广东省四校联考2024届高三上学期11月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设全集为R,,则( )
A. B. C. D.
2．“”是“”的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
3．复数满足:(i为虚数单位),为复数z的共轭复数,则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
4．已知m,n为两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,,则 D.若,,则
5．在边长为2的等边三角形ABC中,若,,则( )
A. B. C. D.
6．已知实数,,,则这三个数的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
7．有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点,已知最底层正方体的棱长为2,且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过34,则该塔形中正方体的个数至少是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
8．已知,为函数的零点,,若,则( )
A. B.
C. D.与大小关系不确定
二、多项选择题
9．记等差数列的前n项和为,已知,,则有( )
A. B. C. D.
10．若,则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
11．已知函数()在区间上有且仅有条对称轴,给出下列四个结论,正确的是( )
A.在区间上有且仅有个不同的零点
B.的最小正周期可能是
C.的取值范围是
D.在区间上单调递增
12．若函数存两个极值点,,则( )
A.函数至少有一个零点 B.或
C D.
三、填空题
13．已知函数为上的奇函数,则实数___________.
14．若曲线在点处的切线方程为,则_______________.
15．如图,某中学校园中央有一座钟楼,某学生为了测量钟楼高AB,该学生先在钟楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为,然后从点C处沿南偏东方向前进60m到达点D处,在D处测得钟楼顶部的仰角为,则钟楼AB的高度是___________m.
16．已如平面内非零向量,,满足,,,若,则的取值范围是___________.
四、解答题
17．已知数列是公比为2的等比数列,其前n项和为,,,成等差数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）令,求数列的前n项和.
18．设函数,其中,已知.
（1）求;
（2）将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求的单调递减区间.
19．如图,在四棱锥中,平面ABCD,底部ABCD为菱形,E为CD的中点.
（1）求证:平面PAC;
（2）若,求证:平面平面PAE;
（3）棱PB上是否存在点F,使得平面PAE 说明理由.
20．某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%()的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:
（1）当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间
（2）求该地上班族S的人均通勤时间的表达式;讨论的单调性,并说明其实际意义.
21．某公园要建造如图所示的绿地OABC,OA,OC为互相垂直的墙体,已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米且.设.
（1）当,时,求OB的长;
（2）当时,求OABC面积S的最大值及此时的值.
22．已知函数().
（1）讨论的单调性;
（2）当时,关于x的不等式恒成立,求实数a的取值范围.注:是自然对数的底数
参考答案
1．答案：C
解析：由且,或,
所以,
故选:C
2．答案：B
解析：,,则,
解得,则反向可以推出,正向无法推出,
则“”是“”的必要不充分条件,
故选:B.
3．答案：B
解析：由,得,
,
,,,.
故选B.
4．答案：D
解析：选项A:有可能出现的情况;
选项B:m和n有可能异面;
选项C:和有可能相交;
选项D:由,,得直线m和平面没有公共点,所以,
故选:D
5．答案：D
解析：在边长为2的等边三角形ABC中,若,
则
故选:D
6．答案：A
解析：因为,所以,
又因为,
而,所以,
所以,
故选:.
7．答案：B
解析：设从最底层开始的第n层的正方体棱长为,
,,,
则为以2为首顶,以为公比的等比数列,
是以4为首项,以为公比的等比数列.
塔形的表面积,
令,解得,
该塔形中正方体的个数至少为5个.
故选:B.
8．答案：C
解析：易知,,为函数的零点,
,,,,
,又,,,
解之:,负根舍去;
又,,,
即与有三个交点,交点横坐标分别为,,,如下图先计算过原点的切线方程,不妨设切点为,,,
切线方程为:过原点,
此时,的斜率比切线斜率小,结合图像容易分析出,
,.
故选:C
9．答案：ACD
解析：由,得,
设等差数列的公差为d,则有,
所以,
所以,
所以,,
,
由,得,
故选:ACD.
10．答案：AC
解析：当时,,所以,A正确;
,,符号不定,所以与大小关系不能确定,B错误;
,,所以C正确;
在上单调递减,,所以,D错误;
故选:AC.
