第2章 一元二次函数、方程和不等式单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．或
2．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且，则有（ ）
A．最大值1 B．最大值2 C．最小值1 D．最小值2
5．的最小值为（ ）
A．4 B．7 C．11 D．24
6．设正数m，n满足1，则m+n的最小值为（ ）
A．26 B．25 C．16 D．9
7．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
二、多选题
9．已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7.5
10．下列结论正确的是（ ）
A．设，则的最小值是
B．当时，的最小值是2
C．当时，
D．当时，的最大值是1
11．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．平行四边形的对角线互相平分
D．空集是任何集合的真子集
12．下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．若实数a，b，c满足，则
C．若，则函数的最小值为2
D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是
三、填空题
13．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是．已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是 .
14．已知为直线上两点，为坐标原点，若，则的周长最小值为 .
15．已知函数，当时，恒成立，则的最大值为 .
16．已知都是负实数，则的最小值是 .
四、解答题
17．求下列不等式（组）的解集：
(1)；
(2).
18．已知关于x的不等式.
(1)若，求该不等式的解集；
(2)若，求该不等式的解集.
19．解下列不等式:
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
20．求下列不等式的解集：
(1)；
(2).
21．(1)若，化简．
(2)求关于的不等式的解集．
22．解下列不等式．
(1)
(2)
(3)
参考答案：
1．D
【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出.
【详解】解：不等式化为：，
由方程，可得，解得或1.
不等式的解集为或.
故选：D.
2．D
【分析】对A.、B 、C举出反例，对D利用函数的单调性，即可做出判断.
【详解】对于A：取，时，，故A不正确；
对于B：取，时，没有意义，故B不正确；
对于C：当或时，，故C不正确；
对于D：为递增函数，所以当时，，故D不正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查了不等式的应用，属于基础题.
3．A
【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可.
【详解】解：因为，所以，所以，故A选项一定成立；
取，，可判断B选项不一定成立；
取，，可判断C选项不一定成立；
取，则，可判断D选项不一定成立；
故选：A.
4．A
【分析】利用基本不等式即得.
【详解】∵，且，
∴，当且仅当时取等号，
∴有最大值1.
故选：A.
5．B
【分析】采用降次、配凑，最后利用基本不等式即可.
【详解】，则，，
当且仅当，即时等号成立，
故选：B．
6．B
【解析】用“1”的代换凑配出定值，然后用基本不等式求得最小值．
【详解】∵正数m，n满足1，
则，当且仅当，即时，等号成立．∴的最小值为25.
故选：B.
【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是“1”的代换，凑配出积为定值．
7．D
【分析】根据函数的定义域为R，由，对恒成立求解.
【详解】解：因为函数的定义域为R，
所以，对恒成立，
当时，，成立；
当时，，
解得，
综上：实数a的取值范围是
故选：D
8．A
【分析】通过转换主参变量的方法来求得的取值范围.
【详解】依题意，对任意的实数，不等式恒成立，
整理得，令，
则，解得或.
故选：A
9．BC
【分析】根据基本不等式求出的最小值，得的取值范围，根据范围可得答案.
【详解】由，且，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
又因为不等式恒成立，所以，又，结合选项，可得BC符合题意.
故选：.
10．CD
【分析】运用基本不等式逐一判断即可.
【详解】对于选项A：∵不是定值，∴不是的最小值，故选项A错误；
对于选项B：当时，由基本不等式可得，
等号成立的条件为，即．
但，故取不到等号，故不是的最小值，故选项B错误；
对于选项C：当时，由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；
对于选项D：当，即时，
，
由基本不等式可得，
当且仅当，即时等号成立．
此时，
即当时，有最大值1，故选项D正确．
故选：CD．
11．BC
【分析】求出方程的解判断A；利用不等式的性质判断B；由平行四边形的性质判断C；由真子集的意义判断D.
【详解】对于A，解方程，得或，A错误；
对于B，，则，B正确；
对于C，由平行四边形的性质知，平行四边形的对角线互相平分，C正确；
对于D，空集是空集的子集，空集不是空集的真子集，D错误.
故选：BC
12．AB
【分析】根据不含参一元二次不等式的解法解不等式，即可判定选项A；根据不等式的性质即可判定选项B；利用基本不等式可判定选项C；根据不等式恒成立的解法求出k的范围，即可判定选项D.
【详解】对A，由解得或，所以A正确；
对B，由于，所以可以对两边同除，得到，所以B正确；
对C，由于，所以当且仅当，即时取等号，显然不成立，所以C错误；
对D，①当时，不等式为，恒成立；
②当时，若要使不等式恒成立，则，解得，
所以当时，不等式恒成立，则k的取值范围是，所以D错误.
故选：AB．
13．
【分析】由，相加可得，进而得到．利用，可得，即可得出．
【详解】因为，
所以，即，所以．
又因为，所以，
所以，
所以这四个小球由重到轻的排列顺序是．
故答案为：．
14．
【解析】设，利用三角形面积公式建立方程，根据基本不等式求解，在周长中利用基本不等式即可求解.
【详解】设，
则，
所以周长，
设点到直线的距离为，
则，
由的面积公式可得
所以当且仅当时，等号成立，
解得
所以，当且仅当时，等号成立.
因为等号能够同时取到，
所以周长的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形面积公式的应用，基本不等式，考查了推理与运算能力，属于难题.
15．2
【分析】将函数化简可得，结合题目要求的最大值，故考虑，得出关于的不等式，进而取特殊值判断是否满足满足取等条件求解即可.
【详解】函数，对恒成立，令，则或，故，得，当时，满足，则的最大值为2.
故答案为：2
16．
【分析】先利用分离常数法得到，即可利用基本不等式求出其最小值.
【详解】，
因为都是负实数，所以，
所以（当且仅当时等号成立）.
所以，
所以，
所以，
所以.
即的最小值是.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）分类讨论解含绝对值的不等式；
（2）分别解二次不等式和分式不等式，取交集得不等式组的解集.
【详解】（1）不等式，等价于或，解得或，则所求解集为；
（2）不等式，即，解得，
所以.
故所求解集为.
18．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）代入解不等式即可；
（2）整理可得，分、和三种情况，解不等式即可.
【详解】（1）当时，，
即，解得，
故该不等式的解集为.
（2）.
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19．(1)或
(2)
(3)
(4)
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）由，得，
所以或，即或，
所以不等式的解集为或；
（2）由，得，
则，所以，所以，
所以不等式的解集为；
（3）由，得，
因为，所以，
所以不等式的解集为；
（4）由，得，
因为，
所以不等式的解集为.
20．(1)或
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式求解集即可；
（2）根据分式不等式的解法求解即可.
【详解】（1）原不等式可化为或，
原不等式的解集为或；
（2）
，
解得，
故不等式的解集为.
21．(1) (2)
【分析】(1)本题首先可以根据求出的取值范围，然后根据根式以及绝对值的相关性质将化简为，最后根据的取值范围即可得出结果；
(2)本题首先可根据配方得出，然后根据指数函数的相关性质即可得出结果．
【详解】(1)因为，即，
所以，
．
(2)因为，
所以由指数函数性质可知，即，
解得，此不等式的解集为．
【点睛】本题考查不等式的解法，考查对根式以及含绝对值的式子的化简，考查指数函数的性质，考查化归与转化思想，体现了综合性，是中档题．
22．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）（2）（3）应用不含参的一元二次不等式解法求解集即可.
【详解】（1）由，所以，即.
（2）因为，
所以或，即；
（3）因为，即，
所以，解得，即．
