八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十九 整式乘法公式的应用
整式乘法公式是解题的重要依据，它可以正用，也可以逆用，变用，递进式的用，还可以与其他公式综合起来用，也可以与几何图形结合用，公式有平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,完全平方公式（a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,下面就灵活应用乘法公式进行归类探讨。
类型一、正用 直接应用公式进行运算
平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式（a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,
【例1-1】运用完全平方公式计算：___________.
【例1-2】填空：；；_______；
发现：两个连续正偶数的平方差一定能被4整除；
论证：设“发现”中的两个正偶数中较小的为（n为正整数），请论证“发现”中的结论；
应用：请将36表示成两个连续正偶数的平方差.
【例1-3】先化简再求值：，其中，.
【例1-4】（1）计算：；
（2）雯雯在计算时，解答过程如下：
…………第一步…………第二步…………第三步
雯雯的解答从第______步开始出错，请写出正确的解题过程.
针对练习1
1、已知，，则的值为( )
A. B. C.2 D.4
2、若，则( )
A.12 B.10 C.8 D.6
3、老师设计了接力游戏，用合作的方式完成运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示.其中自己负责的一步出现错误的是( )
A.只有甲 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙
5、计算：__________.
类型二、公式的推广用
平方差公式推广 (a+b-c)(a+b+c)=(a+b)2-c2,
完全平方公式推广 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
【例2-1】试说明：比4个连续正整数的乘积大1的数一定是某整数的平方．
【例2-2】计算：
针对练习2
1．计算： .
2．
3．已知求a的值.
类型三、公式的反用
反过来：a2-b2= (a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=（a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2
【例3-1】阅读材料：若，求m，n的值．
解：∵，∴
∴，∴，∴．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求a，b的值
(2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足．求的周长．
【例3-2】已知，，则 ．
针对练习3
1．已知，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．已知，那么 ．
3 .已知，满足，则 ．
4 .〖我阅读〗阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下：
∵，由，得；
∴代数式的最小值是4．
〖我解答〗爱思考的聪聪同学分别编制了如下两个习题，请你对以上聪聪同学所编制的两个习题进行解答．
(1)直接写出代数式的最小值．
(2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．
类型四、公式的变用
公式变形
①（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）；
②（a＋b）2－（a－b）2＝4ab；
③ a2＋b2＝（a＋b）2－2ab；
④ a2＋b2＝（a－b）2＋2ab；
⑤（a－b）2＝（a＋b）2－4ab；
⑥（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab．
添括号法则： a＋b－c＝a＋（b－c），a－b＋c＝a－（b－c）．
【例4-1】已知,,则 ．
【例4-2】已知，则 ．
【例4-3】完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值．
解：，，
，，
，
．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)①若，，则 ；
②若，，则 ．
(2)如图，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，两个正方形的边长分别是和，且，如果这两个正方形的面积和，求的面积．
【例4-4】已知，求的值．
针对练习4
1．的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．已知，那么的值为（ ）
A．4046 B．2023 C．4042 D．4043
3．已知对任意实数x，y，定义运算：，则的值为
4．已知，则
5．已知一个长方形的长为a，宽为b，它的面积为6，周长为12，则的值为 ．
6．已知，，求的值为 ．
类型五、公式与几何图形结合用
（a＋b）（a－b）＝a2－b2．
如图1，（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，如图2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2．
【例5-1】．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
(1)用含a、b的代数式分别表示、；
(2)若，，求的值；
(3)用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积．
【例5-2】若x满足，求的值．
解：设，则．
所以．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是24，分别以为边作正方形．
①正方形的边长为a，正方形的边长为b，则________； _______；
②利用你学过的平方差公式和完全平方公式求图中阴影部分面积．
【例5-3】完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即：，
又因，所以
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，则的值为______；
(2)拓展：若，则______．
(3)应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
针对练习5
1．如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的 积，验证了一个等式是（ ）
A． B．
C． D．
2．从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述过程所揭示的因式分解的等式是______；
(2)若，，求的值；
(3)．
3．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1： ；方法2： ；
(2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求：的值；
②已知：，求：的值．
4．数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
(1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张．
(3)根据题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
5．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
(1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
(2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）；
A．
B．
C．
(3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积．
八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十九 整式乘法公式的应用
整式乘法公式是解题的重要依据，它可以正用，也可以逆用，变用，递进式的用，还可以与其他公式综合起来用，也可以与几何图形结合用，公式有平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,完全平方公式（a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,下面就灵活应用乘法公式进行归类探讨。
平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式（a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,
【例1-1】运用完全平方公式计算：___________.
