2023年云南省中考数学真题变式题21-24题
1．蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元．
(1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格；
(2)若该景区需要购买两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
2．冬季来临，某电器店开始销售A、B两种型号的取暖器，A型取暖器每台元，B型取暖器每台元．若两周内共销售台，这两周的销售额为元，A、B两种型号的取暖器分别销售了多少台？（请用二元一次方程组的知识解答）
3．某种商品的进价为元，出售时标价是元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于，那么该店最多降价多少元出售该商品？
4．某批发商欲将一批水产品委托货运公司由地运往地销售，已知、两地相距，货运车辆的平均速度是，货运公司的收费项目及收费标准如下表：
运输量单价（元/吨千米） 冷藏费单价（元/吨时） 过路过桥费（元）
(1)若该批发商有水产品要运输，货运公司收取的总费用为元，写出与之间的函数表达式．
(2)如果该批发商想运送水产品，支付运费元，货运公司愿意运送这批水产品吗？
5．截至年末，云南已建成基站万个，信息能力实现跃升．时代的到来，将给人们的生活带来巨大改变．现从云南某信息技术有限公司得知两种型号手机的进价和售价如下表所示：
型号 进价（元/台） 售价（元/台）
某营业厅按进价购进一批两种型号手机共花费了元，按售价销售完后共获得利润元．
（1）该营业厅购进两种型号手机各多少台？
（2）若该营业厅再次按进价购进两种型号手机共台，售价不变，且购进的型号手机的数量不少于购进的型号手机数量的一半，请你帮该营业厅设计一个方案：购进两种型号手机各多少台时，销售完获得的利润最大？最大利润是多少？
6．2023年中考越来越近，班主任李老师打算在中考结束当天送班上每个同学一束花，李老师打算去斗南购买向日葵和香槟玫瑰组合的鲜花．已知买2支向日葵和1支香槟玫瑰共需花费14元，3支香槟玫瑰的价格比2支向日葵的价格多2元．
(1)求买一支向日葵和一支香槟玫瑰各需多少元？
(2)李老师准备每束花需向日葵和香槟玫瑰共15支，且向日葵的数量不少于6支，班上总共40个学生，设购买所有的鲜花所需费用为w元，每束花有香槟玫瑰x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，并写出最少费用．
7．为推进我省“绿美家园”建设步伐，某小区决定对小区广场进行改造，在广场周边种植景观树，通过市场调查，3棵甲景观树与1棵乙景观树种植费用为570元；1棵甲景观树与2棵乙景观树种植费用为390元．
(1)甲、乙两种景观树每棵种植费用分别为多少元？
(2)如果小区计划购进两种景观树共60棵，且甲景观树数量不低于乙景观树数量的一半，设购进甲景观树x棵，种植总费用为y元，写出y关于x的函数关系式，并求出最少种植费用．
8．鲜花饼是一款以云南特有的食用玫瑰花人料的酥饼，是以“花味，云南味”为特色的云南经典点心代表．某网购平台准备购买A、B两种鲜花饼进行销售，如果分别用2000元购买A、B两种鲜花饼，则购买A种鲜花饼的数量比购买B种鲜花饼的数量少20千克，已知B种鲜花饼的单价为A种鲜花饼单价的．
(1)求A、B两种鲜花饼的单价．
(2)该网购平台计划购买A、B两种鲜花饼共90千克，总费用不多于2000元，并且要求A种鲜花饼数量不能低于30千克，那么应如何安排购买方案才能使总费用最少，最少费用应为多少元？
9．为了绿化校园，红星校区计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．共花费265元（两次购进的A、B两种花草单价均分别相同）．
(1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
(2)若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
10．“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少
11．某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆）
甲种 16 1200 900
乙种 12 1000 750
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
12．如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，的面积等于，求平行线与间的距离．
13．如图，在，，平分交于点O，交的延长线于点E，连接．求证：四边形是菱形；
14．如图，在中，平分．求证：四边形是菱形．
15．如图，已知点在的边上，交于，交于，平分，求证：四边形为菱形．
16．如图，在中，，是中点，连接．分别过点，点作，，交点为．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
17．如图，点F在的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若BE=5，AD=8，∠CBE=30°，求AC的长．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分，点E为AD边中点，过点E作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F．
(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；
(2)若，，求AC的长．
19．如图，在四边形纸片ABCD中，，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点处，折痕DE交BC于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，，请直接写出四边形的面积．
20．如图，在中，对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC交于点E、O、F．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若，，求四边形AFCE的面积．
