第六章 概率 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设随机变量x服从正态分布，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设随机变量，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
3．已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．由12名志愿者组成的医疗队中，有5名共产党员，现从中任选6人参加抗洪抢险，用随机变量表示这6人中共产党员的人数，则式子表示下列概率 的是（ ）
A． B． C． D．
6．设随机变量，若，则（ ）
A．0.9 B．0.7 C．0.5 D．0.3
7．若某市高三某次数学测试的成绩X（单位：分）服从正态分布N（96，16），则从该市任选1名高三学生，其这次数学测试的成绩在100~108分内的概率约为（ ）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
A．0.1573 B．0.34135 C．0.49865 D．0.1359
8．甲、乙两名高校毕业生准备去北京、上海、广州、杭州、南京、西安六个城市中选择一个城市实习，记事件A为“甲和乙至少一人选择北京”，事件为“甲和乙选择的城市不同”，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
10．某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为元/件.现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20％的隐藏款.某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回.若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次.记X为检验结束时所进行的检验次数，则（ ）
A．
B．
C．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.5094
D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则
11．已知随机变量服从正态分布，则以下说法正确的是（ ）
A．的均值为3 B．的标准差为4
C． D．
12．对自然人群进行普查，发现患某病的概率.为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被确诊为患病”，则有.根据以上信息，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在棱长为的正方体的个顶点中随机选取个构成一个四面体，记该四面体的体积为，则 .
14．若随机变量，且，则等于 ．
15．离散型随机变量的概率分布规律为，，其中是常数，则 ．
16．已知事件互相独立，且，则 .
四、解答题
17．某单位招聘会设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试.笔试设有三门测试，三门测试相互独立，三门测试至少两门通过即通过笔试，通过笔试后进入面试环节，若不通过，则不予录用.面试只有一次机会，通过后即被录用.已知每一门测试通过的概率均为，面试通过的概率为.
(1)求甲通过了笔试的条件下，第三门测试没有通过的概率；
(2)已知有100人参加了招聘会，X为被录取的人数，求X的期望.
18．某学校高一，高二，高三三个年级的学生人数之比为，该校用分层抽样的方法抽取7名学生来了解学生的睡眠情况.
(1)应从高一 高二 高三三个年级的学生中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足
①若从这7人中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的学生人数，求随机变量X的分布列：
②将这7名学生中“睡眠不足”的频率视为该学校学生中“睡眠不足”的概率，若从该学校全体学生（人数较多）中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.记Y表示抽到“睡眠不足”学生的人数，求Y的期望和方差：
19．为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．
(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；
(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．
20．ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%.
(1)在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.
21．随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
A大学 B大学 C大学 D大学
年毕业人数（千人）
年考研人数（千人）
(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴.
（i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？
（ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围.
参考公式：，.
22．甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9．
(1)若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；
(2)若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率．
参考答案：
1．C
【分析】由随机变量x服从正态分布，可得正态曲线的对称轴为，然后对称关系可求得结果
【详解】解：因为随机变量x服从正态分布，
所以正态曲线的对称轴为，
因为，所以，得，
故选：C
2．C
【分析】根据二项分布的方差公式及性质进行计算即可.
【详解】由题意得，
故.
故选：C.
3．C
【分析】根据，利用，求得P，再利用期望和方差公式求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
4．D
【分析】由条件概率公式求出，进而利用互斥事件概率公式求出答案.
【详解】由，.
故选：D.
5．D
【分析】根据超几何概型公式，分析所给表达式，即可得答案.
【详解】因为12名志愿者中有5名党员，7名非党员，
所以表示从5名党员中选3名，7名非党员中选3名的概率
所以.
故选：D
6．B
【分析】根据题设条件和正态分布曲线的对称性，即可求解.
【详解】由题意，随机变量，可得，
因为且，
根据正态分布的对称性，可得，
所以.
故选：B.
7．A
【分析】由X（单位：分）服从正态分布N（96，16），可得，则，然后根据正态分布的对称性可求得结果
【详解】因为数学测试的成绩X（单位：分）服从正态分布N（96，16），
所以，
因为，，
所以，
所以
，
故选：A
8．B
【分析】由题可知事件A和事件AB对应基数，后由条件概率计算公式可得答案.
【详解】由题意知事件A：“甲和乙至少一人选择北京”包含种情况，
事件：“甲和乙选择的城市不同，且恰有一人选择北京”包含种，
所以.
故选：B
9．BD
【分析】根据正态分布曲线的对称性逐项分析即可得解.
【详解】因为，所以A不正确；
因为
，所以B正确，C不正确；
因为，所以，所以D正确.
故选：BD
10．ABD
【分析】根据抽样方式可计算概率，判断A,C,根据概率计算可得分布列，进而得期望，用错位相减法求期望即可判断B，根据成本计算可求解D.
【详解】解：对于A，记检测到隐藏款的概率为，则，故正确；
对于B，由题意得的分布列为
且；
记,
则，
两式相减得
，
所以，故正确
对于C，没有抽到隐藏品的概率为，他抽到隐藏款的概率为，故错误，
对于D，设总共有件盲盒，则成本为元，则定价才能保证获利，故正确
故选：ABD
11．AC
【分析】由正态分布的性质求解即可.
