2023-2024学年吉林省重点学校七年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列分别表示“节水”、“节能”、“回收”、“绿色食品”含义的四个标志的图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程中，解为的是( )
A. B. C. D.
3.若，则下列式子中，不正确的是( )
A. B. C. D.
4.某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是( )
A. 正五角形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正九边形
5.现有两根木棒，它们的长分别是和若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选( )
A. B. C. D.
6.孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
7.不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，沿着点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知是方程的解，则的值为______ ．
10.如图，木工师傅做长方形门框时，会在门上斜着钉两条木板，使其不变形，这样做的数学原理是______ ．
11.某正六边形的雪花图案如图所示这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能与自身重合，则这个旋转角的大小至少为______ 度
12.一个多边形的每个内角都是，则这个多边形是______ 边形．
13.若关于的方程是一元一次方程，则这个方程的解______
14.如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为 ．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解下列方程或不等式．
；
．
16.本小题分
解不等式组，并将其解集在数轴表示出来．
．
17.本小题分
下面是小张同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并回答相应的问题．
解方程组：
解：，得第一步
，得第二步
第三步
代入，得第四步
所以，原方程组的解为第五步
小彬同学的解题过程从第______ 步开始出现错误；
请写出正确的解题过程；
解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是______ 填序号．
A.数形结合
B.类比思想
C.转化思想
D.分类讨论
18.本小题分
已知一个多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角度数与边数．
19.本小题分
如图，在中，平分交于点，平分交于点，若，求的度数．
20.本小题分
已知、、为的三边长，且、满足，为方程的解，求的周长．
21.本小题分
围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买副象棋和副围棋共需元，购买副象棋和副围棋共需元．
求每副象棋和围棋的价格；
若学校准备购买象棋和围棋总共副，且总费用不超过元，则最多能购买多少副围棋？
22.本小题分
如图，在的方格纸巾有一条直线和，请按要求解答．
将向右平移个单位，在图中画出平移后的；
在图中画出关于直线对称的；
将绕点旋转，在图中画出旋转后的．
23.本小题分
将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边、恰好分别经过点、．
如图，若时，点在内，则 ______ 度， ______ 度， ______ 度；
如图，改变直角三角板的位置，使点在内，请探究与之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．
如图，改变直角三角板的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出、、三者之间存在的数量关系．
24.本小题分
如图，在长方形中，，点从点出发，沿折线以每秒个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动设点的运动时间为秒．
当点在边上运动时， ______ ；当点在边上运动时， ______ 用含的代数式表示
当点与点重合时，求的值．
当时，求的面积．
若点关于点的中心对称点为点，直接写出和面积相等时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，选项错误；
B、不是轴对称图形，选项错误；
C、不是轴对称图形，选项错误；
D、是轴对称图形，选项正确．
故选：．
根据轴对称图形的定义解答．
本题考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：当时，，故此选项不合题意；
B.当时，，故此选项不合题意；
C.当时，，故此选项不合题意；
D.当时，，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得出答案．
此题主要考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程解的意义是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，故选项A不正确；
，
，故选项B正确；
，
，故选项C正确；
，
，故选项D正确；
故选：．
根据不等式的性质逐一进行判断即可．
本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以或 同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向变．
4.【答案】
【解析】解：、正五边形的每个内角是，不能整除，不能密铺；
B、正六边形的每个内角是，能整除，能密铺；
C、正七边形的每个内角为：，不能整除，不能密铺；( )
D、正九边形的每个内角为：，不能整除，不能密铺；
故选：．
平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
此题考查平面镶嵌问题，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
5.【答案】
【解析】解：根据三角形的三边关系，得
第三根木棒的长度应大于，而小于．
故选：．
首先根据三角形的三边关系求得第三根木棒的取值范围，再进一步找到符合条件的答案．
本题考查了三角形中三边的关系求解；关键是求得第三边的取值范围．
6.【答案】
【解析】解：设木头长为尺，绳子长为尺，
由题意可得，
故选：．
设木头长为尺，绳子长为尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
7.【答案】