21．如图，是的对角线，且，、分别是边、的中线．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，则点E、F之间的距离为_____．
22．如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．
(1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，求常数的值．
23．如图，是的直径，D是的延长线上一点，点C在上，，交的延长线于点E，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的直径．
24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，且DC=AC．
(1)求证：DC为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，CD=4，求BC的长．
25．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，CD平分∠ACB与⊙O交于另一点D，过点D的直线EF平行于BA，E，F分别是CB，CA与直线EF的交点．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AC＝3，BC＝，求BE的长．
26．如图，在中，，以为直径的交于点，点在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
27．如图，，以为直径的，与交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
28．如图所示，AB是ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC=∠D．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若点E是OA的中点，CF平分∠ACB，设BD=18，求DE的长．
29．如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若AB＝3PA，求的值．
30．如图，中，，，点O在上，以O为圆心，为半径画⊙O，分别与边相交于点，垂足分别为E、D．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)设，求的长（用含m的代数式表示）．
31．如图1，是的直径，点是上的点，其中为劣弧的中点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，过点作于点，交于点，若，求的值．
32．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．
(1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
(2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．
33．已知二次函数
(1)求二次函数图像的对称轴；
(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图像经过，，，四点，请判断a，b，c，d的大小，并说明理由．
34．已知二次函数．
（1）求证：二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）若二次函数的图象与x轴的一个交点为原点，求方程的解．
35．已知二次函数y=x2+mx+m2 3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2 3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
36．已知抛物线经过点，顶点坐标为，设r为抛物线与轴的交点的横坐标，．
(1)求，，的值；
(2)试判断与0的大小关系，并证明你的结论．
37．已知关于x的二次函数．
(1)求证：不论为任何实数，方程总有实数根；
(2)若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试求此抛物线的解析式；
(3)若点与在（2）中抛物线上（点，不重合），且，求代数式的值．
38．已知抛物线经过点．
(1)求a的值；
(2)若抛物线与y轴的公共点为，抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由；
(3)当时，设二次函数的最大值为M，最小值为N，若，求m的值．
39．已知抛物线，其中．
(1)求证：该抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
(2)如图，设抛物线与轴的交点为，（点在点的左边），与轴的交点为，已知点，直线交抛物线于另一点，连接，过点作轴，交于．
①请直接写出，，的坐标（可用含的式子表示）；
②求证：当变化时，线段的长度恒为定值．
40．已知关于x的方程．
(1)求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
(2)若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试求此抛物线的解析式；
(3)若点与在（2）中抛物线上（点P、Q不重合），且，求代数式的值．
41．已知抛物线y＝ax2+3ax+c(a≠0)与y轴交于点A
(1)若a＞0
①当a=1，c=－1，求该抛物线与x轴交点坐标；
②点P(m，n)在二次函数抛物线y＝ax2+3ax+c的图象上，且n－c＞0，试求m的取值范围；
(2)若抛物线恒在x轴下方，且符合条件的整数a只有三个，求实数c的最小值；
(3)若点A的坐标是(0，1)，当－2c＜x＜c时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元
(2)当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元．
【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案；
（2）根据购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，列出一元一次不等式，得出种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取种型号帐篷数量的最大值时总费用最少，从而得出答案．
