2022-2023学年河北省唐山市重点学校八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是( )
A. B. C. D.
2.王师傅用根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？( )
A. 根 B. 根 C. 根 D. 根
3.如图，已知，，，下列等式不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中的度数是( )
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，给出了正方形的面积的四个表达式，其中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
7.下列式子变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
8.若分式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.化简的结果是( )
A. B. C. D.
10.下列各式：；；；；，其中正确的是( )
A. B. C. D.
11.随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了分钟，现已知小林家距学校千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的倍，若设乘公交车平均每小时走千米，根据题意可列方程为( )
A. B. C. D.
12.如图，是的角平分线，，垂足为若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.分解因式：______．
14.若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是______．
15.目前发现的新冠病毒其直径约为毫米，将用科学记数法表示为______．
16.如图，在中，，的外角，则______度．
17.如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为，则另一边长为______．
18.已知，，，，若为正整数，则 ______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天．
这项工程的规定时间是多少天？
已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
21.本小题分
计算：
；
．
22.本小题分
解方程：．
23.本小题分
作图题：
利用如图所示的网格线作图：在上
找一点，使点到和的距离相等．然后，在射线上找一点，使．
如图，等边，是边上的中线，是上的动点，是边上一点．
作点关于直线的对称点；
当的值最小时，作出此时点的位置标注为
24.本小题分
如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．
求证：；
若，连接，平分，平分，求的度数．
25.本小题分
已知：等边中，点为线段上一动点，点与、不重合，点在延长线上，且．
当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系，并证明你的结论．
如图，当不是的中点时，中的结论是否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系；若成立，请给予证明．
在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且的边长为，，请直接写出的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单
根据三角形的稳定性进行解答即可．
【解答】
解：如图，
加上后，原不稳定的四边形中具有了稳定的及，
这种做法根据的是三角形的稳定性，
故他再钉上根木条，即可使这个木架不变形．
故选：．
3.【答案】
【解析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知的对应角相等确定对应边是解题的关键．
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．
解：，，，
，，，，
故A、、C正确；
的对应边是而非，故D错误．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为，四边形的内角和是等知识，难度不大，属于基础题．
本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为，求出的度数．
【解答】
解：因为等边三角形的顶角为，
所以两底角和；
所以．
故选：．
5.【答案】
【解析】此题考查了整式的有关运算公式和性质，属于基础题．
根据同类项，完全平方公式，积的乘方运算，零次幂依次计算即可．
解：、不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项错误；
D、，故该选项正确．
故选：．
6.【答案】
【解析】本题考查了整式的混合运算、正方形面积，解题的关键是注意完全平方公式的掌握．
根据正方形的面积公式，以及分割法，可求正方形的面积，进而可排除错误的式子．
解：由图可知，，
所以正方形的面积为；
又因为正方形可以看成是由上下两个长方形组成，
所以正方形的面积为，故只有C错误．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：、右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
B、是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确；
C、是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选：．
【分析】根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式乘积的形式，即可作出判断．
本题考查的是因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
8.【答案】
【解析】【分析】
根据分式有意义的条件进行解答．
本题考查了分式有意义的条件，要从以下两个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
【解答】
解：分式有意义，
，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：原式，
故选：．
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：当时不成立，故本小题错误；
符合同底数幂的乘法法则，故本小题正确；
，根据负整数指数幂的定义为正整数，故本小题错误；
符合有理数混合运算的法则，故本小题正确；
，符合合并同类项的法则，本小题正确．
故选D．
分别根据指数幂、同底数幂的乘法、负整数指数幂、有理数混合运算的法则及合并同类项的法则对各小题进行逐一计算即可．
本题考查的是零指数幂、同底数幂的乘法、负整数指数幂、有理数混合运算的法则及合并同类项的法则，熟知以上知识是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：设乘公交车平均每小时走千米，根据题意可列方程为：
，
故选：．
根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了分钟，利用时间得出等式方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据角平分线的定义和垂直的定义得到，，推出，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】
解：是的角平分线，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
故选C．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识．此题比较简单，注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底．
首先提取公因式，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要彻底．
【解答】
解：
．
故答案为：．
14.【答案】且
【解析】解：，
方程两边同乘，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
关于的分式方程的解为非负数，，
，
解得且．
故答案为：且．
根据解分式方程的方法和方程的解为非负数，可以求得的取值范围．
本题考查解一元一次不等式，分式方程的解、解答本题的关键是明确解分式方程的方法．
15.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
根据等角对等边的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：设拼成的矩形的另一边长为，
则
，
解得．
故答案为：．
根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：由已知得，，
．
根据题意找出规律解答．
本题属于找规律题目，关键是找出分母的规律，根据题意解出未知数，代入所求代数式即可．
19.【答案】解：设这项工程的规定时间是天，
根据题意得：．
解得：．
经检验是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是天．
该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：天，
则该工程施工费用是：元．
答：该工程的费用为元．
【解析】设这项工程的规定时间是天，根据甲、乙队先合做天，余下的工程由甲队单独需要天完成，可得出方程，解出即可．
先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
20.【答案】解：原式，
当，时，原式．
【解析】首先根据整式的加减运算法则将原式化简，然后把给定的值代入求值．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．
熟练地进行整式的加减运算，并能运用加减运算进行整式的化简求值．
21.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先利用分式的性质把分母化为同分母，再进行同分母的减法运算即可求解；
先算括号里面加减法，再把除法统一成乘法，即可求解．
本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
22.【答案】解：原方程即：．
方程两边同时乘以，
得．
化简，得 ．
解得：．
检验：时，，即不是原分式方程的解，
则原分式方程无解．
【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
此题考查了分式方程的求解方法．此题比较简单，注意转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
23.【答案】解：如图所示：
如图所示：作出点；
连接或与的交点即为．
【解析】利用网格得出的平分线，进而得出的垂线，即可得出点位置；
利用轴对称的性质结合轴对称求最短路线的方法得出位置．
此题主要考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质和轴对称求最短路线，得出对应点位置是解题关键．
24.【答案】证明：为中点，
，
在和中，
≌，
，
；
解：平分，
，
，
，
，，
，
．
【解析】求出≌，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
根据求出，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
25.【答案】解：，
理由如下：为等边三角形，，
平分，，
，
，
，
，
，
；
当点为上任意一点时，如图，与的大小关系不会改变，中的结论成立．
证明：如图，过作交于，
是等边三角形，
，，
，，即，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
≌，
，即；
或．
【解析】点拨
根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一证明；
作，证明≌，根据全等三角形的性质解答；
分点在的延长线上、点在的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答．
解：如图，
作交的延长线于，
则为等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
如图，
作交的延长线于，
则为等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
综上所述，或．
本题考查的是等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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