2022-2023学年广东省湛江市经开重点中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是( )
A. 笛卡尔爱心曲线 B. 蝴蝶曲线
C. 费马螺线曲线 D. 科赫曲线
2.石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体，石墨烯是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加牛顿的压力才能使米长的石墨烯断裂，其中科学记数法表示是。( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.下列分式中，是最简分式的是
( )
A. B. C. D.
5.已知三角形两边长分别为、，那么第三边的长可以是( )
A. B. C. D.
6.如果关于的分式方程无解，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知，，，以，两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接与相交于点，连接，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如果是常数是完全平方式，那么的值为( )
A. B. C. D.
9.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是( )
A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
10.如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，，，，均为等边三角形，若，则的边长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若边形内角和为，则边数______．
12.若≌，，，，则的长为______．
13.分解因式： ．
14.有一个分式：当时，分式有意义；当时，分式的值为请写出同时满足以上两个条件的一个分式______ ．
15.一个等腰三角形一边长为，有一个角为，则这个等腰三角形的周长是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.解分式方程：．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
．
．
18.本小题分
先化简，再从，，，，五个数字中选取一个合适的数作为代入求值．
19.本小题分
如图，，，垂足分别为、，，且连接．
求证：．
若，，求的度数．
20.本小题分
如图，在中，，．
尺规作图：作边的垂直平分线交于点；
连接，作的平分线交于点；要求：保留作图痕迹，不写作法
在所作的图中；求的度数．
解：垂直平分线段，
，______ 填推理依据
，______ 填推理依据
，
，
，
______ ，
______ ，
平分，
______
21.本小题分
受疫情影响，“”消毒液需求量猛增，某商场用元购进一批“”消毒液后，供不应求，商场用元购进第二批这种“”消毒液，所购数量是第一批数量的倍，但单价贵了元．
求该商场购进的第一批“”消毒液的单价；
商场销售这种“”消毒液时，每瓶定价为元，最后瓶按折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？
22.本小题分
从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形如图，然后将剩余部分拼成一个长方形如图．
上述操作能验证的等式是______ ；
运用你从写出的等式，完成下列各题：
已知：，，求的值；
计算：．
23.本小题分
已知，，点在边上，点是边上一动点，以线段为边在上方作等边，连接、，再以线段为边作等边点、在的同侧，作于点．
如图，依题意补全图形；求的度数；
如图，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A、、均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
3.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，单项式乘单项式，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】
【解析】解：、，不是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、，是最简分式，符合题意；
故选：．
直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义：分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式，进而判断即可．
此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：设三角形的第三边长为，由题意得：
，
解得：，
故选：．
设三角形的第三边长为，利用三角形的三边关系可得不等式，再解不等式即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
6.【答案】
【解析】解：，
方程两边同乘以化成整式方程为，
关于的分式方程无解，
，即，
将代入方程得：，
解得，
故选：．
先去分母，再根据关于的分式方程无解，可得，然后把代入可得答案．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的条件是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据作图过程可知：是的垂直平分线，
，
的周长．
故选：．
根据作图过程可得是的垂直平分线，所以，进而可得的周长．
本题考查了作图基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了完全平方公式的运用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
根据完全平方公式解答即可．
【解答】
解：因为是常数是完全平方式，
所以，
所以．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．先过两把直尺的交点作，，根据题意可得再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得平分．
【解答】
解：如图所示：过两把直尺的交点作，，
因为两把完全相同的长方形直尺，
所以，
所以平分角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：为等边三角形，
，，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
的边长：，
故选：．
由等边三角形的性质得到，，再由三角形外角的性质求出，则，同理得，，，由此得出规律，即可求解．
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、规律型等知识，熟练掌握等边三角形的性质，找出规律是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
由边形的内角和为：，即可得方程，解此方程即可求得答案．
此题考查了多边形内角和公式．此题比较简单，注意方程思想的应用是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：≌，，
，
故答案为：．
根据全等三角形的对应边相等解答即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
所求代数式中含有公因数，可先提取公因数，然后运用平方差公式分解因式．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行分解，注意要分解彻底．
14.【答案】，答案不唯一
【解析】解：由题意，可知所求分式是：．
故答案为：，答案不唯一．
根据分式的值为的条件，由的叙述可知此分式的分子一定不等于；由的叙述可知此分式的分母当时的值为，根据求分式的值的方法，把代入此分式，得分式的值为．
本题是开放性试题，考查了分式的值为的条件，分式有意义的条件及求分式的值的方法．
15.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了等边三角形的判定与性质，根据题意得到这个等腰三角形是等边三角形是解题的关键．
根据题意判定这个等腰三角形是等边三角形，据此即可得解．
【解答】
解：等腰三角形有一个角为，
这个等腰三角形是等边三角形，
边长为，
这个等边三角形的周长是：，
故答案为：．
16.【答案】解：
，
检验：当时，，
是原方程的增根，原方程无解．
【解析】此题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的一般步骤进行解答并验根即可．
17.【答案】解：
；
．
【解析】根据负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂将原式化简，再进行有理数加减运算即可；
根据完全平方公式、平方差和多项式除以单项式解答本题即可．
本题考查整式的混合运算，实数的运算．解题的关键是掌握相应的运算法则．
18.【答案】解：原式
，
当，，时，原式没有意义；
当时，原式；
当时，原式．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】证明：，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
．
解：，，
，
，
．
【解析】根据垂直的定义得到根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
由等腰直角三角形的性质得出，由三角形外角的性质得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，解此题的关键是推出≌，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等．
20.【答案】线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 等边对等角
【解析】解：如图，直线即为所求；
如图，射线即为所求．
垂直平分线段，
，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
，等边对等角，
，
，
，
，
，
平分，
．
故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，等边对等角，，，．
根据要求作出图形即可；
利用三角形内角和定理求出，再求出，可得结论．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：设该商场购进的第一批“”消毒液单价为元瓶，依题意得：．
解得，．
经检验，是原方程的根．
所以该商场购进的第一批消毒液的单价为元瓶；
共获利：元．
在这两笔生意中商场共获得元．
【解析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是学会设未知数，寻找等量关系，注意解分式方程必须检验．
设该商场购进的第一批“”消毒液单价为元瓶，根据所购数量是第一批数量的倍，但单价贵了元，列出方程即可解决问题．
根据题意分别求出两次的利润即可解决问题．
22.【答案】
【解析】解：从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形如图，然后将剩余部分拼成一个长方形如图，
图剩余部分的面积为，图的面积为，二者相等，从而能验证的等式为：．
故答案为：．
，，，
，
；
原式
．
分别表示出图剩余部分的面积和图的面积，由二者相等可得等式；
将已知条件代入中所得的等式，计算即可；利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可．
本题考查平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
23.【答案】解：如图所示，即为所求；
是等边三角形，
，
，
，
；
，证明如下：
如图，连接，，
由可知，是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
【解析】根据题意，即可画出图形；
根据，可得答案；
连接，，利用可证明≌，得，，再通过导角发现，从而解决问题．
本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，证明≌是解题的关键．
第1页，共1页