【详解】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元．
根据题意列方程组为：，
解得，
答：每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元．
（2）解：设种型号帐篷购买顶，总费用为元，则种型号帐篷为顶，
由题意得，
其中，得，
故当种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为，
答：当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出准确的等量关系及不等关系是解题的关键．
2．A型取暖器销售了台，B型取暖器销售了台．
【分析】设A型取暖器销售了x台，B型取暖器销售了y台，根据两周内共销售台，销售收入元列方程组求解即可．
【详解】解：设A型取暖器销售了x台，B型取暖器销售了y台，
解得：
答：A型取暖器销售了台，B型取暖器销售了台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；解题的关键是找等量关系，然后列出方程组，正确求解．
3．该店最多降价元出售该商品
【分析】根据，设降价元，则现在售价为，即可求解．
【详解】解：设降价元，则现在售价为，
∴，解得，，
∴该店最多降价元出售该商品．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的运用，理解题意，找出数量关系，列出不等式是解题的关键．
4．(1)
(2)愿意
【分析】（1）先计算出行驶时间，然后把运输费用、冷藏费用和过路过桥费用加起来即可求解．
（2）根据（1）中表达式，当时，计算出费用，然后与1500进行比较后进行判定即可．
【详解】（1）解：货运车辆行驶时间：（小时），
与之间的函数表达式为：．
（2）当时，，
，
货运公司愿意运送这批水产品．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用实际问题列一次函数关系式，并运用一次函数研究实际问题．
5．（1）设营业厅购进型号的手机6台，购进型号的手机4台；（2）当购进型手机10台，则购进型手机20台时，销售利润最大，最大值为．
【分析】（1）设营业厅购进两种型号手机分别为台，根据题意中的等量关系，列二元一次方程组解决问题；
（2）设购进型手机台，则购进型手机台，销售利润为，列出函数表达式，根据一次函数的性质确定最大值．
【详解】（1）设营业厅购进两种型号手机分别为台，根据题意，得：
，
解得：．
答：设营业厅购进型号的手机6台，购进型号的手机4台．
（2）设购进型手机台，则购进型手机台，销售利润为，根据题意得：
，
，
解得，
，
当时，．
，
当购进型手机10台，则购进型手机20台时，销售利润最大，最大值为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．(1)一支向日葵需5元，一支香槟玫瑰需4元
(2)每束花有香槟玫瑰9支，向日葵6支，总的购买费用最少为2640元
【分析】（1）设一支向日葵需a元，一支香槟玫瑰需b元，然后根据题意可列方程组进行求解；
（2）由题意可知，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设一支向日葵需a元，一支香槟玫瑰需b元，
由题可得：，解得：．
答：一支向日葵需5元，一支香槟玫瑰需4元．
（2）解：由题可知：，
∵，
∴，
∵，w随x的增大而减少，
当时，，
∴（支）．
答：每束花有香槟玫瑰9支，向日葵6支，总的购买费用最少为2640元．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是理解题意．
7．(1)甲、乙两种景观树每棵种植费用分别为150元，120元
(2)，当甲景观树种植数量为20棵时，种植费用最少，最少种植费用为7800元
【分析】（1）设甲、乙两种景观树每棵种植费用分别为m元，n元，根据“3棵甲景观树与1棵乙景观树种植费用为570元；1棵甲景观树与2棵乙景观树种植费用为390元”，列出方程组，即可求解；
（2）先求出x的取值范围，再列出y关于x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设甲、乙两种景观树每棵种植费用分别为m元，n元．
根据题意，得，
解得：．
答：甲、乙两种景观树每棵种植费用分别为150元，120元．
（2）解：由题意，得，
解得．
由题意得，
y关于x的函数关系式为，
整理得：．
∵，
∴y随x的增大而增大．
∴当甲景观树种植数量为20棵时，种植费用最少，最少种植费用为元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
8．(1)A、B两种鲜花饼的单价分别为25元/千克和20元/千克
(2)A种鲜花饼购进30千克，B种鲜花饼购进60千克，总费用最少为1950元
【分析】（1）设A种鲜花饼的价格为x元/千克，则B种鲜花饼的价格为元/千克，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设购买A种鲜花饼m千克，B种鲜花饼千克，总费用w元．先根据题意列出一元一次不等式求得的取值范围，进而根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设A种鲜花饼的价格为x元/千克，则B种鲜花饼的价格为元/千克．
依题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
则．
答：A、B两种鲜花饼的单价分别为25元/千克和20元/千克．
（2）设购买A种鲜花饼m千克，B种鲜花饼千克，总费用w元．
根据题意，得，
解得．
∵，
∴m的取值范围为．
总费用，
∵，∴w随着m的增大而增大，
∴当时，总费用最少，（元），
∴A种鲜花饼购进30千克，B种鲜花饼购进60千克，总费用最少为1950元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程、不等式以及一次函数的解析式是解题的关键．
9．(1)A，两种花草价格分别为元和元
(2)费用最省的方案为购买A种花草棵，购买种花草棵，花费最少为元．
【分析】（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，两次共花费265元；列出方程组，即可解答．