11．答案：BC
解析：由函数(),
令,,则,,
函数在区间上有且仅有条对称轴,即有个整数k符合,
由,得,即,
则,1,2,3,
即,
,C正确;
对于A,,,
,
当时,在区间上有且仅有个不同的零点;
当时,在区间上有且仅有个不同的零点;故A错误;
对于B,周期,由,则,
,
又,所以的最小正周期可能是,故B正确;
对于D,,,
又,
又,所以在区间上不一定单调递增,故D错误;
故选:BC.
12．答案：ACD
解析：对于A,
,是的一个零点,故A正确
对于B,
存在两个极值点,,
有两个不相等的实数根,即有两个变号零点,,
,即,或
又,,,解得
综上,,故B错误
对于C,由B选项可得,,,,
故C正确
对于D,
将,代入上式
令
有在上单调递增,,
故D正确
故选:ACD
13．答案：
解析：由为R上奇函数,则,设,则,
,,,.
故答案为:
14．答案：
解析：,依题意得,即,
又因为,所以.
故答案为:
15．答案：30
解析：由题意知:,,,,设,则,,
,即,解得或(舍去).
故答案为:30.
16．答案：
解析：由,得,
向量对应点C的轨迹是以点B为圆心,为半径的圆,
对应点为,对应点为B,,
,,于是.
故答案为:.
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由,,成等差数列,且公比,
所以,
即,
整理得,解得,
所以数列的通项公式为.
（2）.
所以为等比数列,令,,故为等差数列
因此分组求和可得:
18．答案：（1）
（2）()
解析：（1）由得:
,
,
由知,则,,
故,,
又,所以.
（2）由（1）知,
由题意得.
由,
解得,,
所以的单调递减区间为().
19．答案：（1）见解析;
（2）见解析;
（3）见解析.
解析：（1）证明:因为平面ABCD,所以;
因为底面ABCD是菱形,所以;
因为,PA,平面PAC,
所以平面PAC.
（2）证明:因为底面ABCD是菱形且,所以为正三角形,所以,
因为,所以;
因为平面ABCD,平面ABCD,
所以;
因为
所以平面PAB,
平面PAE,所以平面平面PAE.
（3）存在点F为PB中点时,满足平面PAE;理由如下:
分别取PB,PA的中点F,G,连接CF,FG,EG,
在三角形PAB中,且;
在菱形ABCD中,E为CD中点,所以且,所以且,即四边形CEGF为平行四边形,所以;
又平面PAE,平面PAE,所以平面PAE.
20．答案：（1）时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;
（2）见解析.
解析：（1）由题意知,当时,
,
即,
解得或,
时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;
（2）当时,
;
当时,
;
;
当时,单调递减;
当时,单调递增;
说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;
有大于32.5%人自驾时,人均通勤时间是递增的;
当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.
21．答案：（1）
（2）当时,养殖场OABC最大的面积为平方米.
解析：（1）连接AC,OB,设,,
在中,由正弦定理可知:,
在中,由正弦定理可知:,于是有,而,
解得,负值舍去,
因此,即;
（2）由题意,,所以,而,,因此,所以,而,所以OB垂直且平分AC,
因此,
,
在中,由正弦定理,得.
于是
,.当,即时,S取到最大值,最大值为.因此,当时,养殖场OABC最大的面积为平方米.
22．答案：（1）答案见解析
（2）.
解析：（1）由,
①当,即时,
因为恒成立,故在上为减函数;
②当,即时,
由得,或;由得,,
所以在和上为减函数,在上为增函数;
③当,即时,
由得,或;由得,,
所以在和上为减函数,在上为增函数.
综上:当时,在上为减函数;
当时,在和上为减函数,在上为增函数;
当时,在和上为减函数,在上为增函数.
（2）因为时,关于x的不等式恒成立,
则,即,解得或.
①当时
由（1）知,在上为增函数,在上为减函数,
所以在上的最大值为,故,
即,解得或,因为,所以.
②当时,
由（1）知,在和上为减函数,在上为增函数,
所以在上的最大值为,故,
即,整理得.
记,,,
所以,
当,,单调递减;当,,单调递增,
所以即
则,
因为函数和在上均为增函数,所以.
综上:a的取值范围是.
