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泊头市2023-2024学年上学期期末考试
高二数学
班级______ 姓名______
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线和平行，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是公差为2的等差数列，且成等比数列，设为数列的前项和，则（ ）
A．151 B．152 C．153 D．154
4．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．外切 C．外离 D．内含
5．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵中，，，则（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，圆为的外接圆，直线与圆切于点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为双曲线的右顶点，且为正三角形．设点为抛物线上的动点，点在轴上的投影为点，点，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．边上的中线所在的直线方程为
C．过点且平行于的直线方程为
D．三边所在的直线中，直线的倾斜角最大
10．已知数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列不是等差数列
C．的最小值为 D．数列为递增数列
11．如图，在三棱柱中，分别是上的点，且，设．若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．直线与所成角的余弦值为
12．如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．以为直径的圆与相切 B．
C． D．的最小值为4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则______．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，且，左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为为上一点，且，则______．
15．已知等比数列的前5项分别为，记，则数列的最小项为______．
16．已知圆，当变动时，点恒在一条直线上，此直线方程为______；写出一条与圆恒相切的直线方程：______．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，分别为棱，上的点，且交于点．
（1）求证：平面；
（2）求证：四边形为平行四边形，并计算其面积．
18．（本小题满分12分）
已知数列为递增的等比数列，为方程的两个根，数列为等差数列，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
已知双曲线的左、右焦点分别为，其中一条渐近线方程为，且双曲线的虚轴长为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点，若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，求直线的斜率．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，，，其中，为中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知圆．
（1）若圆心到直线的距离为，设是直线上一动点，，，当最大时，求点坐标；
（2）若过点的直线恰使圆上有4个点到其距离为1，求直线的斜率的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，点均在椭圆上．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过原点且经过第一、三象限的直线与椭圆交于两点，点为椭圆右顶点，点为椭圆上顶点，求四边形面积的最大值．
泊头市2023-2024学年上学期期末考试
高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D C B B A B A BC BC BD ABD
1．C 解析：在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是，故选C．
[命题意图]本题主要考查空间直角坐标系中的对称关系，该题从数学素养上体现对学生直观想象素养的考查，考查学生的空间想象能力．
2．D 解析：根据题意，直线，其斜率，直线，其斜率，若直线和平行，则，即，故选D．
[命题意图]本题主要考查两条直线平行的位置关系，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力．
3．C 解析：是公差为2的等差数列，，又成等比数列，，即，解得，故选C．
[命题意图]本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及等比数列的等比中项性质，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力．
4．B 解析：圆，圆心，半径，圆可化为，圆心，半径，则，∴圆与圆的位置关系为外切，故选B．
[命题意图]本题主要考查圆的标准方程与一般方程的表达形式，考查两个圆的位置关系，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力．
5．B 解析：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，，∴，，，故选B．
[命题意图]空间向量是高考的重要内容，本题主要考查空间向量的基本运算，重点考查坐标运算，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力．
6．A 解析：设，由题意可得，整理可得，即动点的轨迹方程为，故选A．
[命题意图]求轨迹方程是解析几何中的重点内容，也是高考考查热点，本题主要考查直接法求轨迹方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力．
7．B 解析：抛物线的方程为，则，所以直线的方程为，设圆心坐标为，所以，解得，即圆的方程为，不妨设，设直线的方程为，则，根据，解得，同理，由对称性知，当时，，故选B．
[命题意图]抛物线是解析几何的重点和难点，也是高考的重点，本题主要考查拋物线的几何性质和圆的几何性质相结合，考查直线与圆的位置关系，该题从数学素养上体现对学生直观想象素养的考查，考查学生的数形结合思想．
8．A 解析：双曲线的渐近线方程为抛物线的准线方程为，且为正三角形，，如图，由已知，轴，延长交抛物线的准线于点，则，当且仅当三点共线时取等号，即的最小值为5，故选A．