（2）设A种花草的数量为a株，则B种花草的数量为（31-a）株，根据B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，得出a的范围，设总费用为z元，根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论．
【详解】（1）解：设A，两种花草每棵的价格分别为元和元．
由题意得，
解得：，
答：A，两种花草价格分别为元和元．
（2）解：设购买A种花草棵，则购买种花草为棵，
由题意得，且为整数，
解得：且为整数，
由（）可知，A的价格为元/棵，的价格为元/棵，
设费用为，
则，
由一次函数的性质可得：随的增大而增大，
∴当取最小整数时，最小值为：，
答：费用最省的方案为购买A种花草棵，购买种花草棵，花费最少为元．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，列不等式组解最省方案，一次函数及其性质，掌握列二元一次方程组解应用题，列不等式组解最省方案，一次函数及其性质是解题关键．
10．（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；（3）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元．
【分析】（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，然后根据题意可得，进而求解即可；
（2）由（1）及题意可得购进乙种农机具为（10-m）件，则可列不等式组为，然后求解即可；
（3）设购买农机具所需资金为w万元，则由（2）可得，然后结合一次函数的性质及（2）可直接进行求解．
【详解】解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，由题意得：
，
解得：，
答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元．
（2）由题意得：购进乙种农机具为（10-m）件，
∴，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的值为5、6、7，
∴共有三种购买方案：
购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；．
（3）设购买农机具所需资金为w万元，则由（2）可得，
∵1＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=5时，w的值最小，最小值为w=5+5=10，
答：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元．
【点睛】本题主要考查一次函数、二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，熟练掌握一次函数、二元一次方程组及一元一次不等式组的应用是解题的关键．
11．(1)甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆
(2)①；②t＝4时，w最小＝22 700元
【分析】（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意列一元一次方程即可求解；
（2）①根据表格信息列出w与t之间的函数解析式；
②根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可．
【详解】（1）（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意，得
16x＋12（24－x）＝328．
解得x＝10．
∴24－x＝24－10＝14．
答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆．
（2）①．
②
∵50>0，
∴w随t的减小而减小．
∴当t＝4时，w最小＝50×4＋22500＝22700（元）．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键．
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证，再证，从而四边形是平行四边形，又，于是四边形是菱形；
（2）连接，先求得，再证，，于是有，得，再证，从而根据面积公式即可求得．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于，
∴，
∴平行线与间的距离．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键．
13．见解析
【分析】先根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，再根据等腰三角形的等角对等边证得，证明四边形是平行四边形，进而根据菱形的判定可证得结论．
【详解】证明：∵中，．
∴．
∵平分，
∴，则．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查菱形的判定、平行四边形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解答的关键．
14．见解析
【分析】根据平行四边形性质得出，再结合平分线即可得出，进而得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
【点睛】此题考查平行四边形性质和菱形的判定定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
15．证明见解析
【分析】先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论．
【详解】证明：，，
四边形是平行四边形，，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证出是解此题的关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线的性质可得，即可得证；
（2）过点作于点，解直角三角形求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：过点作于点，如图所示，
则，
