编者小注：
本套专辑为浙江地区2023学年第一学期期末考试研发。
7-8年级（满分100分制），分基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合75-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。
9年级（满分120分制），分基础卷（适合90分以下学生使用）、提升卷（适合90-110分学生使用）、满分卷（适合110分以上学生使用）。
易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
来源为近两年浙教版数学教材使用地期末原题，包含详细解析。
所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。
（提升卷）2023-2024学年浙教版数学八年级上学期期末临考押题卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题2分，共20分)
1．已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为2cm/s，终点都是点．若，则的面积与运动时间之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示为的目标是（ ）
A．目标A B．目标C C．目标E D．目标F
4．若正整数a既使得关于x一元一次方程有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（ ）
A．4 B．3 C．0 D．8
5．下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ）
A．内错角相等 B．若，则
C．对顶角相等 D．等腰三角形两底角相等
6．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．17 B．13 C．13或17 D．以上答案均不对
7．如图，，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，过点作，于点，若，则的长为( )
A． B． C． D．
8．如图，中，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、．四块阴影部分的面积如图所示分别记为、、、若，则等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
9．已知两个非负实数满足，，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题2分，共16分)
11．如图，在的边上取点，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是6，则的长是 ．
12．和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为 ．
13．若方程组的解是（m为常数），方程组的解x、y满足，则m的取值范围为 ．
14．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ．
15．已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（-4，-3），B（0，-3），C（-2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为S1 S2（填“＜”、“＞”、“＝”）．
16．在画一次函数的图象时，小雯同学列表如下，其中“”表示的数为
17．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．探究：当 时，是等腰三角形？
18．在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点连接，则的最小值为 ．
三、解答题(共64分)
19．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）线段表示赛跑过程中___________的路程与时间的关系（填“乌龟”和“兔子”）．赛跑的全程是_______米．
（2）兔子在起初每分钟跑________米，乌龟每分钟爬_______米．
（3）兔子醒来，以750米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
20．（1）解不等式：．
（2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
21．为打造“书香校园”，学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
(1)请问符合题意的组建方案有哪几种
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低 最低费用是多少元
22．如图，在平面直角坐标系中，
(1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出点坐标；
(2)将向右平移6个单位得，画出；
(3)求与重叠部分的面积．
23．某校计划为足球兴趣小组重新购买A、B两种足球．经调研得知：购买1个A型足球和2个B型足球共需800元，购买3个A型足球和2个B型足球共需1200元．
(1)求每个A型足球和B型足球各多少元；
(2)若该学校准备购买A、B两种足球共20个（每种至少买一个）；要求总费用不超过5000元，则对购买A型足球在数量上有什么要求？说明理由．
(3)在（2）的条件下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两种足球，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买A型足球按原价80%收费，B型足球不优惠；在乙店购买A型足球不优惠，但购买B型足球按原价80%收费；则学校到哪家商店购买足球花费少？
24．已知为等边三角形，为中线，延长至E，使，连结．
(1)求证：；
(2)求的长．
25．如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，试求的长．
26．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，另一直线：经过点C，且与y轴交于点D．
(1)求点C的坐标和b的值；
(2)如图2，点P为y轴上一动点，将沿直线翻折得到．
①当点P为线段上一动点时，设线段交线段于点F，求与的面积相等时，点P的坐标；
②当点E落在x轴上时，求点E的坐标及的面积．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者小注：
本套专辑为浙江地区2023学年第一学期期末考试研发。
7-8年级（满分100分制），分基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合75-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。
9年级（满分120分制），分基础卷（适合90分以下学生使用）、提升卷（适合90-110分学生使用）、满分卷（适合110分以上学生使用）。
易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
来源为近两年浙教版数学教材使用地期末原题，包含详细解析。
所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。
（提升卷）2023-2024学年浙教版数学八年级上学期期末临考押题卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题2分，共20分)
1．已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，，得出，再逐项分析即可得到答案．
【详解】解：，
同号，
，
，
A.在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
B.在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
C.在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
D.在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练判断的正负是解题的关键．
2．如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为2cm/s，终点都是点．若，则的面积与运动时间之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当时，；当时，，结合图形，即可求解．
【详解】解：当时，如图，
∴，，
∴，此时抛物线开口向上．
当时，如图，
∴，，
∵，四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴
，此时抛物线的开口向下．
综上，选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．
3．如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示为的目标是（ ）
A．目标A B．目标C C．目标E D．目标F
【答案】B
【分析】本题考查了坐标位置的确定，根据位置的表示方法，第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数写出即可．
【详解】∵目标B用表示，目标D用表示，
∴第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数，
∴表示为的目标是：C．
故选：B．
4．若正整数a既使得关于x一元一次方程有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（ ）
