2023—2024学年度第一学期期末教学质量监测
八年级数学试题
第一部分 选择题
一、选择题
1．36的算术平方根是（ ）
A． B．6 C． D．
2．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．南山区博物馆五位小讲解员的年龄分别为10，12，12，13，15（单位：岁），则三年后这五位小讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（ ）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．光在不同介质中的传播速度不同，当光从空气射向某透明液体时会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，其两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，当，时，（ ）
A． B． C． D．
6．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．若有意义，则 B．两个无理数的和还是无理数
C．体积为8的正方体，边长是无理数 D．两直线被第三条直线所截，内错角相等
7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有这样一题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？设共有个人，该物品价格是元，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知A(﹣2，6)，则点B的坐标为( )
A．(﹣6，4) B．(，) C．(﹣6，5) D．(，4)
10．如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（ ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3）
A．17 B． C． D．
第二部分 非选择题
二、填空题
11．比较大小： 3（填“”、“”或“”）．
12．一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为 ．
13．已知等腰的底边，是腰上一点，且，，则的长为 ．
14．如图1，11月10日晚，“深爱万物”—2023深圳人才嘉年华活动正式启动，千余架无人机在深圳人才公园上空上演“天空之舞”，为人才喝彩、向人才致敬．如图2的平面直角坐标系中，线段分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点P，轴于点B，点A的横坐标为25．则在第 秒时1号和2号无人机在同一高度．
15．如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，重合），将沿翻折，点的对应点为点，交于点，若，则点到线段的距离为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．已知实数x，y满足，求的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，各顶点分别为，，．
(1)在图中作，使和关于y轴对称；
(2)直接写出点B关于x轴对称的点的坐标______；
(3)在x轴上存在一点Q，使得的值最小，的最小值为______；请直接写出点Q的坐标______．
19．某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从八年级（1）班和八年级（2）班各随机抽取了10名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下：八年级（1）班抽取的学生的初赛成绩：6，8，8，8，9，9，9，9，10，10．八年级（2）班抽取的学生的初赛成绩：6，7，8，8，8，9，10，10，10，10，请根据以上信息，完成下列问题：
八年级（1）班、八年级（2）班抽取的学生的初赛成绩统计表：
班级 平均数 中位数 众数 优秀率
八年级（1）班 8.6 9 b m
八年级（2）班 8.6 a 10
(1)填空：______，______，______；
(2)小明是抽取的20名学生中的一名，其成绩是9分．小明说：“在本班抽取的10名学生中，我的初赛成绩比一半同学的初赛成绩要好”，若小明的说法是正确的，则可判断小明是八年级______班的学生（选填“（1）”或“（2）”）：
(3)若八年级有学生500人，且满分才能进入决赛，估计八年级进入决赛的学生共有多少人？
20．南山区某社区为进一步落实全民健身政策，需要购买若干副羽毛球拍和乒乓球拍，用于社区球类比赛活动，已知购买2副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需费用330元；购买5副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需费用780元．
(1)每副羽毛球拍和乒乓球拍的单价各是多少元？
(2)根据社区实际情况，社区拟用810元购买若干副羽毛球拍和乒乓球拍，若810元恰好用完，且两种球拍均要购买，社区有哪几种购买方案？
21．【问题呈现】
如图①，已知线段，相交于点，连结，，我们把形如这样的图形称为“字型”．
（）证明：．
【问题探究】
继续探究，如图②，、分别平分、，、交于点，求与、之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入、的值求的值，得到下面几组对应值：
（2）表中______，猜想得到与、的数量关系为______；
（3）证明（）中猜想得到的与、的数量关系；
（单位：度）
（单位：度）
（单位：度）
22．先阅读下列材料，然后解决问题：
【阅读感悟】
在平面直角坐标系中，已知点，当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x，纵坐标y，得到了方程组消去t，得，即，可以发现，点随t的变化而运动所形成的图象的解析式是．