∵，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形为菱形是解题的关键．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意证明四边形是平行四边形，根据，结合已知条件∠ABF=∠FBC+∠FCB，可得，进而可得，可得，即可得证；
（2）过点B作BH⊥AC于点H，分别求得，在中，勾股定理求得，根据即可求解．
【详解】（1）证明：由题意可得：，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：过点B作BH⊥AC于点H，如图所示：
由（1）得：四边形是菱形，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
18．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据平行线性质得∠DAC=∠ACB，根据角平分线定义得∠DAC=∠BAC，进而得出∠BCA=∠BAC，推出BA=BC，最后证得结果；
（2）连接BD，根据平行四边形的判定证明四边形EFBD是平行四边形，再求得BC及的值，最后求得AC的长．
【详解】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AC平分，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BCA=∠BAC，
∴BA=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）连接BD，
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DE∥BF，
∵AC⊥EF，
∴EF∥BD，
∴四边形EFBD是平行四边形，∠OBC=∠F，
∴DE=BF=2，
∵点E为AD边中点，
∴AD=4，
∴BC=AD=4，
∵，∠OBC=∠F，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的性质及判定、等腰三角形的判定及性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定及性质．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意，又，可得，证明，可得CD=CE，则四边相等，可得四边形是菱形；
（2）由题意易证明，又，可得，可得四边形为平行四边形，如图，过作于，再利用锐角三角函数求解，从而可得面积．
【详解】（1）证明：依题意
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴四边形是菱形．
（2）∵，
∴，又，
∴， 又，可得．
∴四边形为平行四边形．
如图，过作于，
∵四边形为菱形，，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，锐角三角函数的应用，熟练的证明四边形是菱形是解本题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证△AOE≌△COF，得OE=OF，从而得证四边形AFCE为平行四边形，再由线段垂直平分线性质得AE=CE，即可由菱形的判定定理得出结论；
（2）解直角△COF求出OF长，利用菱形性质求出EF长，即可由菱形的面积公式：菱形面积等于对角线乘积的一半求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，EA=EC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EA=EC，
∴平行四边形AFCE是菱形；
（2）解：由（1）四边形AFCE是菱形，
∴EF=2OF=2OE，OC=AC=×10=5，
∵AC⊥EF，
∴∠COF=90°，
∴sin∠OCF=，
∴设OF=3k,则CF=5k，
由勾股定理，得
(5k)2=(3k)2+52,
解得：k=,
∴OF=3k=，
∴EF=2OF=,
∴S菱形ADCE=ACEF=××10=，
答：四边形AFCE的面积为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
21．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据平行四边形的性质及中点的性质，可得DF与BE既平行又相等，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形DEFB是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线的性质可得平行四边形的一组邻边相等，从而得要证的结论；
（2）由BD⊥BC，AB=9，得BD=AB×sinA=6，从而由勾股定理可得AD=，根据中点性质可证四边形ADFE是平行四边形，故有EF=AD，从而得结论．
【详解】（1）∵E、F分别为边、的中点，
∴，．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴，．
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴．
∴为直角三角形．
∴．
∴四边形DEBF是菱形．
（2）如图，∵E、F分别为边、的中点，
∴，．
∵四边形是平行四边形，
∴，∥ ．
∴，．
∴四边形为平行四边形．
∴．
∵BD⊥BC，
∴AD⊥BD．
在Rt△ABD中，，AB=9，
∴．
∴由勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形斜边上中线的性质等知识，求EF的长关键是证明四边形ADFE是平行四边形，转化为求AD的长．
22．(1)与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）与相切，理由如下：连接，先证得，又证，进而有，于是即可得与相切；
（2）先求得，再证，得，从而有，又，即可得解．
【详解】（1）解：与相切，理由如下：
连接，
∵是的直径，直线与垂直，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与相切；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴
∵，