【详解】由题意可得，则的均值为3，的标准差为2，故A正确，B错误；
由对称性可知，，故C正确，D错误；
故选：AC
12．BC
【分析】根据对立事件概率公式判断AC，根据条件概率和全概率公式判断BD.
【详解】因为，所以，
因为，所以，故选项A错误，C正确；
因为，故选项B正确；
由全概率公式可得，
则由条件概率公式知
，故选项D错误.
故选：BC
13．
【分析】先用排列的知识求出在正方体的个顶点中随机选取个点，共有种情况，再分两类求四面体的体积和取法种数，最后列出分布列，由分布列即可求出数学期望.
【详解】在棱长为的正方体的个顶点中随机选取个点，共有种情况，
当四点共面时，共有种情况，此时不构成四面体.
当四点不共面时，四面体的体积有以下两种情况：
第一种情况如图，四面体的四点在相对面且异面的对角线上，
体积为，这样的取法共有种；
第二种情况如图，四面体的四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，
体积为，这样的取法共有种；
所以该四面体的体积为的分布列为：
所以.
故答案为：
14．/
【分析】利用正态分布曲线的对称性直接求解即可.
【详解】，，
.
故答案为：.
15．/0.875
【分析】根据所给的概率分布规律，写出6个变量对应的概率，由分布列的性质和为1求出实数，在求出满足条件的概率即可.
【详解】因为，
，
所以，
所以，
所以
，
故答案为：.
16．/
【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可得结果.
【详解】，
.
故答案为：
17．(1)
(2)20
【分析】（1）根据条件概率计算即可；
（2）易得服从二项分布，再根据二项分布的期望公式计算即可.
【详解】（1）设事件为甲通过了笔试，事件为甲第三门测试没有通过，
则，
，
故甲通过了笔试的条件下，第三门测试没有通过的概率为；
（2）设某人被录取的概率为，
则，
由题可知，
所以.
18．(1)3人，2人，2人.
(2)①答案见解析；②，
【分析】（1）根据各组人数和抽样比,即可求得各组抽取的人数.
（2）①本小问符合超几何分布可以根据超几何分布公式求随机变量X的分布列.
②本小问符合二项分布可以根据二项分布公式求Y的期望和方差.
【详解】（1）由已知选取的三个年级的人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从高一 高二 高三三个年级的学生中分别抽取3人，2人，2人.
（2）①随机变量X符合超几何分布，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.则
所以，随机变量的分布列为
0 1 2 3
②取一个学生就是一次试验，有“睡眠不足”和“睡眠充足”两个结果，抽3个学生相当于3次独立重复抽一个学生的试验，于是符合二项分布，所以
19．(1)
(2)
【分析】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，分别求出概率，根据全概率公式计算即可；
（2）先设事件 ，然后求出相关概率，再根据全概率公式计算即可.
【详解】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，
则，，
所以第二题抽到的是概念叙述题的概率
（2）设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题，
，，
，，
20．(1)分布列见解析，
(2)（i）0.815；（ii）
【分析】（1）服从超几何分布，直接用公式求解.
（2）利用全概率公式求解ChatGPT的回答被采纳的概率；利用条件概率公式求解该问题的输入没有语法错误的概率即可.
【详解】（1）易知的所有可能取值为
此时，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
P
则.
（2）（i）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，
记“输入的问题有语法错误”为事件B，
记“ChatGPT的回答被采纳”为事件C，
则，，，.
.
（ii）若ChatGPT的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为
.
21．(1)
(2)（i）5028万元（ii）
【分析】（1）利用题中的数据代入参考公式，即求出线性回归方程；
（2）（i）直接将将x=120代入（1）中所求的线性回归方程计算即可；
（ii）先求出小江、小沈两人中考研人数的数学期望，再求出考研补贴的总期望，根据题意列出不等式组求解p的范围.
【详解】（1）由题意得，，
又，
，
，
，
所以，
故得y关于x的线性回归方程为；
（2）（i）将x=120代入，
估计该省要发放补贴的总金额为（万元）；
（ii）设小江、小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为、、，
，
，
，
，
，可得，
又因为，可得，
故.
22．(1)0.5
(2)0.64
【分析】（1）用互斥事件概率的加法公式解决.
（2）分析至少有一次获胜的事件包括两次都获胜，第一次获胜第二次未获胜和第一次未获胜第二次获胜三种情况。又因为三种情况之间互斥和两盘棋之间的胜负互不影响.利用互斥事件的概率加法公式和独立事件同时发生的概率乘法公式和对立事件概率的知识求解.
【详解】（1）设事件表示甲获胜，事件表示和棋，事件表示甲不输．
则．
因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，得
．
因为，
所以
（2）设事件表示甲获胜，则表示甲未获胜.设下两次棋至少有一次获胜的事件为，
则，因为两盘棋之间的胜负互不影响，且至少有一次获胜包括的三种情况是互斥的.
所以