【尝试应用】
（1）观察下列四个点的坐标，不在函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
（2）求点随t的变化而运动所形成的图象的解析式；
【综合运用】
（3）如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数的图象上运动．已知点为定点，连接，过点A作直线，且，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键．根据算术平方根的计算方法计算即可．
【详解】解：，
故选B．
2．D
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据第四象限的坐标特征进行判断即可，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，是解此题的关键．
【详解】解：点的横坐标为正，纵坐标为负，则此点在第四象限，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了平均数，中位数，众数以及方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．众数是一组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：∵南山区博物馆五位小讲解员的年龄分别为10，12，12，13，15，
∴三年后这五位小讲解员的年龄为13，15，15，16，18，
∴会改变的是平均数、众数和中位数，不会改变的是方差．
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查数轴与绝对值，解题的关键在于掌握数轴上点的意义以及绝对值的含义．根据图逐一判断即可．
【详解】解：由图可知数表示的点在左侧，
，故选项A错误，不符合题意；
到的距离大于到的距离，
，，故选项B错误，不符合题意；
到的距离大于到的距离，
，故选项C正确，符合题意；
，
，故选项D错误，不符合题意；
故选C．
5．B
【分析】本题考查平行线的性质．
根据两条入射光线互相平行，可得，求出，根据水面和杯底互相平行，可得，求出，从而可解答．
【详解】∵两条入射光线互相平行，
∴，
∵水面和杯底互相平行，
∴，
∴．
故选：B
6．A
【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用二次根式有意义的条件、无理数的定义、无理数的应用，平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A．若有意义，则，正确，是真命题；
B．两个无理数的和不一定是无理数，故原说法错误，是假命题；
C．体积为8的正方体，边长是2，故原说法错误，是假命题；
D．两条平行线直线被第三条直线所截，内错角相等，故原说法错误，是假命题；
故选：A．
7．C
【分析】根据“8×人数＝物品价值；7×人数＝物品价值”，可得方程组．
【详解】设共有个人，该物品价格是元，
∵每人出8元，多3元，
∴；
∵每人出7元，少4元，
∴
根据题意得：
故选：C
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组把“未知”转化为“已知”的重要方法是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系是解本题的关键．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．勾股定理解得出，勾股定理解即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴在中，，
∵，
在中，（），
故选：D．
9．B
【分析】设长方形纸片的长为x，宽为y，根据题意列方程组解答即可.
【详解】设长方形纸片的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得：，
∴﹣2x=﹣，x+y=，
∴点B的坐标为(﹣，).
故选：B.
【点睛】此题考查几何图形类二元一次方程组的实际应用，正确理解图形中线段的大小关系列得方程组是解题的关键.
10．B
【分析】此题考查了学生对问题简单处理的能力；直接求是求不出的，所以要将半圆展开，利用已学的知识来解决这个问题．滑行的距离最短，即是沿着的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，、、三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，写出和的长，根据题意，写出勾股定理等式，代入数据即可得出的距离．
【详解】将半圆面展开可得：
米，米，
在中，米，
即滑行的最短距离为米，
故选∶B．
11．
【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
12．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数求解即可．
【详解】解：一个正数的两个平方根分别是与，
所以，，
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的性质，解题关键是明确一个正数的两个平方根互为相反数．
13．##
【分析】根据勾股定理的逆定理得出，设，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】设，
，，，
∴，
，即，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式以及一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．根据题意求出的坐标，从而求出的解析式，再将两个解析式联立，即可得到答案．
【详解】解：当时，代入，
，
，
轴于点B，
，
设，
将代入，解得，
故，
要使1号和2号无人机在同一高度，即，