答案：
解析：原式.
故答案为：.
【例1-2】填空：；；_______；
发现：两个连续正偶数的平方差一定能被4整除；
论证：设“发现”中的两个正偶数中较小的为（n为正整数），请论证“发现”中的结论；
应用：请将36表示成两个连续正偶数的平方差.
答案：7
论证：见解析
应用：
解析：；
论证：
，
n为正整数，
两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，
应用：.
【例1-3】先化简再求值：，其中，.
答案：，42
解析：原式
，
当，时，
原式
.
【例1-4】（1）计算：；
（2）雯雯在计算时，解答过程如下：
…………第一步…………第二步…………第三步
雯雯的解答从第______步开始出错，请写出正确的解题过程.
答案：（1）1
（2）一，见解析
解析：（1）
；
（2）
.
针对练习1
1、已知，，则的值为( )
A. B. C.2 D.4
答案：B
解析：，，
.
故选：B.
2、若，则( )
A.12 B.10 C.8 D.6
答案：B
解析：原等式变形得：
.
故选：B.
3、老师设计了接力游戏，用合作的方式完成运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示.其中自己负责的一步出现错误的是( )
A.只有甲 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙
答案：B
解析：，出现错误的是乙和丙.
4、若，，则的值是( )
A.2024 B.2023 C.2022 D.2021
答案：A
解析：
.
故选：A.
5、计算：__________.
答案：516000
解析：
=
.
故答案为：516000.
类型二、公式的推广用
平方差公式推广 (a+b-c)(a+b+c)=(a+b)2-c2,
完全平方公式推广 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
【例2-1】试说明：比4个连续正整数的乘积大1的数一定是某整数的平方．
【答案】见解析
【详解】试题分析：设n为一个正整数，则比4个连续正整数的乘积大1的数可以表示为A＝n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1，再去括号，把（n2＋3n）看作一个整体，即可得到结果．
设n为一个正整数，
据题意，比4个连续正整数的乘积大1的数可以表示为
A＝n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1，
于是，有
A＝ n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1
＝（n2＋3n＋2）（n2＋3n）＋1
＝（n2＋3n）2＋2（n2＋3n）＋1
＝[（n2＋3n）＋1]2
＝（n2＋3n＋1）2，
这说明A 是（n2＋3n＋1）表示的整数的平方．
考点：本题考查的是完全平方公式的应用
点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：，要具备整体意识．
【例2-2】计算：
【答案】8xy+6x+12y+18
【分析】把（x+2y）和（x-2y）看成整体后利用完全平方公式和平方差公式进行第一步计算，再合并同类项进行解答.
【详解】解：
=
=
=8xy+6x+12y+18
【点睛】本题主要考查完全平方公式，平方差公式，熟记公式是解答此题的关键.
针对练习2
1．计算： .
【答案】2019.
【分析】原式利用数的变形化为平方差公式，计算即可求出值．
【详解】解：∵
∴=
故答案是：2019.
【点睛】此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．
2．
【答案】
【分析】先通过加括号，凑出平方差公式的形式并进行运算，然后在运用完全平方公式求解即可.
【详解】解：
=
=
=
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解答的关键在于通过加括号凑出平方差公式的形式.
3．已知求a的值.
【答案】.
【分析】先对等式左边进行变形，使之符合平方差公式，而后计算出结果，再与右边对照，相应的系数对应相等，即可求出a值.
【详解】解：=
==
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟悉公式特点并进行正确变形是解题关键.