A．4 B．3 C．0 D．8
【答案】A
【分析】根据题意，求出方程和不等式组的解集，然后求出a的取值范围，即可求出答案．
【详解】解：∵，
解得：，
∵关于x一元一次方程有正整数解，
∴，
解得：，且是2的倍数；
又∵是正整数，
∴，且是2的倍数；
∵，
解得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
∴满足题意的a的值有：、
所有满足条件的正整数a的值之和为：
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集和一元一次方程组的整数解，正确掌握解方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
5．下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ）
A．内错角相等 B．若，则
C．对顶角相等 D．等腰三角形两底角相等
【答案】D
【分析】先写出各命题的逆命题，再逐一判断真假即可．
【详解】解：A、逆命题是：相等的角是内错角，
相等的角不一定是内错角，
逆命题是假命题，不符合题意，选项错误；
B、逆命题是：若，则，
，且，
逆命题是假命题，不符合题意，选项错误；
C、逆命题是：相等的角是对顶角，
相等的角不一定是对顶角，
逆命题是假命题，不符合题意，选项错误；
D、逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角性，是真命题，符合题意，选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理，正确写出原命题的逆命题，并熟练掌握相关定理是解题关键．
6．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．17 B．13 C．13或17 D．以上答案均不对
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握基本概念，先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分x是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∵以x，y的值为两边长的等腰三角形，
∴若以x的值为腰长则有：构不成三角形，故排除，
∴等腰三角形的腰长为7，底边长为3，故此三角形的周长为：．
故选：A．
7．如图，，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，过点作，于点，若，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了基本作图，过点作于，如图，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到接着证明，然后利用含°角的直角三角形三边的关系得到的长，从而得到的长．
【详解】解：过点作于，如图，
由作法得平分，则，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
在中，
∵，
∴．
故选：A
8．如图，中，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、．四块阴影部分的面积如图所示分别记为、、、若，则等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【分析】如图所示，过点E作于K，连接，设交于T，交于L，先证明得到，再证明得到，，进一步证明，得到，，进而推出，证明，从而推出，则E、M、N三点共线，，证明，得到，同理可证明，得到，则．
【详解】解：如图所示，过点E作于K，连接，设交于T，交于L，
由题意得，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴E、M、N三点共线，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可证明，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．已知两个非负实数满足，，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用整式的加法法则以及不等式的性质进行求解即可．
【详解】解：，，
由得：，故A选项错误，不符合题意；
由①得：，
将代入②得：，
整理得：，故B选项错误，不符合题意；
为非负实数，
，，故C选项错误，不符合题意；
，
，
，
，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减、不等式的性质，熟练掌握整式的加减运算法则以及不等式的性质是解题的关键．
10．如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求得， 取点，连接，证明，即可推导，即有，因为，即当共线时，的值最小；利用待定系数法求出直线的解析式，即可获得答案．
【详解】解：对于直线：，
当时，可有，
当时，可有，解得，
∴，
又∵，
∴，
如下图，取点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为线段的长，
即当共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
将点代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点，
∴当的值最小时，点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图像上的点的特征、待定系数法求一次函数解析式、最短路径、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用相关知识，并学会构建全等三角形解决问题．
二、填空题(每小题2分，共16分)
11．如图，在的边上取点，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是6，则的长是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，作于，于，于，连接，由角平分线的性质结合的面积是2可得，再由的面积是6可得，从而得到，计算即可得到答案．
【详解】解：如图，作于，于，于，连接，
，
平分，，，
，
同理可得：，
，
，的面积是2，
，
，
，
的面积是6，
，
，
，
故答案为：8．
12．和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，分、都在三角形内部，、有一个在三角形外部两种情况，再证明 进行求解是解题的关键．
【详解】解：若、都在三角形内部，如图1所示，
∵、分别为、边的高，
∴，都为直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴；
若、有一个在三角形外部，如图2所示，
∵、分别为、边的高，
∴，都为直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
综上，的度数为或，
故答案为：或．
13．若方程组的解是（m为常数），方程组的解x、y满足，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先将转化为与已知的方程组联合起来代数求出和的值即可．
【详解】方程组，
可转换为，
∵方程组的解集为，
∴方程组的解为：，
由②-①得：，，
把代入①得：，
∴，
∴，
故答案为：m>2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入法是解题的关键．
14．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解出每个不等式的解集，再根据关于的一元一次不等式组无解，即可得到的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵关于的一元一次不等式组无解，
∴，
解得，
故答案为：．
15．已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（-4，-3），B（0，-3），C（-2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为S1 S2（填“＜”、“＞”、“＝”）．
【答案】=
【分析】原来点的横坐标是0，纵坐标是-3，向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点的横坐标是0+2＝2，纵坐标为-3+4＝1．那么原三角形的面积是：．新三角形的面积为：．则两个三角形面积相等．
【详解】解：，将B点平移后得到的点的坐标为(2，1)．
所以此时．
∴两三角形的面积相等，即．
故答案为：=．
【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键在于由平移知识得到对应点之间的线段即平移距离．
16．在画一次函数的图象时，小雯同学列表如下，其中“”表示的数为
【答案】
【分析】结合表格，利用待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出当时的函数值即可．
【详解】解：有表格可知：直线过点，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴“”表示的数为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查求一次函数的函数值．解题的关键是正确的求出一次函数解析式．
17．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．探究：当 时，是等腰三角形？
【答案】或或
【分析】先求出，，，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.
