2023-2024学年北师大版（2019）必修一 第五章 函数应用 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国,扎实推动乡村产业 人才 文化 生态 组织振兴”的目标,某银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据,建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x（单位：万元）的Logistic模型：.已知当贷款人的年收入为9万元时,其实际还款比例为50%,若贷款人的年收入约为5万元,则实际还款比例约为（参考数据：）( )
A.30% B.40% C.60% D.70%
2、基本再生数与世代间隔T是流行病学基本参数,基本再生数是指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指两代间传染所需的平均时间,在型病毒疫情初始阶段,可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律,指数增长率r与、T近似满足,有学者基于已有数据估计出,.据此,在型病毒疫情初始阶段,累计感染病例数增加至的4倍,至少需要( )
（参考数据：）
A.6天 B.7天 C.8天 D.9天
3、函数的零点所在的大致区间是( )
A. B. C. D.
4、函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
5、心理学家有时用函数来测定人们在时间t(min)内能够记忆的单词量,其中k表示记忆率.心理学家测定某学生在10min内能够记忆50个单词,则该学生在30min从能记忆的单词个数为( )
A.150 B.128 C.122 D.61
6、科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为，若6.5级地震释放的相对能量为，级地震释放的相对能量为，记，n约等于( )
A.16 B.20 C.32 D.90
7、近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐,新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：）,放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式：,其中n为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数n,在电池容量不变的条件下,当放电电流时,放电时间;当放电电流时,放电时间.若计算时取,则该蓄电池的Peukert常数n大约为( )
A.1.25 B.1.5 C.1.67 D.2
8、已知函数，若有两个零点，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为( )
A.2600 B.2700 C.26 D.27
10、你见过古人眼中的烟花吗 那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”,是隋炀帝眼中的“灯树千光照,花焰七枝开”.烟花,虽然是没有根的花,是虚幻的花,却在达到最高点时爆裂,用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度h(单位:米)与时间t(单位:秒)之间的关系式为,则烟花在冲击后爆裂的时刻是( )
A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒
二、填空题
11、某医用放射性物质原来的质量为a，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用的时间是10年.已知到今年为止，剩余的质量为原来的，则该放射物质已经衰减了__________年.
12、有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水量y（升）之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为________.
13、现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩，粒.则红豆和白豆共有_________粒.
14、某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法 合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式__________.
15、某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件（单位：件）（）与货价p（单位：元/件）之间的关系为，生产x件所需成本（单位：元），当工厂日获利不少于1000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是__________.
16、某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：（1）按照使用面积缴纳，每平方米4元；（2）按照建筑面积缴纳，每平方米3元.李明家的使用面积为60平方米.如果他家选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过__________平方米.
三、解答题
17、地铁作为城市交通的重要组成部分,以其准时、高效的优点广受青睐.某城市新修建了一条地铁线路,经调研测算,每辆列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟,且）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时,列车均为满载状态,载客量为1700人;当发车时间间隔不超过15分钟时,地铁载客量h与成正比.假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）.
（1）求y关于t的函数表达式;
（2）当发车时间间隔为何值时,每辆列车的日均车票收入最大 并求出该最大值.
18、第19届亚运会于2023年9月23日拉开帷幕,为了保障交通安全畅通,杭州交通部门经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为.
（1）在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大 最大车流量是多少
（2）若要求在该时段内车流量超过9千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围
19、有苹果与桃两种果树，出售后能获得的利润分别记为L（万元）和M（万元），它们与种植的面积S的关系近似满足：，，现有5亩土地用于种植这两种果树，为获得利润最大，这两种果树各种植多少亩 获得的最大利润是多少万元
20、“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当时，v的值为2；当时，v是关于x的一次函数.当时，因缺氧等原因，v的值为0.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
参考答案
1、答案：B
解析：由题意知,当时,,则,解得,
所以,可得,所以,
当时,.
故选：B.
2、答案：B
解析：因,,,所以可以得到
,由题意可知,
所以至少需要7天,累计感染病例数增加至的4倍
故选：B.
3、答案：D
解析：因为与在上单调递增,
所以在上单调递增,
又,,由,
所以在上存在唯一零点.
故选:D
4、答案：C
解析：函数,因为是增函数,是增函数,
所以函数是增函数.
.
.
.
..
函数的零点所在的区间是：.
故选：C.
5、答案：C
解析：由题可得,则,
所以,
即该学生在30min从能记忆的单词个数为122.
故选:C.
6、答案：C
解析：，
当时，，
当时，，
故选C.
7、答案：B
解析：由题意可得,所以,所以,
所以.
故选：B.
8、答案：A
解析：当时，，；
当时，，，
综上，对，.
有两个零点，，
即方程有两个根，，
即方程有两个根，，不妨设.
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.
令，，.
，，，，
令，，
，令，.
时，；时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，.
函数的值域为，即的取值范围是.
故选：A.
9、答案：D
解析：因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数，
当一条鲑鱼静止时，，此时，则，耗氧量为；
当一条鲑鱼以的速度游动时，，此时，
所以，则，即耗氧量为，
因此鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为.
故选：D.
10、答案：A
解析:由题意,,
则当时,即烟花达到最高点,爆裂的时刻是第4秒.
故选:A.
11、答案：5
解析：设衰减的百分比为x，，由题意知，，解得，设经过m年剩余的质量为原来的，则，即，解得.
12、答案：
解析：当时，直线段过点，，
，此时方程为.
当时，直线段过点，，，
此时方程为.即.
故答案为：.
13、答案：
解析：设红豆有x粒，白豆有y粒，
由第一轮结果可知：，整理可得：；
由第二轮结果可知：，整理可得：；
当时，由得：（舍）；
当时，由得：（舍）；
当时，由得：，，即红豆和白豆共有粒.
14、答案：，（只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一）
解析：由题意函数是上的增函数，设，，
由，解得，所以，
所以
故答案为：
注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数.如，等等.
15、答案：10
解析：由题意，设该厂月获利为y元，则：
，
当工厂日获利不少于1000元时，即，
即，解得：.
故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.
16、答案：80
解析：设李明家的建筑面积为x平方米，按照方案（1），李明家需缴纳供暖费（元）；按照方案（2），李明家需缴纳供暖费3x元.因为选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，所以，解得.所以他家的建筑面积最多不超过80平方米.
17、答案：（1）
（2）当时有最大值为
解析：（1）当时,,;
当时,,且当时,,
解得,,,故.
（2）当时,,当时有最大值为;
当时,,当时有最大值为.
综上所述：当时有最大值为.
18、答案：（1）35千米/时,12千辆/时
（2）
解析:（1）因为,所以,
当且仅当,即时等号“=”成立,
故当汽车的平均速度为35千米/时时,车流量最大,最大车流量是12千辆/时;
（2）由及,
可得,即,解得,
即汽车的平均速度应在这个范围内.
19、答案：桃树种植了1亩，苹果树种植了4亩，可获得最大利润为8万元
解析：设桃树种植了x亩，则苹果树种植了亩，总利润为y万元，
依题意得，，
设，则，
所以，
当，即时，.
所以桃树种植了1亩，苹果树种植了4亩，可获得最大利润为8万元.
20、答案：（1）
（2）当时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/米
解析：（1）依题意，当时，；
当时，是关于x的一次函数，假设，
则，解得，所以.
（2）当时，；
当时，，
当时，取得最大值.
因为，所以当时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/米.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
