第一章 空间向量与立体几何 检测习题
一、单选题
1．如图，在平行六面体中，与交于点，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若是空间的非零向量,则下列命题中的真命题是 ( )
A． B．若,则
C．若,则 D．若,则
3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ）
A． B． C． D．1
4．如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
5．在长方体中，（ ）
A． B． C． D．
6．设，，且，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
7．在三棱锥中， 所有棱的长均为，点在棱上， 满足， 点在棱上运动， 设直线与平面所成角为， 则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝8，，∠BCD＝45°．若E，F是四面体ABCD外接球表面上的两点，且，则的最大值为（ ）
A．32 B．28 C．21 D．16
二、多选题
9．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D．对于任意点，都是钝角三角形
10．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（ ）
A．直线的一个方向向量为
B．直线的一个方向向量为
C．平面的一个法向量为
D．平面的一个法向量为
11．如图所示的几何体，是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则（ ）
A．直线与直线所成角为 B．直线与平面所成角为
C．该几何体的体积为 D．该几何体中，二面角的余弦值为
12．在下列关于直线、和平面、的命题中，假命题是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
三、填空题
13．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则 .
14．如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝4，SA＝3，E、F分别为线段BC、SB上的一点(端点除外)，满足＝λ，则当实数λ的值为 时，∠AFE为直角．
15．双曲线的一条渐近线的一个方向向量，则
16．直线的方向向量是，平面的法向量，若直线，则 .
四、解答题
17．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：
(1)；
(2).
18．如图所示，在三棱柱中，是中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
19．如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点．
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求点到平面的距离．
20．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，，，平面ABEF，，AD=AB=2BC=2BE=2.
(1)已知点G为AF上一点，AG=AD，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求点F到平面DCE的距离.
参考答案：
1．A
【分析】根据代入计算化简即可.
【详解】，
故选：A
2．B
【分析】根据空间共线向量的定义判断A、B、C，根据垂直向量的数量积为0判断D.
【详解】A：(·)是与共线的向量，(·)是与共线的向量，
所以向量与不一定共线，故A为假命题；
B：·=，若·=-||||，
则，与方向相反,所以，故B为真命题；
C：若·=·，则(-)·=0，即(-)⊥，不能得出，故C为假命题；
D：若·=·，则||=||，与方向未必相同，故不能得出=，所以D为假命题.
故选：B.
3．C
【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，根据条件求得点的坐标，即可得到结果.
【详解】
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
由题意可得，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，解得，令，则
所以平面的一个法向量为
因为平面，则
设，则，所以
解得，所以，即
故选:C.
4．B
【分析】根据题意，由，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果.
【详解】由，可得，
因为底面为矩形，，，，
所以，，
又
，
所以，则.
故选：B
5．B
【解析】利用空间向量的运算求得所求表达式的值.
【详解】根据长方体的性质可知：
.
故选：B
6．A
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示计算即可
【详解】∵，∴，∴，
故选:A.
7．A
【分析】取中点，在底面的射影为，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，可得，利用线面角的向量求法，结合函数值域的求解方法可求得的取值范围，进而得到的最小值.
【详解】取中点，连接；
三棱锥各棱长均为，
在底面内的投影为的中心，；
以为坐标原点，正方向为轴，作的平行线作为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，；
轴平面，平面的一个法向量；
设，，，，
即，，
；
当时，，；
当时，；设，则；
当时，，，；
综上所述：的最小值为.
故选：A.
8．B
【分析】分析出球心的位置，结合球的几何性质、向量运算求得的最大值.
【详解】由于平面，平面，
所以，
由于，，
所以三角形是等腰直角三角形，且，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，
设是的中点，根据直角三角形的性质可知，
所以是四面体外接球的球心.
，
所以外接球的半径为.
设是的中点，则，，
所以，
，
设，
所以
，
所以当时，取得最大值为.
故选：B
9．BC
【分析】根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题知，在正方体中，是棱上的动点，
建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向的空间直角坐标系．
所以，，，设，其中，
所以，，
当，即，所以，显然方程组无解，
所以不存在使得，即不存在点，使得，故A项错误；
当时，解得，故B项正确；
因为，其中，
所以点到的距离为
，故C项正确；
因为，，其中，
所以，
所以三角形为直角三角形或钝角三角形，故D项错误．
故选：BC．
10．AC
【分析】求出即可判断的正误，求出平面的法向量判断的正误，求出平面的法向量判断的正误.
