第二十八章锐角三角函数 单元练习 2023-2024学年人教版数学九年级下册
一、单选题
1．已知在中，，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠A=90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值（ ）
A．扩大2倍； B．缩小2倍； C．扩大4倍； D．大小不变 ．
3．如图，从山下乘缆车上电缆绳与水平方向成32°的夹角，已知缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到山顶B需16分钟，则山的高度BC为（ ）
A．800·sin32°米 B．米 C．800·tan32°米 D．米
4．如图是一张高脚木凳， ，点 是 的三等分点，已知 与 之间的距离为 ，则椅脚 的长度为（ ）cm
A． B． C． D．
5．如图，两栋大楼相距100米，从甲楼顶部看乙楼的仰角为26°，若甲楼高为36米，则乙楼的高度为 （ ）
A．（36+100sin26°）米 B．（36+100tan26°）米
C．（36+100cos26°）米 D．（36+）米
6．如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高为6m，为，改造后扶梯的坡比是，则改造后扶梯相比改造前增加的长度是（ ）
A．6m B．m
C．m D．m
7．东莞市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，操控者和教学楼BC的距离为60米，则教学楼BC的高度是（ ）米．
A． B． C． D．
8．如图，点是等边内一点，，，，若将绕着点逆时针旋转后得到．则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．计算：tan60°﹣cos30°= .
10．一个立方体木箱沿斜面下滑，木箱下滑至如图所示位置时，AB＝3m.已知木箱高BE＝2m，tan∠BAC＝0.5，则木箱端点E距地面AC高度为 m.
11．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP= 海里．
12．如图是以的边为直径的半圆，点恰好在半圆上，过作于．已知，则的长为 ．
13．如图，半径为 的⊙ 与边长为 的等边三角形 的两边 、 都相切，连接 ，则 .
三、解答题
14．计算： ．
15．如图，某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面的倾斜角由45°降为30°，如果改动前电梯的坡面AB长为12米，点D、B、C在同一水平地面上．求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．（结果精确到0.1，参考数据： ）
16．如图，利用一幢已知高度的楼房CD（楼高为20m），来测量一幢高楼AB的高在DB上选取观测点E、F，从E测得楼房CD和高楼AB的顶部C、A的仰角分别为58°、45°.从F测得C，A的仰角分别为22°，70°.求楼AB的高度（精确到1m）（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75）
17．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线.已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为120米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为25°（参考值：，，）
（1）求乙山处到河边的垂直距离；
（2）求河的宽度.（结果保留整数）
18．“垃圾入桶，保护环境从我做起”，如图所示的是某款垃圾桶侧面展示图，，，桶盖可以绕点G逆时针方向旋转，当旋转角为时，桶盖落在的位置．
（1）求在桶盖旋转过程中，点C运动轨迹的长度．
（2）求点到地面的距离．（参考数据：）
参考答案：
1．C
2．D
3．A
4．C
5．B
6．D
7．C
8．D
9．
10．
11．7
12．
13．
14．解：原式
．
15．解：依题意，在 中， ，∴AD= ∴BD=AD= 在 中， ∴∴ = ≈6×2.45-6×1.41≈6.2.答：改动后电梯水平宽度增加部分约6.2米.
16．解：在Rt△CED中，∠CED=58°，
∵tan58°= ，
∴DE= = ，
在Rt△CFD中，∠CFD=22°，
∵tan22°= ，
∴DF= = ，
∴EF=DF-DE= - ，
同理：EF=BE-BF= - ，
∴ - = - ，
解得：AB≈59（米），
答：建筑物AB的高度约为59米。
17．（1）解：如图，过B作于点F，
∵乙山的坡比为，
∴，
设米，则米，
∴（米），
又米，
∴，
∴，
∴米，
答：乙山B处到河边的垂直距离为360米；
（2）解：过A作于点E，过A作于点H，则四边形为矩形，
，
∴米，，
∴（米），
∵从B处看A处的俯角为，
∴，
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，由勾股定理得：（米），
由（1）可知，米，
∴（米），
答：河的宽度约为195米.
18．（1）解：如图，连接，由旋转知点C，都在以G为圆心，为半径的圆上，则点C运动轨的长度为弧的长．
在中，，
∴，
∴弧的长度为，
故点C运动轨迹的长度为；
（2）解：如图，过点作，垂足为点M，交于点N，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，∴，
∴
答：点到地面AB的距离约为82.8cm
