2023-2024学年第一学期安徽省黄山市九年级数学期末模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
3. 一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4 .如图，在⊙中，半径于点H，若，则∠ABC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
5 .如图，过反比例函数y（x＞0）图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y（x＞0）于点B，连接OA、OB．若，则k的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3
6 . 如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（ ）
A．65 B．75 C．85 D．130
7 .小名同学在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，用钢珠来测量零件上小孔的直径，、假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，
如图所示，则这个小孔的直径是（ ）毫米．
A．6 B． C． D．8
8. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A． B．
C． D．
如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于，两点，与轴相交于点，
对称轴为直线，且，则下列结论：
①；②；
③；④关于的方程 有一个根为．
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．）
11. 已知，则的值为 ．
12 .在一个不透明的袋中装有2个黑色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外都相同，
每次摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，
发现摸到红色小球的频率稳定于0.8，则可估计这个袋中红色小球的个数约为．
13 .如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到△，
连接．若，则______．
14 . 如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，
连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，
连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于．
三、（本大题共2小题，每小题8你，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．）
15. 计算：
(1)
(2)
如图，已知，，，求的长．
【答案】
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．）
17．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，
随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：
A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人．
（2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图．
（3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．
已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，
求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率．
某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，
该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，
设这种健身球每天的销售利润为w元．
(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是个；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．）
如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，
量得托板长，支撑板长，底座长，
托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．
如图2，若．
(参考数值，，)
(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
20. 如图，的弦，的延长线交于点P，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，．求的长．
六、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．）
21 .如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图像直接写出不等式时的解集．
七、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．）
22. ．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点、不重合），过点作轴于点，
交于点，过点作，垂足为．求线段的最大值；
(3)已知为抛物线对称轴上一动点，若是直角三角形，求出点的坐标．
八、（本大题满分14分．请在答题卷的相应区域答题．）
23. 【发现问题】
如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，
易得线段和的数量关系是______．
(2)将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；
②图2中的度数是______．
（3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，
，，，直线和直线交于点，
分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．2023-2024学年第一学期安徽省黄山市九年级数学期末模拟试卷解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】C
【详解】已知sinA=，设BC=4x，AB=5x，
又因AC2+BC2=AB2，
即62+（4x）2=（5x）2，
解得：x=2或x=﹣2（舍），
所以BC=4x=8cm，
故选：C．
3. 一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意画出树状图，由概率公式即可得两次都摸到红球的概率．
【详解】解：画出树状图：
根据树状图可知：所有等可能的结果共有6种，其中两次都摸到红球的有2种，
∴两次都摸到红球的概率是＝；
故选：D．
4 .如图，在⊙中，半径于点H，若，则∠ABC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】根据垂直求出∠AHO=90°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠AOC，根据圆周角定理得出∠ABC=∠AOC，代入求出答案即可．
【详解】解：∵OC⊥AB，
∴∠AHO=90°，
∵∠OAB=40°，
∴∠AOC=90°-∠OAB=90°-40°=50°，
∴∠ABC=∠AOC=×50°=25°，
故选：B．
5 .如图，过反比例函数y（x＞0）图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y（x＞0）于点B，连接OA、OB．若，则k的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3
【答案】A
【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出S△AOC，再求出S△BOC，进而求出k的值即可．
【详解】解：∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且AB∥y轴，
∴S△AOC=×|2|=1，
又∵S△AOB=3，
∴S△BOC=3-1=2，
∴|k|=2，
而k＜0，
∴k=-4，
故选：A．
6 . 如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（ ）
A．65 B．75 C．85 D．130
【答案】C
【分析】根据平行可知∠DAB=180°－95°=85°，故旋转了85°．
【详解】∵DE∥AB，
∴∠DAB＝180°－∠D，
∵∠D=∠B=180°－20°－65°=95°，
∴∠DAB=180°－95°=85°，
∴n=85°，
故选：C．
7 .小名同学在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，用钢珠来测量零件上小孔的直径，、假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，
如图所示，则这个小孔的直径是（ ）毫米．
A．6 B． C． D．8
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．设钢珠的圆心为O，过O作于C，交优弧于D，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理可计算出，即可得到这个小孔的直径．
【详解】解：如图，
设钢珠的圆心为O，过O作于C，交优弧于D，
则， ，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故选B．
8. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．
【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴，
∴（cm），
故选：C．
如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
【答案】B
【分析】由求出的值，由求出的值，
对计算求解即可．
【详解】解：∵
∴米
∵
∴米
∴米
故选B．
如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于，两点，与轴相交于点，
对称轴为直线，且，则下列结论：
①；②；
③；④关于的方程 有一个根为．
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y＞0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把- 代入方程整理可得ac2-bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．
【详解】解： 由图象开口向下，可知a＜0， 与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x=2，
所以＞0，
所以b＞0，
∴abc＞0，
故①正确；
由图象可知当x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
故②错误；
由图象可知OA＜1，
∵OA=OC，
∴OC＜1，即-c＜1，
∴c＞-1，
故③正确；
假设方程的一个根为x= ，
把x=代入方程可得，
整理可得ac-b+1=0，
两边同时乘c可得ac2-bc+c=0，
即方程有一个根为x=-c，
由②可知-c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=-c是方程的根，即假设成立，
故④正确； 综上可知正确的结论有三个，
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．）
11. 已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可．
【详解】解：设，
∴，，
∴=，
故答案为：．
12 .在一个不透明的袋中装有2个黑色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外都相同，
每次摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，
发现摸到红色小球的频率稳定于0.8，则可估计这个袋中红色小球的个数约为．
【答案】8
【分析】根据频率估计摸到红球的概率，可以得到摸到黑球概率，从而可以求得总的球数，可以得到红球的个数．
【详解】解：由题意可得摸到红球的概率为0.8
