2024年九年级上册期末模拟测试
一．选择题
1．下列事件中，随机事件是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上 B．如果，那么
C．对于实数a， D．两直线平行，同位角相等
2．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．设一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．3
5．关于二次函数y=-(x+2)2-1，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向下 B．图象顶点坐标是(-2，-1)
C．当x＞0时，y随x增大而减小 D．图象与x轴有两个交点
6．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
7．抛物线上有三个点，那么的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．往一个圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若截面圆的直径是，水面宽，则水的最大深度是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC中，∠BAC=30°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点CD，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是( )
A．30° B．45° C．50° D．60°
10．对称轴为直线的抛物线(为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题
11．点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．一个不透明的袋中装有若干个红球和10个白球， 摇匀后每次随机从袋中摸出一个球， 记下颜色后放回袋中， 通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中红球约为 个．
13．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，则经过 s后，飞机停止滑行．
14．已知圆锥的底面半径为40cm， 母线长为90cm， 则它的侧面展开图的圆心角为 ．
15．如图，四边形是边长为的正方形，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为 ．
16．如图，已知，点M在的垂直平分线上，以点M为圆心，为半径作，点C是上的一个动点，且位于上方，连接，点D是的中点，连接．下列说法：①；②；③线段的最大值为；④当点C在优弧上运动时，点D的运动轨迹长度为．其中正确的是 ．（请填写序号）
三．解答题
17．解方程：.
18．如图，已知的三个顶点坐标分别为，，，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与关于原点对称的图形，并写出点对应点的坐标．
19．如图，抛物线的图象与x轴交于点A，，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若当，取得最大值时，求m的值．
20．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
21．甲、乙两个口袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片所标有的三个数值分别为，4，，乙袋中的三张卡片所标的数值为，3，5．
(1)小明在乙袋中随机抽取一张卡片，他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率是 ．
(2)小红先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出的卡片上的数值，把x，y分别作为点A的横坐标和纵坐标．请用列举法写出点的所有情况，并求点A在第二象限的概率．
22．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。设每天销售量为y本，销售单价为x元．
(1)请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
23．如图，已知是的直径，C是上的点，点D在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据随机事件、实数的意义、等式的性质及平行线的性质可进行求解．
【详解】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，属于随机事件，故符合题意；
B、如果，那么，属于必然事件，故不符合题意；
C、对于实数a，，属于不可能事件，故不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，属于必然事件，故符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查随机事件、实数的意义、等式的性质及平行线的性质，熟练掌握随机事件、实数的意义、等式的性质及平行线的性质是解题的关键．
2．C
【分析】根据根的判别式小于零列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键，当时，，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
3．D
【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
【详解】解：抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为，即，
故选：D．
【点睛】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
4．A
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：
根据根与系数的关系得，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值，若，是一元二次方程的两根，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
5．D
【分析】由二次函数的图像和性质直接判断即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴函数图像开口向下，故选项A说法正确，不符合题意；
由函数解析式可知顶点坐标是，故选项B说法正确，不符合题意；
由函数性质可知当时，y随x的增大而减小，故选项C的说法正确，不符合题意；
∵方程 无实数解，
∴图像与x轴无交点，故选项D说法错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．C
【分析】连接OA，OE，由圆的内接正多边形先得到中心角的度数，再由圆周角定理即可求得∠ADE的度数．
【详解】
如上图所示，连接OA，OE
∵五边形ABCDE是正五边形
∴
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形及圆周角定理，熟练掌握相关角度的计算方法是解决本题的关键．
7．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式可得二次函数的开口方向以及对称轴，从而得出抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小，由此即可出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，
抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小，
，
，
故选：D．
8．B
【分析】连接，过点O作，交于点D，由题意易得，，然后根据勾股定理可求，进而问题可求解．
【详解】解：连接，过点O作，交于点D，交圆O于C，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
∴水的最大深度为；
故选B．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
9．D
【分析】根据旋转的性质得出AD=AC，∠DAE=∠BAC=30°，求出∠DAE=∠CAE=30°，再求出∠DAC的度数即可．
【详解】∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC=30°，
∴AD=AC，∠DAE=∠BAC=30°，
∵AE垂直平分CD于点F，
∴∠DAE=∠CAE=30°，
∴∠DAC=30°+30°=60°，
即旋转角度数是60°，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和旋转的性质，能求出∠DAE=∠CAE=30°是解此题的关键．
10．A
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥．
【详解】解：①由图象可知：，
∵对称轴为直线：，
∴，
∴，故①错误；
②∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∴，故②正确；
③∵对称轴为直线，则与的函数值相等，
∴当时，，故③错误；
④当时，，
∴，故④正确；
⑤当时，取到最小值，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故⑤正确，
⑥当时，y随的增大而减小，故⑥错误，
综上，正确的是②④⑤共3个，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．
11．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．
12．15
【分析】根据口袋中有10个白球，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可.
