2023-2024学年（上）期末考试
九年级数学 参考答案
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1.B 2.C 3.A 4.D 5. D 6. A 7. A 8. A 9. C 10.B
10题.解：令，，，，所有“双减操作”的结果就是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“—”号和两个“+”号，则有以下几种计算结果：
第1种：，
第2种：，
第3种：，
第4种：，
第5种：，
第6种：，
由上可知，所有的“双减操作”，x为整数时，其结果均为能被2整除；故①说法正确；
不存在哪种“双减操作”，其结果为；故②说法错误；
所有的“双减操作”共有5种不同的结果；故③说法正确．
故选： B．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）第15、18小题，填对一空得两分。.
11. 12. 38.4
13. 1 14.
15. ， 3 16.
17 18. 1764 4905
18题详解：根据题意：，
故答案为：；
设m的千位数字为a，百位数字为b，
∵“双喜数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，
∴m的个位数字为，
∵千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，
∴百位上的数字与十位上的数字之和为4，
∴m的十位数字为，
∴，（，且为整数），
∴ ，
∵
∴能被7整除，
∵，且为整数，
∴，
∴或0，
∴或，
当时，由，
故或（舍去）
则此，
当时，
∴或或（不符合题意），
或，
所有满足条件的“倍和数”m的最大值与最小值的差为，
故答案为：．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）
19.（1）.
解： ， ………………………………………………………( 1 分)
………………………………………………………（2分） ……………………………………………….………( 3 分)
…………………………………( 4分)
（2）．
解： ……………………………………(5分)
…………………………（6分）
有 或 ……………………（7分）
……………………………( 8分)
20.解：(1)…………………(1分)
………………………………………………（2分）
………………………………………………（4分）
（2）
由（1）得：………………………（5分）
………………………（6分）
, 因为ED=2，则OE= - 2
………………………（8分）
解得： ………………………（9分）
………………………（10分）
21.（1）如图：
正确作出图形,标出点G………………………（4分）
(连接BF不纳入评分)
（2）
① AB∥DC ，……………….…………………..………………（6分）
② BG ⊥AE ，………………………………..…………………（8分）
③ ∠ BGF =∠BCF ，…………………………….……..………（10分）
22. (1) a = 15 ……………………..…………………….……..……………（1分）
b = 88.5 ……………………………………..…………………………（2分）
c = 98 …………………………………………………………………（3分）
(2) A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数为88.5分比B款的中位数87分高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一,但是一定要有数据，无数据根据情况扣1分）． ……………………………………………（6分）
（3）240×10% + 300× = 69人
估计此次测验中，对AI聊天机器人不满意的人有69人。…………………（10分）
23．解：（1）由题意可得，
（x﹣50）（﹣2x+240）＝2250， ……………………………………………（2分）
解得x1＝75，x2＝95（不符题意，舍去），
答：商场每月想从这种商品销售中获利2250元，此时这种商品的定价为75元； ……………………………………………（4分）
（2）设利润为w元，
由题意可得：w＝（x﹣50）（﹣2x+240）＝﹣2（x﹣85）2+2450，………（7分）
∴当x＜85时，w随x的增大而增大，
∵物价部门规定每件售价不得高于80元，
∴x≤80，
∴当x＝80时，w取得最大值，此时w＝2400，
答：售价定为80元时可获得月最大利润，最大利润是2400元． ……（10分）
（23题为应用题，两个小题均需要写出答语，未写答语的，一处扣0.5分）
24.解：
（1） 或者…………（4分）
（正确写出函数式得2分，正确写出每个函数式的自变量取值范围得2分，写错一处扣1分）
（2）如图： ………………………………….………（6分）
（函数图像分两段，画对一段函数图像得1分.）
函数图像性质：函数在x=3时取得最小值0；在x=8时，取得最大值10. ………………（8分）
（答案不唯一，正确写出一条性质就得2分。多写且写错的，要根据情况扣分。）
（3）x = 7………………………………………………………………..……………（10分）
25．解：（1）当时，，
点的坐标为，
将，代入抛物线解析式可得：，
解得：，
该抛物线的解析式为：； …………………………（2分）
（2）如图：连接，
点的横坐标为，
，
当时，，解得，
，
， ………………………………………….………（4分）
，
当时，最大，； ……………………（5分）
此时点M坐标为： ……………………（6分）
（3）设点的坐标为，而点和点的坐标分别为和，
①当是菱形的一条边时，
，或，
，或，
或或（舍），
点的坐标为或或，
点的坐标为或或；
②当是菱形的对角线时，必在的中垂线上，
，
点，
此时，
综上所述，点的坐标为
或或或．…………………………………（10分）
（第三小题不要求写过程，只看写出的点P坐标，写对一个得一分。）
26. （1）解：BF＝AD且AD⊥BF．
理由：∵∠ABC＝∠BAC=45°
∴AC=BC ∠ACB=90°
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝CF，∠BCF＝∠ACD＝90°， ……………….………………………（1分）
在△ACD与△BCF中，
，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴BF＝AD，∠DAC＝∠CBF， …………………………………..……………（2分）
∵∠CBF+∠CFB＝∠DAC+∠AFH＝90°，
∴∠AHF＝90°，
∴AD⊥BF；
综上：BF＝AD且AD⊥BF……………………………………………………（3分）
（2）证明：如图，在线段BF上截取BK＝AH，连接CK．
由（1）可知，∠CBK＝∠CAH，
在△BCK和△ACH中，
，
∴△BCK≌△ACH（SAS），……………………………………………………（4分）
∴CK＝CH，∠BCK＝∠ACH，
∴∠KCH＝∠BCA＝90°，
∴△KCH是等腰直角三角形，
∴HKCH， ……………………………………………………（5分）