，
解得．
故答案为：．
15．
【分析】过点作于点，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出，，由折叠的性质得：，，得出，证出，得出又由勾股定理得利用面积法构造一元一次方程，即可得出结果．
【详解】解：过点作于点，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，，
由折叠的性质得：，，，
∴
∴
∴
∴
设点到的距离为，则
即
解得：；
故答案为．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的运算法则计算即可；
（2）先将二次根式化简再进行计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．先解二元一次方程组，再代数求值．
【详解】解：，
①②得：，
解得，
将代入①式，解得，
．
18．(1)见解析
(2)
(3)；
【分析】本题主要考查坐标与图形，熟练掌握关于坐标轴对称图形的画法，关于坐标轴对称的两点坐标关系，两点之间线段最短和勾股定理是解题的关键．
（1）分别找出关于y轴时称的点，画出图形即可；
（2）根据x轴对称的点的坐标写出答案即可；
（3）作点关于x轴对称的点的坐标，连接，的值最小值为的长；设的解析式为：，求出解析式，令，即可得到答案．
【详解】（1）解：分别找出关于y轴对称的点，画出图形即可；
（2）解：x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标变成相反数，
故点B关于x轴对称的点的坐标为；
（3）解：作点关于x轴对称的点的坐标，连接，
故的值最小值为的长，
，故的最小值为，
，，
设的解析式为：，
故，
解得，
的解析式为：，
令，故，
点Q的坐标为．
19．(1)，9，
(2)（2）
(3)估计八年级进入决赛的学生共有150人．
【分析】本题考查统计表，中位数、众数，样本估计总体，掌握数据整理的方法，中位数、众数是正确解答的前提．
（1）根据众数，中位数的概念可求出a，b的值，用优秀的人数除以总人数即可求出优秀率；
（2）根据题意得到小明的初赛成绩大于所在班级的中位数，然后结合小明的成绩是9分，八年级（1）班中位数是9，八年级（2）班的中位数求解即可；
（3）用总数500乘以满分所占的百分比求解即可．
【详解】（1）八年级（1）班抽取的学生的初赛成绩中9的个数最多，
∴八年级（1）班抽取的学生成绩的众数；
八年级（1）班抽取的学生成绩的优秀率；
八年级（2）班抽取的学生的初赛成绩第5个和第6个数为9和10
∴中位数；
（2）∵小明的初赛成绩比一半同学的初赛成绩要好
∴小明的初赛成绩大于所在班级的中位数，
∵小明的成绩是9分，八年级（1）班中位数是9，八年级（2）班的中位数，
∴小明是八年级（2）班的学生；
（3）（人），
∴估计八年级进入决赛的学生共有150人．
20．(1)购买一副羽毛球拍120元，一副乒乓球拍90元
(2)有两种购买方案：①购买3副羽毛球拍，则购买乒乓球拍5副；②购买6副羽毛球拍，则购买乒乓球拍1副
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和二元一次方程的解，解题的关键是根据等量关系列出方程．
（1）设购买一副羽毛球拍x元，一副乒乓球拍y元，由购买2副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需费用330元；购买5副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需费用780元，可得出方程组，解出即可．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍b副，根据购买足球和篮球的总费用等于810元建立方程，求出其整数解即可．
【详解】（1）解：设购买一副羽毛球拍x元，一副乒乓球拍y元，根据题意得：
，
解得，，
答：购买一副羽毛球拍120元，一副乒乓球拍90元
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍b副，根据题意得，
，
整理得，
∵且a，b为整数，
∴或，
所以，有两种购买方案：①购买3副羽毛球拍，则购买乒乓球拍5副；②购买6副羽毛球拍，则购买乒乓球拍1副．
21．（1）见解析；（），；
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（2）根据表格中的数据猜想得，即可求解．
（3）根据角平分线的定义得到，，再根据“字型”得到，，两等式相减得到，即可得证．
【详解】（）证明：在中，，
在中，，
∵，
∴；
（）解：由表格可得，
当时，有，
当时，有，
∴，
解得，
由此猜想，
故答案为：，；
（3）证明：∵、分别平分、，
∴，
由（）得，①，②，
由，得：，
∴，
【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，一元一次方程的应用，探究规律，解题的关键是灵活运用字型求解．
22．B；；
【分析】本题主要考查了一待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图形，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．
（1）将点代入函数解析式，即可得到答案；
（2）令，消去即可得到答案．
（3）证明，设，将用含的式子表示，设，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：将代入函数，
，成立，故在函数图象上，选项A不符合题意；
将代入函数，
，不成立，故不在函数图象上，选项B符合题意；
将代入函数，
，成立，故在函数图象上，选项C不符合题意；
将代入函数，
，成立，故在函数图象上，选项D不符合题意；
故选B；
（2）令，
消去得：，
故解析式为：；
（3）根据题意作图像，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
设，
，
消去得：．