类型三、公式的反用
反过来：a2-b2= (a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=（a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2
【例3-1】阅读材料：若，求m，n的值．
解：∵，∴
∴，∴，∴．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求a，b的值
(2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足．求的周长．
【答案】(1)，
(2)7
【分析】本题考查完全平方公式的应用、平方式的非负性、三角形的三边关系，关键是熟记完全平方公式并灵活运用．
（1）根据完全平方公式和平方式的非负性求解即可；
（2）根据完全平方公式平方式的非负性求得a、b，再根据三角形的三边关系求得c，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵的三边长a、b、c都是正整数，
∴，即，
∴，
∴的周长为．
【例3-2】已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平方差公式，根据已知式利用平方差公式分解因式，然后利用积、因数的关系即可得到答案．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
针对练习3
1．已知，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．把变形为，代入后，再变形为即可求得最后结果．
【详解】解：，
，
故选：C．
2．已知，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握是解题的关键．把条件式化为，再利用平方差公式计算即可得到答案．
【详解】解：解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：17．
3 .已知，满足，则 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．先将转化为，再根据偶次方的非负性求解即可得．
【详解】解：
，
，
，
又，
，
故答案为：0．
4 .〖我阅读〗阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下：
∵，由，得；
∴代数式的最小值是4．
〖我解答〗爱思考的聪聪同学分别编制了如下两个习题，请你对以上聪聪同学所编制的两个习题进行解答．
(1)直接写出代数式的最小值．
(2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．
【答案】(1)
(2)代数式有最大值，最大值为32
【分析】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性．
（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
由，得：；
∴代数式的最小值是；
（2）∵，
又∵，
∴，
∴代数式有最大值，最大值为32．
类型四、公式的变用
公式变形
①（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）；
②（a＋b）2－（a－b）2＝4ab；
③ a2＋b2＝（a＋b）2－2ab；
④ a2＋b2＝（a－b）2＋2ab；
⑤（a－b）2＝（a＋b）2－4ab；
⑥（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab．
添括号法则： a＋b－c＝a＋（b－c），a－b＋c＝a－（b－c）．
【例4-1】已知,,则 ．
【答案】5
【分析】本题考查完全平方公式的应用,利用公式,将本题条件代入公式即可求得结果．
【详解】∵,,
∴,
∴．
答案：5．
【例4-2】已知，则 ．
【答案】12543
【分析】本题考查了多项式乘多项式，乘法公式，求代数式的值，利用整体代入法是解本题关键．
由结合配方法求得的值，然后将式子转化成含已知条件的式子，再用整体代入法即可求解．
【详解】解：，，
，
．
【例4-3】完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值．
解：，，
，，
，
．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)①若，，则 ；
②若，，则 ．
(2)如图，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，两个正方形的边长分别是和，且，如果这两个正方形的面积和，求的面积．
【答案】(1)①15；②
(2)11
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的关键．
（1）①根据完全平方公式得出，整体代入求值即可；
②将利用完全平方公式转化为，再整体代入求出，最后求出的值；
（2）设，，可得，，求出即可．
【详解】（1）①，，，
．
．
故答案为：15．
②，，，
．
．
故答案为：．
（2）设，，
，
．
又，
．
由完全平方公式可得，，
．
．
．
答：的面积为11．
【例4-4】已知，求的值．
【答案】28
【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，先把化简，得出，，进而可求出的值．
【详解】解：，
，
，，
．
针对练习4
1．的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式的应用，数字的规律探究．熟练掌握平方差公式是解题的关键．由题意知，根据，，，，，可推导一般性规律为，每4个计算结果的个位数字为1个循环，然后求解即可．
【详解】解：
，
∵，，，，，……
∴可推导一般性规律为，每4个计算结果的个位数字为1个循环，
∴，
∴的个位数字为6，
故选：B．
2．已知，那么的值为（ ）
A．4046 B．2023 C．4042 D．4043
【答案】A
【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的各种变式．
【详解】解：∵，
∴．
∴
．
故选：A．
3．已知对任意实数x，y，定义运算：，则的值为
【答案】
【分析】本题主要考查平方差公式，解题的关键是理解题意；由题意可先求出的值，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为．
4．已知，则
【答案】
【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，平方差公式的应用，熟练的利用整体未知数解方程是解本题的关键；本题先把原方程化为，再利用平方根的含义解方程即可.
【详解】解：∵，
∴即，
∵，
∴；
故答案为：3
5．已知一个长方形的长为a，宽为b，它的面积为6，周长为12，则的值为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、长方形的周长以及长方形的面积，利用长方形的周长及面积公式找出，是解题的关键．由长方形的周长及面积可得出，，代入中即可求出结论．
【详解】解：根据题意得：，，
∴，
∴．
故选答案为：24．
6．已知，，求的值为 ．
【答案】92
【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．将的两边平方，利用完全平方公式展开，将的值代入计算即可求出的值．
【详解】解：将两边平方得：，
将代入得：．
故答案为92
类型五、公式与几何图形结合用
（a＋b）（a－b）＝a2－b2．
如图1，（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，如图2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2．
【例5-1】．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
(1)用含a、b的代数式分别表示、；
(2)若，，求的值；
(3)用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积．
【答案】(1), =；
(2)=77；
(3)=18.
