则平面，分别取，，的中点，，，根据几何体的对称性可知，直线交于点，连接，则，且为的中点，因为，所以，连接，，在与中，易知，所以梯形为等腰梯形，所以，且，设，球的半径为，连接，，当在线段上时，由球的性质可知，易得，则，此时无解，当在线段的延长线上时，由球的性质可知，，解得，所以，所以球的表面积，故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查的是条件概率，全概率公式，属于中档题．
事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题，设事件表示答对该题，根据全概率公式即可求得这题作对的概率，结合条件求出即可．
【解答】解：设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题，设事件表示答对该题，则，
设事件表示答对个题，则
设事件表示将有思路的题目做对，则．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦定理、余弦定理及基本不等式求最值，考查三角恒等变换，属于中档题．
由正弦定理及三角恒等变换可得，即可求得，从而可得的值，由余弦定理及基本不等式求得，由此可得结果．
【解答】解：因为，，成等差数列，
所以，
所以，
即，
因为，所以，，
所以，
由余弦定理得，，
当且仅当时，等号成立，
，，所以，
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，函数图象的综合应用，利用导数研究函数的零点问题，诱导公式，两角和与差的余弦公式，属于难题．
直接利用导数研究函数的单调性判断，利用导数判断函数的恒成立判断，利用导数研究零点问题判断．
【解答】
解：因为函数，令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，作出的大致图象如图，故A错；
对，当，，当时，不一定成立，故B错；
对，函数的根即为与函数的交点横坐标，作出函数的图象如图，
当时，函数有个零点，故C错；
对，函数有个零点，则，，
令，则，所以，于是，，，故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．
分类讨论焦点的位置，根据抛物线的标准方程计算即可．
【解答】
解：易知直线与坐标轴的交点分别为，
当焦点为时，可知抛物线方程为：；
当焦点为时，可知抛物线方程为：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是复数的除法运算，共轭复数，复数的模，复数的几何意义，复数的概念，属于中档题．
利用复数的运算可得，根据共轭复数判断，根据复数的模判断，根据复数的概念判断，根据复数的几何意义判断．
【解答】
解：因为
则，故A正确；
，故B正确；
复数的虚部为，故C错误；
复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故D正确．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查的是方差的性质，对数运算，线性回归方程，百分位数，独立性检验，属于中档题．
利用方差的性质判断，利用对数的运算判断，利用百分位数判断，利用独立性检验判断．
【解答】解：对于，根据，可得数据，，，的方差为
，故A正确；对于，对两边同时取对数可得，因为，所以，，所以，，故B正确；对于，从小到大可得这组数据为，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数即第百分位数为，故C错误；对于，因为，在犯错误的概率不超过的情况下，无法判断与有关，故D错误，故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查利用空间向量求角和线面的位置关系，属于较难题．
对于如图所示，连接 ，取中点，取 中点连接 ，，，证明 ， ，即可判断；对于，，，取中点，建立空间直角坐标系，设 是 的中心， 是的中心．过 作 ，过作，再利用向量法计算即可判断得解．
【解答】
解：对选项A如图所示，连接，取中点，取中点，连接，，由等边三角形的性质得，由等腰梯形的性质得又，，平面，所以平面．平面，故BC，同理，又，，平面，所以平面，故A正确
对于选项B如图，等腰梯形的高，取中点，建立如图所示的空间直角坐标系，设是的中心，是的中心，过作，过作，
，，所以几何体的高为，所以，，，，
，设平面的法向量为，
则取，得到，
所以，所以与平面不平行，
故B错误
对选项C，故C正确
对选项D，，，，设平面的法向量为，
取，得到，所以直线与平
面所成角的正弦值为，，故D正确，
故选ACD
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
的展开式的通项为 ，分别令和，由此能求出的展开式的常数项．
【解答】
解：，
因为的通项公式为，
所以在中，当时，不满足
在中，当时，，
则，
所以二项式展开式的常数项为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数知识的应用，考查切线的斜率的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
求出函数的导数，推出的值，然后求解函数的图象在处的切线的斜率．
【解答】解：由题知：，令，得，
所以，