∴摸到黑球的概率为1－0.8=0.2
∴总的球数为2÷0.2=10（个）
∴红球有：10－2=8（个）
故答案为：8．
13 .如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到△，
连接．若，则______．
【答案】50
【解析】
【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．
【详解】解：绕点逆时针旋转到△的位置，
，，
，
//，
，
，
，
，
故答案为50．
14 . 如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，
连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，
连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于．
【答案】
【分析】根据折叠可得四边形ABNM是正方形，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，可求出三角形FNC的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，可得三边的比为3：4：5，设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，通过PG=HN，列方程解方程，进而求出PF的长，从而可求PE的长．
【详解】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：
四边形ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5， CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，
∴NC=MD=8-5=3，
在中，
∴MF=5-4=1，
在中，设EF=x，则ME=3-x，
由勾股定理得， ，
解得：，
∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠CFN=∠FPG，
又∵∠FGP=∠CNF=90°
∴，
∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，
设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，
四边形ABNM是正方形，
∴GN=PH=BH=4-3m，HN=5-（4-3m）=1+3m=PG=4m，
解得：m=1，
∴PF=5m=5，
∴PE=PF+FE=，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8你，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．）
15. 计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据特殊三角函数值的混合运算即可求解；
（2）根据特殊三角函数值的混合运算即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
如图，已知，，，求的长．
【答案】
【分析】根据两个角对应相等的两个三角形相似证明，得出，然后代入数据计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．）
17．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，
随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：
A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人．
（2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图．
（3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．
已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，
求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率．
解：（1）本次调查的学生共有：16÷20%＝80（人），
故答案为：80；
(2)被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有：80﹣8﹣16﹣24＝32（人），
补全的条形统计图如下所示：
把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，
2名九年级学生记为丙、丁，根据题意，画树状图如下：
共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，
∴九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率为：．
某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，
该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，
设这种健身球每天的销售利润为w元．
(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是个；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元
【分析】（1）在中，令，进行计算即可得；
（2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；
（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．
【详解】（1）解：在中，令得，，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，，
即w与x之间的函数关系式为：；
（3）解：，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为，
即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．）
如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，
量得托板长，支撑板长，底座长，
托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．
如图2，若．
(参考数值，，)
(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】(1)点C到直线的距离约为13.8cm
(2)点A到直线的距离约为21.5cm
【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答；
（2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N
由题意可知，，
在中， ，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
20. 如图，的弦，的延长线交于点P，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，．求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质证明，再根据两个角对应相等的两个三角形相似，即可证明结论；
（2）根据相似三角形的性质得出，代入数据求出，再根据线段之间的关系即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
六、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．）
21 .如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图像直接写出不等式时的解集．
【答案】(1)
(2)6
(3)或
【分析】（1）先把代入求解反比例函数解析式，再求解A的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）先求解C的坐标，再利用，从而可得答案.
（3）由可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，结合函数图象可得答案.
【详解】（1）解：把代入得：
所以反比例函数的解析式为：
把代入得
把代入得：
解得：
所以一次函数的解析式为：
（2）解：为
令 则 即
（3）解：由可得：
一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
所以：或
七、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．）
22. ．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点、不重合），过点作轴于点，
交于点，过点作，垂足为．求线段的最大值；
(3)已知为抛物线对称轴上一动点，若是直角三角形，求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值，最大值是
(3)点的坐标为，，，
【分析】（1）由抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，设抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入即可得y＝﹣x2+2x+3；
（2）由B（3，0），C（0，3），可推得△DEM是等腰直角三角形，DM＝DE，设直线BC为y＝kx+b，用待定系数法可得直线BC为y＝﹣x+3，设D（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），即得DE＝﹣m2+3m，由二次函数性质可得线段DM的最大值；
（3）设P（1，t），可得PB2＝（1﹣3）2+t2＝4+t2，PC2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2＝1+（t﹣3）2，BC2＝18，分三种情况：①PC为斜边时，②PB为斜边时，③BC为斜边时，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，
∴设抛物线解析式为，
将点坐标代入，得：，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）解：设直线的函数解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得，
∴，
设，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
又∵，
在中，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值是；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
设P（1，t），而B（3，0），C（0，3），
∴PB2＝（1﹣3）2+t2＝4+t2，PC2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2＝1+（t﹣3）2，BC2＝18，
①当是斜边时，，解得：；
②当是斜边时，，解得：；
③当是斜边时，，
整理，得：，解得：，
故点的坐标为：，，，
八、（本大题满分14分．请在答题卷的相应区域答题．）
23. 【发现问题】
如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，
易得线段和的数量关系是______．
(2)将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；
②图2中的度数是______．
（3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，
，，，直线和直线交于点，
分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①，证明见解析；②；
(3)度，，理由见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求解；
（2）①由“SAS”可证，可得；
②由全等三角形的性质可得，即可解决问题．
（3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）如图2中，
①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴（SAS），
∴；
②∵，
∴，
设交于点．
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）结论：，．
理由：如图3中，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
