期末重难点模拟卷-2023-2024学年数学九年级上册苏教版
一、单选题
1．测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在数据整理时，出现了一处错误，将最高成绩写得更高了，统计过程中不受影响的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
2．以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，圆锥的侧面积为，它的侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的母线l长为（ ）
A．6 B．9 C．3 D．4
6．如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离为3，则的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知一组数据的方差，则这组数据的总和是（ ）
A．1 B．2 C． D．10
8．如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，，则下列结论：①；②；③平分；④；⑤；⑥，其中一定成立的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．在一不透明口袋中装有10个白球若干个黑球，除颜色外其他相同，经过多次实验发现摸白球的频率稳定在附近，则黑球大约有 个．
10．已知且，，则 ．
11．菲菲参加学校举办的“建党周年”主题演讲比赛，她的讲稿内容、语言表达、形象风度、综合印象得分分别为分，分，分，分．若依次按照的百分比确定成绩，则她的成绩是 分．
12．如图，随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ．
13．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为 ．
14．取一张长与宽之比为的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），若设这张长方形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是 ．
15．对某条路线的长度进行了6次测量，得到的结果为（单位：米），，，，，．如果用x作为这条长度的近似值，当 米时．的值最小．
16．如图，在中，，，，则的内切圆半径 ．
17．如图，四边形内接于，是的直径，过C点的切线与的延长线交于P点．若，则的度数为 ．
三、解答题
18．解下列方程：
(1)；
(2)．
19．在一个不透明的袋子中有一个黑球和两个白球（除颜色外其他均相同）．
(1)小丽从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率是__________；
(2)小强第一次从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回；第二次又从袋子中摸出一个球，请用画树状图或列表法求小强两次都摸到白球的概率．
20．已知关于的一元二次方程，其中分别为三边的长．
(1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
(2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．某校为了提升学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“生活中的数学”比赛，现有甲、乙、丙三组进入决赛，评委从建立模型、求解、解释与应用三个方面为各组打分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙、丙三组的各项得分如下表：
组别 建立模型 求解 解释与应用
甲 91 80 78
乙 81 74 85
丙 79 83 90
(1)计算各组的平均成绩，并判断哪个组的平均成绩最高？
(2)如果按照建立模型占，求解占，解释与应用占，计算各组的成绩，请判断哪个组的成绩最高？
22．如图，在中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动．设移动时间为t．（）
(1)填空：____________，____________（用含t的代数式表示）．
(2)当t为何值时，的长为5？
(3)是否存在t的值，使得的面积为4？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
23．如图，等腰的底边交⊙O于点、．
(1)求证：．
(2)连接、，若；，求的半径．
24．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长为多少？
25．如图，是的直径，C、D两点在上，若．
(1)求的度数；
(2)若，求的半径．
参考答案：
1．C
【分析】中位数是数据按照大小顺序排列后，位于这组数据值大小的中间位置，不受极端值的影响．
【详解】由于五个各不相同的数据，统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了．计算结果不受影响的是中位数．
故答案为：C
【点睛】本题主要考查中位数，理解中位数的定义是解题的关键．
2．D
【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案．
【详解】解：A、小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，不符合题意；
B、某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，不符合题意；
C、某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，故选项C错误，不符合题意；
D、小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念和根的判别式，一元二次方程有实数根应满足的条件是：二次项系数不能为0，根的判别式的值应大于或等于0，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，且
解得且，
故选：C
4．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据球队总数×每支球队需赛的场数，就可列出方程．
【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛，
∴方程为
故答案为：B．
5．C
【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵圆锥的侧面积为，它的侧面展开图扇形的圆心角为，圆锥的母线为l，
∴，
解得：，负值舍去，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式．
6．B
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：∵圆心O到的距离为3，
，，
，
，
，
即的半径为5，
故选：B．
7．D
【分析】根据方差的计算公式得出这组数据共有5个，其平均数为2，继而可得答案．
【详解】解：∵数据的方差，
∴这组数据共有5个，其平均数为2，
∴这组数据的总和为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式．
8．C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可判断①；根据三角形内角和定理可判断②；根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得，进而可判断③；根据平行线的性质和垂径定理的推论可判断④；根据结论④和三角形的中位线性质可判断⑤；由于无法得到两个三角形的对应边相等，故可判断⑥．
【详解】解：①∵是的直径，
∴，
∴，故①一定成立；
②和中，，但与不一定相等，
∴与不一定相等，故②不一定成立；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分∠ABD，故③一定成立；
④∵，，
∴，又是半径，为垂足，
∴，故④一定成立；
⑤∵，，
∴是的中位线，
∴，故⑤一定成立；
⑥∵和中，无法判断相等的边，
∴和不一定全等，故⑥不一定成立，