∴．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定，勾股定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定以及勾股定理等知识是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)的直径是
【分析】（1）连接，得到，由推导，得以解题；
（2）由题可以得到，然后利用解直角三角形求出的长解题即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
则．
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
在中，由，得
．
∴．
即的直径是．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)BC=8．
【分析】（1）连接OD，根据题意可知∠A+∠ABC=90°．根据等边对等角可得∠ABC=∠ODB，∠A=∠ADC，即得出∠ODB+∠ADC=90°，从而可求出∠ODC=90°，即证明CD是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理即可求出OC的长，从而即可求出BC的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，即∠ABC=∠ODB．
∵DC=AC，
∴∠A=∠ADC，
∴∠ODB+∠ADC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD⊥OD．
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）在Rt△ODC中，OD=3，CD=4，
∴
∴BC=OB+OC=3+5=8．
【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质以及勾股定理．连接常用的辅助线是解题关键．
25．(1)证明见解析；
(2)2．
【分析】（1）连接OD，由AB为的直径，可得 ∠ACB=90°，根据CD平分∠ACB，得出∠BCD=∠ACD=45°，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BOD=2∠BCD=90°，进而推出 OD⊥EF，再运用切线的判定定理即可；
(2)连接BD，AD，OD，利用勾股定理可求得:AB=2，BD=AD=，再由△EDB≌△DCA，即可求得答案.
【详解】（1）
证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB
∴∠BCD＝∠ACD＝45°，
∵∠BOD＝2∠BCD＝90°，
∵BA∥EF，
∴∠ODF＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）
解：连接BD，AD，
∵∠BOD＝∠AOD＝90°，
∵AC＝3，BC＝，
∴在Rt△ACB中，AB＝，
∴OD＝，
∴在Rt△BOD和Rt△AOD中，BD＝AD＝，
∵BA∥EF，
∴∠EDB＝∠DBA，∠DEB＝∠ABC，
而∠DCA＝∠DBA，∠CDA＝∠ABC，
∴∠EDB＝∠DCA，∠DEB＝∠CDA，
∴△EDB∽△DCA，
∴．即：，
∴BE＝2．
【点睛】本题考查了圆的性质，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线是解题关键。
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理得出，按照等腰三角形的性质和已知的倍角关系，证明为直角即可；
（2）通过证得，根据相似三角形的性质即可求得．
【详解】（1）解：如图，连接，，
是直径，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
又是的半径
是的切线；
（2），，
，
，
，
设，则，
，
，，
，
，即
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．
27．(1)见解析
(2)20
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质以及，可得，从而得到，进而得到，即可；
（2）根据勾股定理求出的长，再由，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
．
，
，
，
．
，
，
∵为半径，
是的切线．
（2）解：，
，
∵，
∴．
，
，
，即，
∴，
即的半径为20．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
28．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，再根据DGBC，证出∠DBE=90°，即可得答案；
（2）由CF平分∠ACB，得，证出AB⊥BD，OFBD，得△EOF∽△EDB，由相似三角形的性质，求出BE的长，最后根据勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：如图1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DGBC，
∴∠AGE=∠ACB=90°，
∴∠A+∠AEG=90°，
又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，
∴∠D+∠DEB=90°，
∴∠DBE=90°，
∴AB⊥BD，且AB为直径
∴BD与⊙O相切；
（2）如图2，连接OF，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴，
∴∠AOF＝∠BOF＝90°，
∴OF⊥AB，
又∵AB⊥BD，
∴OFBD，
∴△EOF∽△EDB，
∴，
∵点E是OA的中点，
∴OE=AO
∴，
∴，
∴OF=6
∴OA=OB=OF=6
∴BE=OE+OB=3+6=9
∴．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，解题的关键是证三角形相似．
29．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OC，由可得，可证明△PAC∽△PCB，再根据相似三角形的性质可得∠PCA＝∠B，然后根据圆周角定理可知∠ACB＝90°，则∠CAB+∠B＝90°，由OA＝OC可知∠CAB＝∠OCA，等量代换可知，即OC⊥PC，即可得出结论；