【分析】（1）图①中阴影部分的面积是边长为a、b的正方形的面积差，图②中阴影部分的面积是边长为b的正方形面积减去边长为b和的矩形面积的差；
（2）由（1）用a、b表示出，然后将其配方后把，代入即可得解；
（3）由图形中面积之间的关系可以用含有a、b的代数式表示，然后再代入计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
,
=
=；
（2）由（1）可得：
=
=
=,
∴当，时，；
（3）由题意可得：
=，
当时，，
∴.
【点睛】本题考查整式运算在面积计算中的应用，熟练掌握整式的运算法则及完全平方公式的应用是解题关键．
【例5-2】若x满足，求的值．
解：设，则．
所以．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是24，分别以为边作正方形．
①正方形的边长为a，正方形的边长为b，则________； _______；
②利用你学过的平方差公式和完全平方公式求图中阴影部分面积．
【答案】(1)5
(2)①2；24；②20
【分析】（1）设，则，根据代入计算即可解答；
（2）①根据正方形ABCD的边长为x，即可表示出MF与DF，正方形的边长为a，正方形的边长为b，表示出和即可；②根据矩形的面积公式、正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：设，则．
所以．
（2）解：①由题意得，．
∵正方形的边长为a，正方形的边长为b
∴，，
∴，
∵长方形的面积是24，
∴,即．
故答案为2，24．
②由图形可知：阴影部分的面积为：
∵，
∴，即
∴．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景、平方差公式等知识点，熟练掌握完全平方公式与平方差公式是解答本题的关键．
【例5-3】完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即：，
又因，所以
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，则的值为______；
(2)拓展：若，则______．
(3)应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)12
(2)10
(3)384
【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）设，，则，，然后完全平方公式进行计算，即可解答；
（3）根据题意可得，，然后设，，则，，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】（1）解： ，，
，
．
（2）解：设，，
，
，
，
．
（3）解：四边形是长方形，
，，
，
，，
设，，
，
长方形的面积为160，
，
正方形的面积正方形的面积
，
图中阴影部分的面积和为384．
【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式变形的计算是解题的关键．
针对练习5
1．如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的 积，验证了一个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出两个图形中阴影部分的面积，然后根据两个阴影部分的面积相等即可得解．根据阴影部分的面积相等列出面积的表达式是解题的关键．
【详解】解：左边图形中，阴影部分的面积，
右边图形中，阴影部分的面积，
∵两个图形中的阴影部分的面积相等，
∴，
故选：B．
2．从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述过程所揭示的因式分解的等式是______；
(2)若，，求的值；
(3)．
【答案】(1)
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积．
（1）根据图形面积相等即可求解；
（2）根据平方差公式进行计算即可求解；
（3）根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：上述过程所揭示的乘法公式是，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
，
∴；
（3）解：
．
3．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1： ；方法2： ；
(2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求：的值；
②已知：，求：的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)①1；②9
【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解：
（1）表示出阴影部分的边长，然后分别利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；利用正方形的面积公式列式；
（2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答；
（3）①根据（2）的结论代入进行计算即可得解；②根据（2）的结论代入进行计算即可得解．
【详解】（1）解：根据题意得：图②中阴影部分的面积：
方法1：，
方法2：；
故答案为：；；
（2）解：；
（3）解：①∵，
∴；
②．
4．数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
(1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张．
(3)根据题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)
(2)3
(3)①的值为；②
【分析】本题考查完全平方公式的意义和应用；
（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系；
（2）计算的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；
（3）①根据题（1）公式计算即可；②令，从而得到，代入计算即可．
【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：；
因此有；
（2）解：，
需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，
故答案为：；
（3）解：，，，
，
，即的值为；
令，
.
.
.
，
.
.
.
，
，
，
解得．
．
．
5．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
(1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
(2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）；
A．
B．
C．
(3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积．
【答案】(1)
(2)C
(3)
【分析】（1）根据图2中的信息即可得出阴影部分正方形的边长；
（2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可；
（3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，再求解，最后利用三角形面积公式即可得出答案；
另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，利用（2）的结论直接代入即可，最后根据三角形面积公式即可得出答案．
【详解】（1）图2中的阴影部分正方形的边长是；
故答案为：
（2）之间的等量关系是：，
故选：C.
（3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y
∴，
解得，
；
另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