综上，结论一定成立的是①③④⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，平行线的性质，三角形的中位线性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解答的关键．
9．40
【分析】设口袋中黑球有个，利用频率稳定值列分式方程求解，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，口袋中摸到白球的概率为，
设口袋中黑球有个，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
黑球大约有个，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了利用频率估算概率，分式方程的实际应用，解题关键是掌握大量反复试验下频率稳定值即为概率．
10．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．设a，b分别是方程的两个根，再运用根与系数关系求解即可
【详解】解：设a，b分别是方程的两个不等根，
则，
所以
故答案为：
11．
【分析】根据各成绩分配比重进行计算即可；
【详解】解：（分），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数的加权，正确计算是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了列举法求概率，本题随机闭合开关，，中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．
【详解】解：随机闭合开关，，中的两个，可以闭合、；、 ；、三种情况，其中闭合、 或，时，灯泡可以发光，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：圆锥的侧面积．
故答案为：．
14．
【分析】根据题意：设这张长方形纸板的长为厘米，宽为厘米，进而表示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进而得出方程．
【详解】解：设设这张长方形纸板的长为厘米，宽为厘米，根据题意可得：
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键．
15．
【分析】根据方差的定义求解即可．
【详解】解：当时，
的值最小．
故答案为：．
【点睛】此题考查了方差，关键是熟悉方差的计算公式．
16．1
【分析】本题考查了切线长定理，圆的切线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键，首先利用切线的性质证明四边形是正方形，得到，再利用切线长定理得到，，最后由列方程即可求解．
【详解】设的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，
，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，
解得 ．
故答案为：1．
17．/115度
【分析】根据过C点的切线与的延长线交于P点，，连接点C和圆心O，可以求得和的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得的度数，本题得以解决．本题考查切线的性质、圆内接四边形对角互补，解题的关键是连接圆心和切点，构造直角三角形，求出四边形的一个角，找出所求问题需要的条件．
【详解】解：连接，如图所示，
由题意可得，，
，
，
，
∵四边形是圆内接四边形，
，
，
故答案为：．
18．(1)，；
(2)，．
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，
（1）根据配方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）∵，
∴，
∴或，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）小丽从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中小强两次都摸到白球的有4种结果，
∴小强两次都摸到白球的概率为．
【点睛】考查列表法与树状图法，概率的求法；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．
20．(1)等腰三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的判定、等边三角形的性质，解一元二次方程．
（1）把代入方程化简可得，即可得是等腰三角形；
（2）如果是等边三角形，则，代入方程，只留一个字母a，可得，即，解方程即可求解．
【详解】（1）解：是等腰三角形；理由：
∵是方程的根，
∴，
，
，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：是等边三角形时，
，
，可整理为：，
，即，
解得：．
21．(1)甲小组的平均成绩为83分，乙小组的平均成绩为80分，丙小组的平均成绩为84分；丙小组的平均成绩最高；
(2)甲小组的成绩高
【分析】（1）根据算术平均数的定义计算可得；
（2）根据加权平均数的定义计算可得．
【详解】（1）甲小组的平均成绩为（分），
乙小组的平均成绩为（分），
丙小组的平均成绩为（分）；
所以，丙小组的平均成绩最高；
（2）甲小组的平均成绩为（分），
乙小组的平均成绩为（分），
丙小组的平均成绩为（分），
所以甲小组的成绩高．
【点睛】本题主要考查平均数，解题的关键是掌握算术平均数和加权平均数的定义．
22．(1)
(2)当时
(3)存在，
【分析】（1）由动点的运动起点、速度、方向可得，据此即可求解；
（2）在中，利用勾股定理即可求解；
（3）根据即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
∴
故答案为：
（2）解：在中，由勾股定理得：
，解得：
∵
∴当时，；
（3）解：由题意得，
解得：（不合题意，舍去）
∴当，使得的面积为4cm2
【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了勾股定理、一元二次方程．注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解．
23．(1)证明见解析
(2)的半径为．
【分析】（1）过点作于，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，由垂径定理可得，根号线段的和差关系即可得结论；
（2）根据等腰三角形的性质可得，由垂径定理可得，根据含角的直角三角形的性质，利用勾股定理列方程求出的长即可得答案．
【详解】（1）证明：如图，过点作于，
∵等腰的底边交⊙O于点、，
∴，，
∵，
∴，，
∴，即．
（2）解：如（1）中图，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，（负值舍去）
∴的半径为．
【点睛】本题考查垂径定理、等腰三角形“三线合一”的性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧；角所对的直角边等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
24．寸
【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出设圆O的半径的长为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵
∴，
设圆O的半径的长为x，则
∵，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
解得：
所以（寸）．
25．(1)
(2)的半径为5
【分析】本题考查了圆周角定理及推论，直角三角形性质，掌握圆周角定理及推论是解题的关键．
（1）根据圆周角定理可得、，然后根据角的和差即可解答；
（2）根据圆周角定理可得，然后根据直角三角形的性质可得，进而完成解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）解：如图：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为5．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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