【详解】∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，口袋中有10个白球
假设有x个红球，
则
解得：x=15
∴口袋中有红球约为15个
故答案为：15
【点睛】本题主要考查利用频率估计随机事件的概率，根据已知白球的频率得出与试验比例应该相等是解题关键．
13．25
【分析】要求飞机从滑行到停止的路程，即求出函数取最大值时，t的值即可，因此将函数化为顶点式即可．
【详解】解：
所以当t=25时，该函数有最大值625
即第25秒时，飞机滑行最大距离625m停下来，
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键．
14．
【分析】圆锥的底面半径为40cm，则底面圆的周长是80πcm，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm，母线长为90cm即侧面展开图的扇形的半径长是90cm．根据弧长公式即可计算．
【详解】根据弧长的公式l=得到：
80π=，
解得n=160度．
侧面展开图的圆心角为160度．
故答案为160°．
15．
【分析】连接，由四边形是边长为的正方形得到，，过点B作轴于D，则，,，得到点B的坐标为，代入解析式即可得到a的值．
【详解】如图，连接，
∵四边形是边长为的正方形，
∴，，
过点B作轴于D，
∵与x轴正半轴的夹角为，
∴，
∴,,
∴点B的坐标为，
∵点B在抛物线的图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质、含角直角三角形的性质、勾股定理、待定系数法等知识，求出点B的坐标是解题的关键．
16．①②④
【分析】根据三角形中位线定理判断①；由圆周角定理及垂径定理即可判断②；利用勾股定理及圆周角定理可判断③；根据弧长公式及运动轨迹即可判断④．
【详解】解：①∵，D为的中点，
∴，，故①正确；
②连接，
，以点 M 为圆心，为半径作⊙M，
，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③
最大，即最大，
当为的直径时最大，
由②得：，
∴，
∴直径为，
∴，故③错误；
④当点 C 在上运动时，点D在以的长为直径的⊙E上的上运动，
连接，如图，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
则点D的运动路径长，故④正确
综上所述，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形中位线定理和等腰三角形的性质，准确判断点D的轨迹是解题的关键．
17．，.
【分析】将方程左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【详解】
∴或
∴，
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
18．画图见解析，点对应点
【分析】根据题意作出与关于原点对称的对称点，顺次连接得到，根据关于原点对称的点的坐标的关系即可求点对应点．
【详解】解：如图所示，即为所求，
点对应点
【点睛】本题考查了画中心对称图形，掌握关于原点对称的点的坐标的关系是解题的关键．
19．(1)
(2)1
【分析】（1）根据待定系数法可进行求解；
（2）根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：把点，代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为，则有抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，抛物线有最大值，即为；
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；
（2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程，
∴
∵
，
∴此方程总有两个实数根；
（2）∵
∵
∴
解得:，
∵方程有一个根小于1，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
21．(1)
(2)；
【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意，列举出点的所有情况，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率为；
故答案为：
（2）解：根据题意点的所有情况有：，
一共有9种等可能结果，其中点A在第二象限的有4种，
所以点A在第二象限的概率为．
【点睛】本题考查了列举法：通过列举法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
22．(1)
(2)将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大，最大利润2640元．
【分析】（1）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式；
（2）借助（1）中的解析式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【详解】（1）解：由题意得：，
每本进价40元，且获利不高于，
即最高价为52元，即，
故：，
，
（2）解：，
当时，随的增大而增大，
而，所以当时，有最大值，最大值为2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大，最大利润2640元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题的关键是掌握最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，可得，由于是的直径，可得，从而得到，即可；
（2）设的半径为r，则，由于，可得到，，再求出，分别计算的面积以及扇形的面积即可求出阴影部分面积．
【详解】（1）证明∶如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）设的半径为r，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
过点O作于点E，
∴，
∴，
∵，
∴阴影部分面积为．
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