【详解】和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌（SAS），
，
，
，，，
当时，
，，
垂直平分，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
故答案为：或或．
【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.
18．在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，进而可得点所在直线的函数关系式，然后根据勾股定理求解即可解决问题．
【详解】解：作轴于点，轴于，
，
，
，
在和△中，
，
△，
，，
设，
，，
，
，，
设点，，
则，
整理，得：，
则点，在直线上，
设直线与x轴，y轴的交点分别为E、F，
如图，当时，取得最小值，
令，则，
解得，
∴，
令，则，
∴，
在中，，
当时，则，
∴，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换－旋转，勾股定理，表示出点的坐标以及点所在直线的函数关系式是解题的关键．
三、解答题(共64分)
19．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）线段表示赛跑过程中___________的路程与时间的关系（填“乌龟”和“兔子”）．赛跑的全程是_______米．
（2）兔子在起初每分钟跑________米，乌龟每分钟爬_______米．
（3）兔子醒来，以750米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
【答案】（1）乌龟、1500；（2）600，50；（3）28.8
【分析】（1）利用乌龟始终运动，中间没有停留，进而得出线段OD的意义和全程的距离；
（2）根据图象中点A、D实际意义可得速度；
（3）用兔子所花的总时间 兔子跑步的时间=兔子睡觉的时间，列式求解可得答案．
【详解】解：（1）∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻；
∴线段表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系；
由图象可知：赛跑的路程为1500米；
故答案为：乌龟、1500；
（2）结合图象得出：兔子在起初每分钟跑600米．
1500÷30＝50（米），
∴乌龟每分钟爬50米，
故答案是：600，50；
（3）30＋1 1 （1500 600）÷750＝28.8（分钟），
∴兔子中间停下睡觉用了28.8分钟．
【点睛】本题考查了函数图象，理解两个函数图象的交点表示的意义，从函数图象准确获取信息是解题的关键．
20．（1）解不等式：．
（2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2），作图见解析．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，
（1）按照解一元一次不等式的步骤求解即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【详解】解：（1），
移项得，，
合并同类项得，，
把x的系数化为1得，；
（2），
由①得，，
由②得，，
故不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
．
21．为打造“书香校园”，学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
(1)请问符合题意的组建方案有哪几种
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低 最低费用是多少元
【答案】(1)有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个
(2)方案一费用最低，最低费用是22320元
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一次函数的实际应用，解答本题的关键是正确找到题目中的不等关系，列不等式组求得方案的个数．
（1）设组建中型图书角个，则组建小型图书角为个．根据不等关系：科技类书籍不超过1900本；人文类书籍不超过1620本．列不等式组，进行求解；
（2）此题有两种方法：方法一：因为总个数是不变的，所以费用少的越多，总费用越少；方法二：分别计算（1）中方案的价钱，再进一步比较．
【详解】（1）解：设组建中型图书角个，则组建小型图书角为个．
由题意，得
解这个不等式组，得
由于只能取整数，
∴的取值是．
当时，；
当时，；
当时，．
故有三种组建方案：
方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；
方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；
方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．
（2）方法一：令总费用为w，则，
∴当取最小值18时，总费用最低，最低费用是元．
∴组建中型图书角18个，小型图书角12个，总费用最低，最低费用是22320元．
方法二：方案一的费用是：(元)；
方案二的费用是：(元)；
方案三的费用是：(元)．
故方案一费用最低，最低费用是22320元．
22．如图，在平面直角坐标系中，
(1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出点坐标；
(2)将向右平移6个单位得，画出；
(3)求与重叠部分的面积．
【答案】(1)作图见解析，，，．
(2)作图见解析．
(3)．
【分析】（1）先找到，，，再顺次连接即可得到，再写出点，，的坐标即可；
（2）根据向右平移6个单位，画出对应的点，再顺次连接即可；