即的图象在点处的切线的斜率为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
由题意得出 ，写出直线的方程，与双曲线方程联立，求出点坐标，利用，即可求出结果．
【解答】
解：记右焦点为，
由题意知， ，且 为等腰三角形，则只能是 ，
所以 ，，
所以直线的方程为 ，
由 得
所以 ，
整理，得 ，
即 ，
结合，可得 ．
16.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查的是利用基本不等式求最值，属于中档题．
利用条件可得，则原代数式可化为，利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：由，得，则，
当且仅当时，此时或舍去时等号成立，
所以的最大值为．
17.【答案】解：
，
，的值域为
，
即，由，得，
，即，
又，即，当且仅当时
取等号，
，
．
【解析】本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，利用余弦定理解三角形，属于中档题．
化简，根据正弦函数的图象与性质求出函数的值域；
由已知条件结合特殊三角函数值可以求出的值，再根据余弦定理得，利用基本不等式求出的取值范围，从而确定三角形面积的最大值．
18.【答案】解：，
，
又，，即．
又，
且，．
，
，，
【解析】本题考查数列的递推关系、通项公式和数列求和，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
由递推公式得，利用累乘法即可求解；
先求出，，再利用裂项相消法求和．
19.【答案】证明：平面平面，平面平面，
在等边中，取的中点，连接，如图，
则，且平面，
平面，
又平面，，
已知，且，，平面，平面，
又平面，平面平面．
解：过点作的平行线与交于点，如图，则，
又由知平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可知：，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
，
，令，则，故，
设平面的法向量为，
令，则，，
故，
，，
设二面角的平面角为，则．
【解析】本题考查了面面垂直的判定和平面与平面所成角的向量求法，是中档题．
先证明平面，由面面垂直的判定即可得证；
建立空间直角坐标系，得出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量求解即可．
20.【答案】解：由已知可得，该单位每个人携带病毒的概率为．
所以个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为，
所以，一组混合血样呈阳性的概率为．
设个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则，．
由知，个人一组，需要重新化验的概率为，
则的分布列为
所以，，
总的化验次数为
设个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则，．
个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为，则个人一组，需要重新化验率为，
则的分布列为
所以，总的化验次数为，
所以，个人一组的分组方式筛查出这人中该病毒携带者需要化验次数较少．
【解析】本题主要考查统计中用频率估计概率以及离散型随机变量的数学期望，属中档题．
求出每组混合血样不是阳性的概率，即可得出答案；
设个人一组，需要的化验次数为随机变量，根据的结果，列出分布列，即可求出总的化验次数；然后设个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，计算得出分布列，即可求出总的化验次数，比较即可得出答案．
21.【答案】解：由椭圆：的离心率为，且点在椭圆上，
可得，所以，
又点在椭圆上，所以，所以，
所以椭圆的标准方程．
设，由于该直线斜率为，可设，
联立方程和，得，
恒成立，根据韦达定理可知，
，，
，
，
，
所以．
【解析】本题主要考查的是椭圆的几何意义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题，过两点直线的斜率，属于中档题．
由离心率为，可得，可得，结合椭圆经过点，列出方程求出，即可得到椭圆的标准方程．
设直线的方程，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，由过两点的斜率方程可得，化简可得，即可得到的值．
22.【答案】解：由，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
由得，，其中，
当时，不等式为：，显然成立，符合题意
当时，分离参数得，，
记，
则，
令，
则，
令，
则，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增
当时，，单调递减
因此，，
综上可得，实数的取值范围是
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和恒成立问题，属于较难题．
求出，利用导数和单调性的关系即可求解
由得，，其中，当时，符合题意，当时，分离参数得，，构造函数，利用导数即可求解．
第1页，共1页