[命题意图]双曲线和抛物线是解析几何的重点和难点，也是高考的重点，本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质，考查学生运用几何方法进行几何转换，该题从数学素养上体现对学生直观想象素养的考查，考查学生的数形结合思想和运算求解能力．
9．BC 解析：对于A，在直线上，，故A不正确；对于B，的中点为，，∴斜率为，则直线方程为，即，故B正确；对于C，直线方程为，故C正确；对于D，，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，故D不正确，故选BC．
[命题意图]本题主要考查直线方程的求解、求直线斜率、两直线的位置关系，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力．
10．BC 解析：由题意，数列的前项和为，当时，，当时，，当时，不满足上式，所以故A不正确，B正确；由于时，为递增数列，且，故的最小值为，故C正确；由于数列不是递增数列，D不正确，故选BC．
[命题意图]数列是高考必考内容，也是高考的重点，本题主要考查等差数列的性质和前项和与通项的关系，考查数列的单调性质，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力．
11．BD 解析：对于A，，故A不正确；对于B，，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C不正确；对于D，由，可得，且，设直线与所成的角为，则，故D正确，故选BD．
[命题意图]空间向量的应用是高考的重要内容，本题主要考查向量的线性运算、向量的数量积运算，考查运用空间向量解决空间角的问题，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的数学运算能力．
12．ABD 解析：由题意得，又以为直径的圆与切于点，故A正确；设的方程为，联立整理得，
，又，则，
，即，故B正确；，故C不正确；由选项C，得，则，在中，，，由射影定理得，当且仅当时，等号成立，且，故D正确，故选ABD．
[命题意图]抛物线是解析几何的重点和难点，也是高考的重点，本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的几何性质，考查直线与圆的位置关系及最值问题，该题从数学素养上体现对学生直观想象、数学运算素养的考查．
13． 解析：四点共面且任意三点不共线，，．
[命题意图]本题主要考查空间中四点共面的充要条件，考查学生的运算求解能力．
14．6或10 解析：由题意得，则双曲线的方程为，由双曲线的定义得，又，解得或．
[命题意图]本题主要考查双曲线的定义及几何性质，考查学生的逻辑思维和几何转化能力．
15． 解析：由等比数列性质知，等比数列的奇数项是以为首项，为公比的等比数列，则，当时，，当时，，当为奇数时，，因为，所以，故数列最小项为．
[命题意图]本题主要考查等比数列的基本运算及相关性质，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查．
16．（答案不唯一） 解析：当变动时，点）恒在直线上，直线方程为；切线斜率不存在时，显然切线与有关，故切线斜率存在，设切线方程为或，即恒成立，或恒成立，或与圆恒相切的直线方程为或．
[命题意图]直线与圆、求轨迹方程是高考的重点，本题主要考查求轨迹方程、直线与圆的位置关系，该题从数学素养上体现对学生数学抽象素养的考查，考查学生的逻辑思维和运算求解能力．
17．解：（1）如图，过点作于点，连接，
由题意得，为的中点，
在正方体中，为的中点，，
四边形为平行四边形，
，
平面平面，
平面．
（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，
四边形为平行四边形，
又，
，
，
．
[命题意图]空间位置关系的判断和求面积是高考的重点，本题主要考查立体几何中线面平行的判定以及求正方体的截面面积，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的空间想象能力．
18．解：（1）为方程的两个根，又为递增数列，，
设等比数列的公比为数列的通项公式为．
设等差数列的公差为，由题知，
，经检验符合，
数列的通项公式为．
（2）由（1），可得，
，
，
两式相减，可得
，
．
[命题意图]数列是高考的重点，本题主要考查等差数列和等比数列的基本运算以及数列求和问题，考查了学生整体思想，转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．
19．解：（1）双曲线的一条渐近线方程为，
，又，可得，
双曲线的方程为．
（2）由题知直线的斜率存在，设，
代入双曲线方程得，
直线与双曲线的右支交于不同的两点，设，
解得，
以为直径的圆经过双曲线的右焦点，
，即，
，
整理得，
，解得或，
，
直线的斜率为．
[命题意图]双曲线是高考的重点，本题主要考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系，该题从数学素养上体现对学生数学抽象素养的考查，考查学生逻辑推理能力和数学运算能力．
20．解：（1）平面，
，
以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
为中点，，
设异面直线与所成角为，
则．
（2）设平面的法向量为，
，则
令，则，则，
假设线段上存在一点，设，
设，则，
，
则，
则．
综上可知，线段上存在一点，且为中点，使得直线与平面所成角的正弦值为．
[命题意图]空间角是高考的难点和重点，本题主要考查求立体几何中的空间角，借助空间向量解决异面直线所成角与线面角问题，该题从数学素养上体现对学生直观想象素养的考查，考查学生空间想象能力和数学运算能力．
21．解：（1）圆心坐标为，解得或，
，
如图，设点关于直线的对称点的坐标为，
，即，
由线段的中点坐标为，且中点在直线上，
，即，
联立解得的坐标为，
，当共线时取最大值，
直线的方程为，
联立解得，
直线与直线的交点坐标为，
则最大时，点坐标为．
（2）因为圆的半径为2，设直线，
要使圆上有4个点到直线距离为1，则圆心到直线的距离，即，
得，解得，
直线的斜率的取值范围为．
[命题意图]直线与圆是高考的重点，本题主要考查点关于直线对称、求直线方程，直线与圆的位置关系等基础知识，该题从数学素养上体现对学生直观想象素养的考查，考查学生逻辑推理能力和数学运算能力．
22．解：（1）设椭圆的方程为，
点均在椭圆上，解得
椭圆的方程为，椭圆的离心率．
（2）由题意，设直线的方程为，
设，其中，
联立得，
，
由题设，，四边形的面积为
，
当且仅当，即时，上式取等号．
（另解：，当且仅当时，上式取等号．）
四边形面积的最大值为．
[命题意图]椭圆是高考必考的重点和难点，本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查利用基本不等式求最值，该题从数学素养上体现对学生逻辑推理素养的考查，考查学生转化与化归的思想方法，考查学生逻辑推理能力和数学运算能力．