（3）由图可知：与交点是它们的三等分点，与交点是它们的三等分点，故阴影部分面积为三角形的的2倍，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
，，．
（2）将向右平移6个单位长度，得到，如图：
则，，．
（3）如图，连接，由网格特点可知，M是的三等分点，
∴，，
∴，
同理：
∴．
【点睛】本题考查作图—轴对称变换和平移变换，割补法求三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换，轴对称变换的性质，找出对应点的位置，属于中考常考题型．
23．某校计划为足球兴趣小组重新购买A、B两种足球．经调研得知：购买1个A型足球和2个B型足球共需800元，购买3个A型足球和2个B型足球共需1200元．
(1)求每个A型足球和B型足球各多少元；
(2)若该学校准备购买A、B两种足球共20个（每种至少买一个）；要求总费用不超过5000元，则对购买A型足球在数量上有什么要求？说明理由．
(3)在（2）的条件下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两种足球，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买A型足球按原价80%收费，B型足球不优惠；在乙店购买A型足球不优惠，但购买B型足球按原价80%收费；则学校到哪家商店购买足球花费少？
【答案】(1)每个A型足球和B型足球各是200元和300元
(2)至少购买A型足球10个，理由见解析
(3)当时选择甲店，当时两家一样，当时选择乙店
【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意；
（1）设A型足球每个x元，B型足球每个y元，然后可根据题意列出方程进行求解即可；
（2）设购买A型足球a个，由题意易得，然后问题可求解；
（3）由题意可得在甲店所需费用：；在乙店所需费用：，然后问题可求解．
【详解】（1）解：设A型足球每个x元，B型足球每个y元，由题意得：
，
解得：。
答：每个A型足球和B型足球各是200元和300元；
（2）解：设购买A型足球a个，由题意得：
，
解得，
答：至少购买A型足球10个；
（3）解：在甲店所需费用：
在乙店所需费用：，
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：；
所以当时选择甲店，当时两家一样，当时选择乙店．
24．已知为等边三角形，为中线，延长至E，使，连结．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)证明详见解析；
(2)．
【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形性质，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出和求出的长；
（1）根据等腰三角形和三角形外角性质求出；
（2）求出，在中，由勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∵为中线，
∴，
，
，
，
，
，
（2）解：∵是中线，，
，
是等边三角形，
，
在中，由勾股定理得：，
即．
25．如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，试求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）利用平行线的性质及判定定理即可求证结论．
（2）利用全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：是边上的中线，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：∵，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
26．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，另一直线：经过点C，且与y轴交于点D．
(1)求点C的坐标和b的值；
(2)如图2，点P为y轴上一动点，将沿直线翻折得到．
①当点P为线段上一动点时，设线段交线段于点F，求与的面积相等时，点P的坐标；
②当点E落在x轴上时，求点E的坐标及的面积．
【答案】(1)C点坐标为，，
(2)①； ②右侧， ；左侧，
【分析】（1）先求出点C的坐标，然后将点C的坐标代入，即可求出b的值；
（2）①先证明，得出P为的中点，再分别求出点B和点D的坐标，根据中点坐标公式，即可得出答案；
②过点C作轴于点G，过点C作轴于点H，求出，，分两种情况进行讨论，E在H右侧时和E在H右侧时，分别求出点E的坐标和的面积即可．
【详解】（1）解：令，则，
∴C点坐标为，
把代入得：，解得：；
（2）解：①由轴对称性质可知：，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴P为的中点，
对于，令，则，
∴，
对于，令，则，
∴，
∴，即 ；
②过点C作轴于点G，过点C作轴于点H，
∵，，
∴在中，由勾股定理得，
故，
∵，
∴，，
∴根据勾股定理可得：；
(Ⅰ)当E在H右侧时，，如图所示：
设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得：，
∴；
(Ⅱ) 当E在H左侧时，，此时点P在原点O，如图所示：
∴．
综上， ，或，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，三角形面积的计算，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，数形结合，并注意分类讨论．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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