第二章 等式与不等式 检测试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p真q真 B．p真q假 C．p假q真 D．p假q假
3．已知关于的不等式组的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．若为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，则
A． B． C． D．
二、多选题
9．方程的解可以是（ ）
A． B． C． D．
10．小王两次购买同一种物品，已知物品单价分别为和，且每次购买这种物品所花的钱数一样，两次购物的平均价格为，则下面正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．设正实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．有最小值1 B．有最小值2 C．有最大值 D．有最小值2
12．已知，则下列选项可以成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．给出以下4个说法：①已知，是正实数，若，则；②若，则；③若，，则；④若，则．
其中正确的说法是（填序号） ．
14．已知表示，，…，这个数中最大的数.能够说明“，，c，，”是假命题的一组整数，，，的值依次为 .
15．已知定义域为的函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
16．关于x的不等式的解集中有且只有1个整数，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题
17．（1）求值.
（2）已知，证明：.
18．解下列不等式:
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
19．已知x，y，．
(1)若，证明：；
(2)若，证明．
20．设为三角形的三边，求证：
21．某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为万元时,销售量万件满足（其中,为正常数）. 现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用）,产品的销售价格定为万元/万件.
（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数;
（2）促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.
22．随着人类生活质量的提高，生活用水越来越多，水污染也日益严重，水资源愈来愈成为世界关注的问题，许多国家都积极响应节约水资源的号召.为此我们的国家也提出了比较科学的处理污水的办法.近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水的压力，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.该企业经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为（，k为常数）.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）.
(1)试解释的实际意义，根据题意求出y关于x的函数关系式；
(2)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
(3)当设备占地面积x为多少时，y的值最小？
参考答案：
1．D
【分析】解出集合中的不等式即可
【详解】因为
所以
故选：D
【点睛】本题考查的是集合的基本运算，较简单.
2．B
【分析】判断每一个命题的真假，即得解.
【详解】对命题p：，，因为，故命题p是真命题；
对命题q：，，由，解得，故命题q是假命题.
故选：B.
3．B
【分析】解一元二次不等式且两不等式解集的交集中有且仅有一个整数，讨论参数求其范围.
【详解】对于或，
而解集与或的交集中有且仅有一个整数，
当时，解集为，此时满足要求；
当时，解集为，此时不可能满足题设；
当时，解集为，此时满足要求；
综上，实数的取值范围为.
故选：B
4．B
【分析】根据二次函数的性质确定不等式的解集．
【详解】或，的图象是开口向上的抛物线，
所以不等式的解集是．
故选：B．
5．D
【解析】举反例说明ABC不成立，根据不等式性质说明D成立.
【详解】当时，由得，所以A错误；
当时，有，，所以B错误；
当时，由得，所以C错误；
由不等式两边同时加上一个数，不等式号不变，得D正确,
故选：D
【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.
6．C
【分析】根据集合的表示方法求解.
【详解】方程的解为,
所以方程的解集是，
故选:C.
7．B
【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案.
【详解】因为，由基本不等式得，
故，
因为，，两式相减得，
，
故，所以，
故，
所以.
故选：B
8．C
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【详解】由A中不等式解得：﹣2
解得：x＜﹣4或x>2，即B＝（﹣，﹣4），
则A∩B＝（2，3），
故选：C．
【点睛】此题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
9．CD
【分析】由方程，得到或，结合，即可求解.
【详解】由题意，方程，则或，解得或，
又由，解得，
所以方程的解为或.
故选：CD.
【点睛】本题主要考查了方程的求解，其中解答中熟记方程的求解方法，结合方程满足的条件求解是解答的关键，着重考查运算能力.
10．BC
【分析】依题意得到，结合基本不等式即可得解.
【详解】依题意，设两次花费的钱数为，
则两次购物的平均价格为，故A错误，B正确；
又，所以，
根据基本不等式及其取等号的条件可得，
所以，即，故C正确，D错误；
故选：BC．
11．AC
【分析】根据基本不等式判断．
【详解】因为正实数满足，所以
，当且仅当时等号成立，A正确；
，当且仅当时等号成立，B错误；
，，当且仅当时等号成立，C正确；
，当且仅当时等号成立，D错误．
故选：AC．
12．AC
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可.
