第四章 三角恒等变换 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，.若存在，使得，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
5．函数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．计算（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．是函数的一条对称轴
C．函数在区间上的最大值为2
D．将函数向左平移个单位后得函数，则为偶函数
二、多选题
9．下列命题中正确的是（ ）
A．在中， B．若，则
C．若，则 D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．若角是第二象限角，则是第一象限角
B．
C．若，则是第一象限角
D．若，则
11．下列四个选项中，计算结果是的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则下列说法正确的有（ ）
A．函数图象关于对称
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
D．若在上恒成立.，则的最大值为
三、填空题
13．已知，，则 .
14．已知，，则 .
15．已知，则 .
16．已知，，，均为锐角，则 .
四、解答题
17．已知．
(1)化简；
(2)若为第四象限角且，求的值；
(3)若，求．
18．求值：
(1)
(2)+
19．化简求值
(1)
(2)已知，，，，求.
20．已知．
(1)化简；
(2)若，且是第二象限角，求的值．
21．已知是第三象限角，且
(1)求的值；
(2)求的值．
22．已知．
(1)化简并求函数图象的对称轴方程；
(2)当时．求函数的最大值、最小值及对应的值．
参考答案：
1．A
【分析】先对两边平方，构造齐次式进而求出或，再用正切的二倍角公式即可求解.
【详解】对两边平方得且化为
，
即，
整理可得，
解得或，
代入．
故选：A
2．B
【分析】先将函数进行化一处理，由得，由可得解.
【详解】，
当时，，
存在，使得，
则，解得.
故选：B.
3．C
【分析】首先由同角三角函数的基本关系式求得或，再将化为，代入的值即可得答案.
【详解】因为，所以，
则，
所以，即，
解得或.
又，将或代入，
均得到.
故选：C.
4．B
【分析】设，则，进而根据题意得，再结合三角函数的范围求解即可得答案.
【详解】解：设，则，
因为，
所以，即
所以，
因为，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：B
5．A
【分析】利用辅助角公式整理得，其中，根据题意可得在处取最大值.解法一：根据正弦函数的最值分析可得，进而可得结果；解法二：根据最值直接列式求解即可.
【详解】，其中，
因为，所以在处取最大值.
解法一：因为在处取最大值，则，
可得，所以；
解法二：因为在处取最大值，
则，解得；
故选：A．
6．D
【分析】利用和角公式进行化简，得到，利用正切的二倍角公式求解答案.
【详解】因为，所以，
所以，则.
故选：D
7．D
【分析】由两角差的正切公式，结合，即可求出答案.
【详解】.
故选：D
8．D
【分析】首先化简函数，再根据三角函数的性质，求最小正周期，整体代入的方法，判断函数的性质，即可判断选项.
【详解】，
A.函数的最小正周期，故A正确；
B.当时，，是函数的一条对称轴，故B正确;
C.当时，，当时，函数的最大值为2，
故C正确；
D. 函数向左平移个单位后得函数，
，不是函数的最值，所以也不是偶函数，故D错误.
故选：D
9．ACD
【分析】根据三角形内角和与诱导公式化简可判断A；根据平方公式可判断B；根据平方关系与商数关系齐次转化可判断C；根据正切两角和公式可判断D.
【详解】在中，，所以，故A正确；
若，则，故B不正确；
若，则，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD.
10．BCD
【分析】A选项，设，进而求出，得到是第一象限角或第三象限角；B选项，利用同角三角函数平方关系及判断；C选项，利用正弦和角公式得到，求出，得到答案；D选项，整体法利用诱导公式求出答案.
【详解】A选项，若角是第二象限角，则，
故，
当时，在第三象限，
当时，在第一象限，
则是第一象限角或第三象限角，A错误；
B选项，，
因为，所以，故，B正确；
C选项，由题意得，故，
故，解得，
则是第一象限，C正确；
D选项，若，
则，D正确.
故选：BCD
11．ABC
【分析】根据三角恒等变换公式以及诱导公式一一求解即可.
【详解】对A，，A正确；
对B，
，B正确；
对C，，C正确；
对D，，D错误；
故选:ABC.
12．ACD
【分析】由已知条件，得出图象的对称中心和对称轴，求得解析式，由三角函数的性质，对各选项依次辨析即可.
【详解】∵，∴，
∴的图象关于点对称，
又∵，
∴当时，取得最值，即的图象关于直线对称，
又∵在上单调递减， ，，
∴点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴，
∴设的最小正周期为，则，∴，∴，
∴，
又∵的图象关于点对称，
∴由正弦函数的性质，，∴，
∵，∴时，，
∴.
对于A，函数图象关于对称，故选项A正确；
对于B，函数的最小正周期为，故选项B错误；
对于C，将的图象向左平移个单位长度，得，故选项C正确；
对于D，由，得，∴，
∴，∴，
∵，∴解得
∴由余弦函数的性质，，
∴，
∴若在上恒成立.，则的最大值为，故选项D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】利用诱导公式与平方和关系求解即可.
【详解】因为，所以，所以
故答案为：
14．
【详解】利用二倍角的正切公式可求的值.
【点睛】因为，故，解得，
因为，故，故，故，
故答案为：.
15．
【分析】根据诱导公式求出，再由二倍角公式，即可求出.
【详解】，
.
故答案为：.
16．
【分析】根据同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式求解.
【详解】因为，，且，均为锐角，
所以，，
所以.
故答案为：
17．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由诱导公式和同角三角函数的关系化简即可.
（2）根据象限确定三角函数的符号，由同角三角函数的关系计算.
（3）由函数解析式使用诱导公式化简计算.
【详解】（1）．
（2）因为为第四象限角且，所以，
所以．
（3）因为，，
所以．
18．(1)1
(2)
【分析】（1）根据题意，由辅助角公式化简，结合正弦的二倍角公式，即可得到结果；
（2）根据题意，利用降幂公式化简，结合余弦的和差角公式，即可得到结果.
【详解】（1） =
===
（2）+=
+
+ =
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助就公式，化简求值；（2）首先可根据题意得出，然后根据同角三角函数关系求出，最后根据二倍角公式以及两角和的正切公式即可得出结果.
【详解】（1）
；
（2）因为，是锐角，所以，
因为，为锐角，所以，，
因为，所以，，
则，，故.
20．(1)；
(2).
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式即可将化简；
（2）由及是第二象限角，求出及的值，即可求出答案.
【详解】（1）解：根据诱导公式．
（2）解：∵，即
又∵为第二象限角，∴，
∴．
21．(1)
(2)
【分析】（1）借助诱导公式和同角三角函数的基本关系化简即可;
（2）构造齐次式，将弦化切，代入计算即可.
【详解】（1）由题意可得：
即，是第三象限角，.
（2）结合（1）问可得：，
是第三象限角,，
.
22．(1)；
(2)时，函数取最大值；时，函数取最小值
【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式即可化简，利用三角函数的性质即可求解对称轴方程；
（2）根据角的范围，利用三角函数的性质即可求得答案.
【详解】（1）,
令，得，
所以函数图象的对称轴方程为：.
（2）由（1）得，
因为，故，
所以，当，即时，函数取最大值；
当，即时，函数取最小值.