【解析】解：解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是：．
故选：．
先分别解两个不等式得到，然后利用数轴表示出，即可得到正确的选项．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
8.【答案】
【解析】解：平移距离为，
，
，，
，
，
，
阴影部分的面积为．
故选：．
由，推出即可解决问题．
此题主要考查了平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，要熟练掌握．
9.【答案】
【解析】解：是方程的解，
，
即．
故答案为：．
根据二元一次方程组解的定义代入即可求出的值．
本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组解的定义是正确解答的前提．
10.【答案】三角形具有稳定性
【解析】解：木工师傅做长方形门框时，会在门上斜着钉两条木板，使其不变形，这样做的数学原理是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
根据三角形具有稳定性解答即可．
本题考查了三角形稳定性的应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，要使一些图形具有稳定性，往往转化为三角形．
11.【答案】
【解析】解：，
旋转的角度是的整数倍，
旋转的角度至少是．
故答案为：．
根据图形的对称性，用除以计算即可得解．
本题考查利用旋转设计图案，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
12.【答案】正十
【解析】解：一个多边形的每个内角都是，
这个多边形的每个外角都是，
又多边形的外角和是，
这个多边形的边数为，
即这个多边形为正十边形，
故答案为：正十．
根据多边形的每个内角都是，可求出这个多边形的每个外角都是，根据多边形的外角和是可求出边数．
本题考查多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和是是解决问题的前提．
13.【答案】
【解析】解：关于的方程是一元一次方程，
，
解得：，
故，
解得：．
故答案为：．
直接利用一元一次方程的定义分析得出答案．
此题主要考查了一元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
先求出，根据三角形内角和定理求出，得出，再根据三角形外角的性质即可得出答案．
【解答】
解：如图，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15.【答案】解：，
，
；
，
，
，
，
．
【解析】利用解一元一次方程的方法进行求解即可；
利用解一元一次不等式的方法进行求解即可．
本题主要考查解一元一次不等式，解一元一次方程，解答的关键是对相应的知识的掌握．
16.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】二
【解析】解：由题意，根据二元一次方程组的解法，得，．
第二步开始出现错误．
故答案为：二．
由题意，，得．
，得．
．
把代入，
．
原方程组的解为．
第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想，
故选：．
依据题意，利用二元一次方程组的解法，观察即可判断得解；
依据题意，根据二元一次方程组的解法求解即可；
依据题意，将“二元”转化为“一元”，体现了转化的思想．
本题主要考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法是正确解答的前提．
18.【答案】解：设这个多边形是边形．
则，
解得，
．
答：此多边形的边数是，每一个内角的度数是．
【解析】结合多边形的内角和公式与外角和的关系寻求等量关系，构建方程即可求解．
本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征．
19.【答案】解：在中，，
．
平分交于点，平分交于点，
，，
，
又是的外角，
．
【解析】在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可求出的度数．
本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
20.【答案】解：，
，解得
为方程的解，
或，
当，，时，，
不能组成三角形，故不合题意；
，
的周长，
【解析】利用非负数的性质求出，的值，解绝对值方程求出，再利用三角形的三边关系解决问题即可．
本题考查三角形的三边关系，非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：设每副象棋的价格为元，每副围棋的价格为元．
依题意得，
解得．
答：每副象棋的价格为元，每副围棋的价格为元．
设购买副围棋，则购买副象棋．
依题意得：，
解得．
答：最多能购买副围棋．
【解析】设每副象棋的价格为元，每副围棋的价格为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解．
设购买副围棋，则购买副象棋，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式是解题的关键．
22.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
如图，即为所求．
【解析】根据平移的性质即可画出图形；
根据轴对称的性质即可画出图形；
根据旋转的性质即可画出图形．
本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，轴对称变换等知识，熟练掌握图形变换的性质是解题的关键．
23.【答案】；；；
与之间的数量关系为：证明如下：
在中，
在中，
．
．
．
【解析】解：在中，，
，
在中，，
，
；
故答案为：；；
见答案；
见答案．
【分析】
根据三角形内角和定理可得，，进而可求出的度数；
根据三角形内角和定义有，则．
由的解题思路可得：．
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角形的外角和是，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
24.【答案】
【解析】解：当点在边上运动时，，
当点在边上运动时，，
故答案为：，；
当，重合时，，
；
当时，，，，，
；
当点在上时，，解得，．
当点在上时，，解得，，
综上所述，和面积相等时的值为或．
判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解；
根据，构建方程求解；
当时，可得，，，，根据面积的和差即可求解；
分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解；
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
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