∴BH﹣AH＝BH﹣BK＝KHCH．………………………………………（6分）
（3）解：线段AH的长为或．
①如图，当A，H（F），D三点共线时，∠ADC＝45°．
由（1）可知，BH＝AD，且CD＝CF＝2，FDCF，
∵BC＝6，
∴ABBC＝6．
设AH＝x，则BH＝AD＝x，
在Rt△BAH 中，
∴
解得x或x（舍去）；
②如图，当B，D（H），F三点共线时，∠ADC＝45°，
设AH＝x，
∵BF＝AH，
∴BH＝AH﹣HF＝x，
在Rt△ABH中，
∴，
解得x或x（舍去），
综上所述，线段AH的长为x或．…………………（10分）
（3小题为直接写出结果，不需要过程，写对一个得2分。）
()九年级 数学试题卷
（本卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
考生注意：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2.答题前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回.
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为 ．
选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案,其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A B． C． D．
2. 小明在一个不透明的袋子中装入4个红球、2个白球，每个球除颜色外都相同，他从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有2个球是白球 B．至少有1个球是白球
C．至少有1个球是红球 D．至少有2个球是红球
3. 反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A． B. C． D．
4. 如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到，
此时点B的对应点D恰好落在BC边上，则CD的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
4题图 5题图
5．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝32°，则∠BDC＝（ ）
A．64° B．62° C．60° D．58°
6．在一个口袋中有个完全相同的小球，它们的标号分别为，，，，，同时
从中随机摸出两个小球，则摸出的两个小球的标号之和为的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y =（c≠0）
在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．幼儿园的甲乙两个小朋友做“搬家”游戏，小朋友甲拿着木条进屋，过长方形门框时，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽2尺，竖着比门框高1.5尺．小朋友乙叫他沿着门的两个对角斜着拿木条，小朋友甲按照小朋友乙的方法一试，不多不少刚好进去了，你知道木条有多长吗？若设木条的长为尺，则下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，，点M在CD的边上，且，
与关于AM所在的直线对称，将按顺时针方向绕
点A旋转90°得到，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A． B． C． D．
9题图
10．对于多项式：，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再
与剩余两个多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：
，，
给出下列说法：
① 为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除；
②至少存在一种“双减操作”，使其结果为；
③所有的“双减操作”共有5种不同的结果．
以上说法中正确的有（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11. 在平面直角坐标系中把抛物线向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为 ．
12. 如图是出租车司机王师傅的收费二维码示意图，用黑白打印机打印于边
长为的正方形区域内，王师傅的儿子小王为了估计图中黑色部分的
总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑
色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为
．
13. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的最大整数解是
________．
14. 如图，菱形的边长为，，是以点为
圆心，长为半径的弧，是以点为圆心，长为半
径的弧，则阴影部分的面积为______ (结果保留根号)
15．已知函数，当时，该函数的最小值是 ，最大值是 .
16．若整数既能使关于的不等式组有解，也能使关于 的分式方程
有整数解，则整数的值为 ．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，过点作轴于
点，与反比例函数图象交于点E、F，连接，
若为的中点，四边形面积为，则的值为_____．
18. 俗话说：“好事成双”；“双”在中国传统文化里有吉利、繁荣和团聚的意义；被认为是幸福
和好运的象征。规定： 一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个
位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，
对于“逢双数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为
，则______；若“逢双数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且
能被7整除，则所有满足条件的“逢双数”中的最大数与最小数的差为______．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19. 用适当方法解下列方程：
（1） ； （2）．
20．如图所示，是圆的一条弦，CD是圆，垂足为.
（1）若∠AOD =48°，求的度数；
（2）若，，求圆的半径长．
21．如图，已知矩形ABCD，AB＞AD，E为BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．
（1）尺规作图：过点B作AE的垂线交AE于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接BF，若AF＝AB，
求证：BF平分∠GBE.