（2）由AB＝3PA可得PB＝4PA，，则有，再根据勾股定理计算，然后根据相似三角形的性质可得出的值．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵，
∴，
∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴∠PCA＝∠B，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝3PA，
∴PB＝4PA，，，
∵OC⊥PC，
∴，
∵△PAC∽△PCB，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、切线的判定、圆周角定理以及勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握圆周角定理即相似三角形的判定等知识的综合运用．
30．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，则，得，再由得，则，得，于是，可证明是的切线；
（2）作于点，则，得，推得，则，于是有，再证明，推得，即可求出用含的代数式表示的式子．
【详解】（1）解：证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
于点，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）如图，作于点，
，
，
，，于点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
31．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据为劣弧的中点，则，根据，得，即可得出， ，则，即可得证
（2）连接，设，则，在中，由勾股定理可得，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴．
∵为劣弧的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，连接，
∵，，
设，则，
∴，
∴．
在中，，由勾股定理可得
，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
32．(1)见解析
(2)或或或
【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可；
（2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可．
【详解】（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得，
∴一次函数与轴的交点为；
当时，，函数为二次函数，
∵，
∴
，
∴当时，与轴总有交点，
∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）解：当时，不符合题意，
当时，对于函数，
令，则，
∴，
∴或
∴或，
∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，
∴或或或或或或或，
解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去），
∴或或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键．
33．(1)；
(2)当时，；当时，，见解析．
【分析】（1）结合解析式，根据求得对称轴；
（2）当时，抛物线开口向上，根据对称性，点离对称轴越远（点的横坐标与对称轴的差的绝对值越大），函数值越大；当时，抛物线开口向下，根据对称性，点离对称轴越远（点的横坐标与对称轴的差的绝对值越大），函数值越小进行比较即可．
【详解】（1）解：（1）∵，
∴二次函数图像的对称轴为直线．
（2）由（1）得抛物线对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，
，
．
当时，抛物线开口向下，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，增减性，对称性；熟练掌握二次函数图像性质是阶解题的关键．
34．（1）证明见解析；（2），．
【分析】（1）令，求得方程的判别式，根据，进而证明二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）将代入，求得，进而代入原方程，解一元二次方程即可
【详解】（1）证明：令，则
∵，
∴二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）解：由条件可得：，解得：，
∴方程为：，
解得：，，
∴方程的解为，．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与一元二次方程的关系，掌握以上知识是解题的关键．
35．(1)m=1
(2)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析．
【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2 3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2 3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2 3，
即m2+2m 3=0，
解得：m1=1，m2= 3，
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x 2，
∵Δ=b2 4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x 2的图象与x轴有两个交点．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
36．(1)，，
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据抛物线经过求出值，再根据顶点坐标即可求出和值．
（2）根据已知条件推出，从而得到分子为，再利用将分母变形为，从而求出与零的大小．
【详解】（1）解：将，代入得，
．
．
．
故答案为：，，．