【详解】当时，此时，则可取2，故A正确；
当时，此时，不成立，故B错误；
当时，此时，则可取3，故C正确；
当时，即，此时不成立，故D错误.
故选：AC.
13．①②
【分析】根据不等式的性质判断各个命题．
【详解】，因为，所以，从而，即，
，所以，①正确；
若，则，②正确；
若，，例如，但，不成立，③错；
，只有时，才有，④错．
故答案为：①②
【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．在基本不等式中，如果，此不等式仍然成立，只是等号取不到．
14．2，1，-1，-2
【分析】根据给定条件不妨规定a，b，c，d的大小，确定命题为真的条件即可推理作答.
【详解】依题意，不妨令，则有，，，
则原命题等价于，因此当时，不等式不成立，即满足条件的只需排序后的第三个数小于0即可，
所以，所求的一组整数，，，的值依次为：2，1，-1，-2.
故答案为：2，1，-1，-2
15．
【分析】由题意可得，从而得到关系，由不等式的解集为，结合韦达定理即可求得，从而求得.
【详解】因为定义域为的函数的值域为，
所以，又的解集为，
所以的两根为，
由韦达定理得，解得，所以，
所以，解得,
故答案为:.
16．
【分析】构造二次函数，解集中只有一个整数，则应该是只有对称轴处的整数或距离对称轴最近的整数满足条件.
【详解】设，由已知的解集中只有一个整数，
因为函数的对称轴为，则需满足
即 解得，
故答案为：.
17．（1）7；（2）见解析
【分析】（1）根据对数运算法则化简求值；
（2）利用作差法证明.
【详解】（1）原式.
（2）证明：因为，
所以.
【点睛】此题考查对数的计算综合运用，关键在于熟练掌握对数的运算法则和相关公式，第二问考查证明不等式，常用作差法证明.
18．(1)或
(2)
(3)
(4)
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）由，得，
所以或，即或，
所以不等式的解集为或；
（2）由，得，
则，所以，所以，
所以不等式的解集为；
（3）由，得，
因为，所以，
所以不等式的解集为；
（4）由，得，
因为，
所以不等式的解集为.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）运用基本不等式证明即可；
（2）构造，，，采用叠加法即可证明.
【详解】（1）因为x，，所以，当且仅当时取等号，
所以，即，则，
同理由可得，
所以，当且仅当时取等号．
（2）因为x，y，，所以，，，
以上三式相加得，
所以，当且仅当时取等号．
因为x，y，，且，所以，，
所以，，所以．
【点睛】本题第（2）问通过，，相加得到，这种方法为叠加法，叠加法是证明不等式的一种基本方法，若一个复杂的不等式可拆成若干个结构相同的简单不等式，可分别证明，再相加．
20．证明见解析
【分析】利用分析法即可求证．
【详解】要证明：
需证明：
需证明:
需证明
是的三边，且，
成立．
21．（1），；
（2）当时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大；当时,促销费用投入a万元时,厂家的利润最大.
【详解】试题分析：（1）根据利润=定价销售量-成本列出函数式；（2）利用基本不等式与函数的单调性进行求解.
解题思路:解决函数应用题的关键在于审清题意，从题意中提炼出有关数学量和关系式，将应用题转化为数学问题进行求解.
试题解析：（1）由题意知,该产品售价为万元,
, 代入化简得
,（） 5分
（2）
当且仅当时,上式取等号 8分
当时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大; 10分
当时,,故在 上单调递增,所以在x=a时,函数有最大值.促销费用投入a万元时,厂家的利润最大 12分
综上所述,当时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大；当时,促销费用投入a万元时,厂家的利润最大 13分.
考点：1.函数模型的应用；2.基本不等式；3.函数的最值.
22．(1)表示不安装设备时每年缴纳的水费约为4万元，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目条件求出k，即可求出解析式；
（2）由题意解不等式即可；
（3）对函数变形，利用基本不等式求解最值即可.
【详解】（1）表示不安装设备时每年缴纳的水费约为4万元，则，解得，
所以，即；
（2）要满足题意，则，即，
化简得，解得，
即设备占地面积x的取值范围为.
（3），
当且仅当，即时等号成立，
所以设备占地面积为时，y的值最小.