【详解】由题意，,,,,,
∵，∴向量为直线的一个方向向量，故正确,不正确；
设平面的法向量为， 则,
由，得，
令得，则正确;
设平面的法向量为，则，
由，得，
令得，则不正确.
故选：.
11．AC
【分析】将该几何体还原为原正四面体，对A：直线与直线所成角即为MQ与QN所成角；对B：直线与平面所成角为QN与底面MNS所成的角；对C：该几何体的体积为大正四面体的体积减去4个棱长为1的小正四面体的体积；对D：二面角的大小与的大小互补.
【详解】
将该几何体还原为原正四面体，棱长为，设中心为O，连接OQ，ON，则,
对A：因为，所以直线与直线所成角即为MQ与QN所成角为，故A正确；
对B：直线与平面所成角为QN与底面MNS所成的角，即为所求角，，，故B错误；
对C：该几何体的体积为大正四面体的体积减去4个棱长为1的小正四面体的体积，，故C正确；
对D：二面角的大小与的大小互补，显然的大小为锐角，所以二面角的大小一定为钝角，故D错误.
故选：AC
12．AC
【分析】利用线面垂直的性质可判断AD选项；利用空间向量与面面垂直的关系可判断B选项；利用已知条件直接判断面面位置关系，可判断C选项.
【详解】对于AD选项，若，，则，又因为，则，A错D对；
对于B选项，设直线、的方向向量分别为、，
因为，，则平面的一个法向量可以为，平面的一个法向量可以为，
因为，则，故，B对；
对于C选项，若，，，则、平行或相交（不一定垂直），C错.
故选：AC.
13．
【分析】根据可求出结果.
【详解】因为平面，所以，
则，解得.
故答案为：
14．
【详解】∵SA⊥面ABCD，∠BAD＝90°，故可建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
∵AB＝4，SA＝3，∴B(0,4,0)，S(0,0,3)．
设BC＝m，则C(m,4,0)，
∵＝λ，∴ ＝λ ，
∴
∴F.同理，E，
∴
要使∠AFE＝90°，则，
又，
∴，
∴16λ＝9，∴λ＝.
点睛：空间向量数量积的三个应用(1)求夹角，设向量 ,所成的角为，则cos ＝，进而可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)，运用公式||2＝·，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题，利用⊥ ·＝0(≠，≠)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
15．
【分析】由题意，双曲线的一条渐近线的方程为，根据直线的方向向量，即可求解．
【详解】由题意，双曲线的一条渐近线的方程为，
所以渐近线的一个方向向量，所以．
【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，以及直线的方向向量的应用，其中解答中根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，再根据直线的方向向量的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16．1
【分析】结合已知条件可得，然后利用垂直向量的数量积为0即可求解.
【详解】由题意可知，，
因为，，
从而，解得.
故答案为：1.
17．(1)；
(2)
【分析】根据向量加法法则求解即可；
【详解】（1）
（2）
18．（1）；（2）；（3）.
【分析】根据三棱柱的几何特征，结合空间向量加减、数乘的几何意义化简各式.
【详解】（1）由空间向量加法的几何意义知：；
（2）∵，则，又，
∴.
（3），则，
∴.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证得，即可根据线面平行的判定证得结论；
（2）方法一：证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点面距离；
方法二：证得平面，由，根据等体积法求线面距离．
【详解】（1）解：证明：在四棱锥中，连接交于点，
则为的中点，连接．
为的中点，
，
又平面，平面，
平面．
（2）方法一：四边形是菱形，且，
为正三角形，取的中点，连接，，
则，
平面平面，平面平面，
平面．
是正三角形，．
以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
又，则，，，，，
，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，则
又，
设点到平面的距离为，
则，
即点到平面的距离为．
方法二：四边形是菱形，且，
为正三角形，取的中点，
连接，，则，
又平面平面，平面平面，
平面．
，是正三角形，，易得，
，连接，
．
由，．
取的中点，连接．
，，
，
可得．
设点到平面的距离为h，由，
得，
解得，即点到平面的距离为．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）空间向量法证明线面不平行即可；
（2）先根据线面角正弦值求参，再根据点到平面距离公式计算.
【详解】（1）证明：因为平面ABEF，AB，平面ABEF，所以，。
又，所以以A为坐标原点，AF，AB，AD分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，,，
所以，，，
设平面DCE的法向量为，则，
令，则，所以，
因为，即不存在使得与垂直，
所以BG与平面DCE不平行。
（2）设且，则，所以。
∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，
，化简得，
解得或（舍去），故。
,由（1）知平面DCE的一个法向量，
所以F到平面DCE的距离