为证明BF平分∠GBE，小芳的思路是将其转化成证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质和角平分线的定义使问题得到解决．（请根据小芳的思路补全下面的证明过程）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴① ，
∴∠ABF＝∠BFC，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴∠BFG＝∠BFC，
∵② ，
∴∠BGF＝90°，
∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，
∴③ ，
又∵BF＝BF，
∴△GBF≌△CBF（AAS），
∴∠GBF＝∠CBF，
∴BF平分∠GBE．
22．近来，由于智能聊天机器人ChatGPT的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门
话题．国内互联网公司也推出了自己的AI聊天机器人：百度推出了“文心一言” AI聊天机
器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）有关人员开展
了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行
整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，
满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人
的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，
88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 b 96 45%
B 88 87 c 40%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进
行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？
23. 冬天来临，气候寒冷，市场上保暖产品热销。綦江区某商场提前谋划，从10月中旬开始销
售一种每件进价为50元的保暖内衣，物价部门规定每件保暖内衣售价不得高于80元，商场
销售部负责人通过对销售数据的分析，发现这种保暖内衣每月的销售量（件）与每件的售
价（元）满足函数关系： .
（1）商场每月想从这种保暖内衣销售中获利2250元，该如何给这种保暖内衣定价？
（2）请问这种保暖内衣售价定为多少元时可获得最大月利润？最大月利润是多少？
24. 如图，在等腰中，，，点D为中点，点P从点D出发，
沿方向以每秒的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，线段
的长度为．．
(1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当的长度与的长度相等时x的值．
25. 如图：已知直线与轴、轴分别相交于两点，抛物线
经过点，且与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知点是抛物线上的一个动点并且点在第一象限内，连接、，设点的横坐标
为，四边形的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值以及此时点
的坐标；
（3）若点在平面内，点在直线上，平面内是否存在点使得以为顶点的四边形
是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．已知在△ABC中，∠ABC＝∠BAC=45°，四边形CDEF是正方形，H为BF所在的直线与
AD的交点．
问题解决：
（1）如图1，当点F在AC上时，请判断BF和AD的关系，并说明理由．
问题探究：
（2）如图2，将正方形CDEF绕点C旋转，当点D在直线AC右侧时，求证：BH﹣AHCH；
问题拓展：
（3）将正方形CDEF绕点C旋转一周，当∠ADC＝45°时，若AC＝6，CD＝2，请直接写出
线段AH的长．
九年级数学 答题卡
姓名：
考号：
学校：
贴条形码区域
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．客观题必须使用2B铅笔填涂；主观题必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．答题必须字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题的答题区内作答，超出答题区域的答案无效，在草稿纸上、试卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱，禁用涂改液，涂改胶条。
准考证号填涂区
[ 0 ][ 1 ][ 2 ][ 3 ][ 4 ][ 5 ][ 6 ][ 7 ][ 8 ][ 9 ] [ 0 ][ 1 ][ 2 ][ 3 ][ 4 ][ 5 ][ 6 ][ 7 ][ 8 ][ 9 ] [ 0 ][ 1 ][ 2 ][ 3 ][ 4 ][ 5 ][ 6 ][ 7 ][ 8 ][ 9 ] [ 0 ][ 1 ][ 2 ][ 3 ][ 4 ][ 5 ][ 6 ][ 7 ][ 8 ][ 9 ] [ 0 ][ 1 ][ 2 ][ 3 ][ 4 ][ 5 ][ 6 ][ 7 ][ 8 ][ 9 ] [ 0 ][ 1 ][ 2 ][ 3 ][ 4 ][ 5 ][ 6 ][ 7 ][ 8 ][ 9 ] [ 0 ][ 1 ][ 2 ][ 3 ][ 4 ][ 5 ][ 6 ][ 7 ][ 8 ][ 9 ] [ 0 ][ 1 ][ 2 ][ 3 ][ 4 ][ 5 ][ 6 ][ 7 ][ 8 ][ 9 ] [ 0 ][ 1 ][ 2 ][ 3 ][ 4 ][ 5 ][ 6 ][ 7 ][ 8 ][ 9 ] [ 0 ][ 1 ][ 2 ][ 3 ][ 4 ][ 5 ][ 6 ][ 7 ][ 8 ][ 9 ]
正确填涂 ■ 错误填涂 [√] [×] [●] [○]
一、选择题（每小题4分，共40分。）
1 5 9
2 6 10
3 7
4 8
填空题（每小题4分，共32分。）
11． 12．
13． 14．
15． ， 16.
17． 18． ，
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）
19．（8分）
（1） （2）
20．（10分）
（1）
（2）
21．（10分）
（1）
(2)
① ，
② ，
③ ，
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
22．（10分）
（1）a = ,b= c＝ ．
（2）
（3）
23．（10分）
（1）
（2）
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
24．（10分）
（1）
（2）根据函数图象，写出函数的一条性质：
；
（3） .
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
25．（10分）
（1）
（2）
（3）
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
26．（10分）
（1）
（2）
(3)
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