（2）解：，理由如下：
由（1）得，r为抛物线与轴的交点的横坐标，
令，则，
，
，
的分子：，
的分母：
∴，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数与轴交点．解题的关键是找出有关的方程，利用整体思想进行式子变形．
37．(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用根的判别式进行判断即可．
（2）令，则求出两根，再根据抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，求出值即可．
（3）点与点在抛物线上，求出和，和相等，求出，然后整体代入求出代数式即可．
【详解】（1）由题可知，
∵，
∴此方程总有实数根．
综上，不论为任何实数时，方程总有实数根．
（2）解：令，则，
解得，
因为抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，
所以，
所以抛物线为．
（3）解：因为若点与在抛物线上，
∴，，
∴，
即
因为点，不重合，
所以，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握方程与函数之间的联系是解题的关键．
38．(1)
(2)抛物线与x轴有公共点，公共点的坐标为
(3)或
【分析】（1）将点代入抛物线，求解即可；
（2）先根据抛物线与y轴的公共点为，求出m的值，继而写出抛物线解析式，再根据根的判别式进行求解即可；
（3）先写出对称轴为直线，分类讨论，当时，即，当时，即，当时，即，分别计算出最大值和最小值，利用，代入计算即可．
【详解】（1）解：将点代入抛物线，
得，
解得；
（2）抛物线与x轴有公共点，理由如下：
抛物线与y轴的公共点为，
，
解得，
抛物线解析式为，
，
抛物线与x轴有1个公共点，
令，解得，
公共点的坐标为；
（3）由题意得，抛物线的解析式为，
对称轴为直线，
①当时，即，
开口向下，当时，y随x的增大而减小，
当时，有最大值为，
当时，有最小值为，
，即，
解得，不合题意，舍去；
②当时，即，
若与直线更接近时，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
，即，
解得或（不合题意，舍去）；
若与直线更接近时，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
，即，
解得或（不合题意，舍去）；
③当时，即，
开口向下，当时，y随x的增大而增大，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
，即，
解得，不合题意，舍去；
综上，m的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值问题，熟练运用这些知识点是解题的关键．
39．(1)见解析
(2)① ；②见解析
【分析】（1）只需证明△即可；
（2）①令，解方程可求、点坐标，令，可求点坐标；②先求出直线的解析式，再求直线与抛物线的交点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，即可求点坐标，由于，即可得到为定值．
【详解】（1）证明：，
△，
，
△，
该抛物线与轴恒有两个不同的交点；
（2）①解：令，则，
或，
点在点的左边，，
，，
令，则，
；
②证明：设直线的解析式为，
，
，
，
联立方程组，
，
是方程的一个根，
方程的另一个根为，
，，
设直线的解析式为，
，
，
，
轴，交于，
，
，
当变化时，线段的长度恒为定值1．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．
40．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）分别讨论当和的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；
（2）令，则，求出两根，再根据抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，求出的值；
（3）点与在抛物线上，求出和，和相等，求出，然后整体代入求出代数式的值；
【详解】（1）证明：当时，原方程化为，此时方程有实数根，
当时，原方程为一元二次方程，
∵，
∴此时方程有两个实数根，
综上，不论为任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：∵令，则，
解得，
∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：∵点与在抛物线上，
∴，，
∵，
∴，
可得，
即 ，
∵点P，Q不重合，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合题的知识，解题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难度不大，第三问需要整体代入．
41．(1)①，，，②m>0或m<－3
(2)-9
(3)或或
【分析】（1）当，时，，令时，求解方程的解即可；②将P(m，n)代入y＝ax2+3ax+c中，要使n－c＞0，即可得，解出不等式即可；
（2）根据抛物线恒在x轴下方，可得，求出a的取值范围，根据符合条件的整数a只有三个，判断并求出c的取值范围，从而求出c的最小值；
（3）根据点A的坐标得到抛物线解析式为，然后根据－2c＜x＜c时，抛物线与x轴只有一个公共点，分三种情况：①当时，②当时，③当时，进行分类讨论求出符合题意的a的取值范围.
【详解】（1）解：①当，时，
，
当时，，
解得：，，
抛物线与轴的交点坐标，，，；
②，，
，
，
解得：或；
（2）解：∵抛物线恒在x轴下方，
，解得：，
∵符合条件的整数a只有三个，
，
解得：，
的最小值为，
（3）解：∵点A的坐标是(0，1)，
，
，
又∵当时，抛物线与x轴只有一个公共点，
当时，，
当时，，
①当时，
，解得：，
或者，无解
②当时，
，无解，
或者，解得：，
③当时，解得：，
此时，，
令时，则，解得：，
，
符合题意，
综合上述可知：a的取值范围为：或或.
【点睛】此题主要考查的是函数图象与x轴的交点问题，在x的取值范围内，根据交点个数进行分类讨论，从而求出a的取值范围．
答案第1页，共2页
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