2022-2023学年湖南省怀化市新晃县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使分式有意义，的取值应满足( )
A. B. C. D.
2.下列无理数中，与最接近的是( )
A. B. C. D.
3.某公司运用技术，下载一个的文件大约只需要秒，则用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.方程解是( )
A. B. C. D.
5.下列各组长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
7.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )
A. 过顶点的直线 B. 底边上的高
C. 腰上的高所在的直线 D. 底边上的垂直平分线
8.不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，、、、在同一直线上，，，添加一个条件，不能判定≌的是( )
A. B. C. D.
10.某农户买黄金瓜，第一天上午买了斤，价格为每斤元，下午他又买了斤，价格为每斤元．第二天他以每斤元的价格卖完了斤，结果同第一天比发现自己亏了．其原因是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，共14分。
11.的算术平方根是______ ．
12.分式的值为，那么的值为______．
13.如图，中，的垂直平分线交于，已知，，则的周长是______．
14.在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：如：则不等式的非负整数解是 ．
15.观察下列等式：；；；，请用字母表示你所发现的律：即 ______ ．
16.若、为常数，则的值为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
19.本小题分
如图，已知，求证：，．
20.本小题分
求代数式的值，其中．
21.本小题分
货轮在海上以每小时海里的速度沿南偏东的方向航行，已知货轮在处时，测得灯塔在其北偏东的方向上，航行半小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其正北方向上．
在图中画出点的位置．
求货轮到达处时与灯塔的距离．
22.本小题分
某药店在今年月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和口罩，且两种口罩的只数相同，其中购进一次性医用外科口罩花费元，口罩花费元，已知购进一次性医用外科口罩的单价比口罩的单价少元．
求该药店购进的一次性医用外科口罩和口罩的单价各是多少元？
该药店计划再次购进两种口罩共只预算购进的总费用不超过万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
23.本小题分
如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接，可证得≌．
请证明≌；
中线的取值范围是______．
问题拓展：如图，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，，，连接请写出与的数量关系，并说明理由．
24.本小题分
阅读下列材料：解答“已知，且、，试确定的取值范围”有如下解法：
解：，又，，，又，
；同理得：
由得，的取值范围是请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于、的方程组的解都为正数．
求的取值范围；
在的条件下，化简；
已知，且，求的取值范围；
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可知，
．
故选：．
根据分式的分母不能为解答即可．
本题考查分式有意义的条件．掌握分式的分母不能为是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，
与最接近的是：．
故选：．
直接利用估算无理数的大小方法得出最接近的无理数．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近的无理数是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4.【答案】
【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
5.【答案】
【解析】解：中，，不能构成三角形；
中，，不能构成三角形；
中，，，能构成三角形；
中，，不能构成三角形．
故选：．
根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可．
考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
6.【答案】
【解析】解：根据最简二次根式的定义可知是最简二次根式，故该选项符合题意．
B.，不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
C.被开方数中含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
D.，不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义进行判断即可．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开的尽方的因数或因式．
7.【答案】
【解析】解：、不是过顶点的任何直线都是等腰三角形的对称轴，应该是顶角的角平分线所在的直线，故本选项错误；
B、因为底边上的高是线段，而对称轴是直线，所以应该是底边上的高所在的直线，故本选项错误；
C、根据等腰三角形的性质可得腰上的高所在的高不是等腰三角形的对称轴，故本选项错误；
D、因为底边上的垂直平分线即是底边上的中线或高线所在的直线，故本选项正确．
故选：．
根据等腰三角形的性质对各个选项进行分析，即可求解．
此题主要考查学生对等腰三角形的对称轴的理解，关键一点是要明确其对称轴是一条直线．
8.【答案】
【解析】解：不等式，
移项得：，
解得：．
表示在数轴上，如图所示：
．
故选：．
求出不等式的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】根据题目条件可得，，再根据四个选项结合全等三角形的判定定理可得答案．
解：，
，
，
、添加条件，可得，可以利用定理证明≌，故此选项不合题意；
B、添加条件，不能证明≌，故此选项符合题意；
C、添加条件，可求得，可以利用定理证明≌，故此选项不合题意；
D、添加条件，可以利用定理证明≌，故此选项不合题意；
故选：．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，可得
买黄瓜每斤的平均价卖黄瓜每斤的平均价，
，
，
，
，
整理，可得
．
故选：．
根据题意，可得买黄瓜每斤的平均价卖黄瓜每斤的平均价，然后根据单价总价数量，用第一天买黄金瓜花的钱除以购买的斤数，求出买黄瓜每斤的平均价是多少，再根据买黄瓜每斤的平均价卖黄瓜每斤的平均价，应用不等式的性质，判断出、的关系即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
11.【答案】
【解析】解：，的算术平方根是，
故答案为：．
根据算术平方根，即可解答．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得：且，
解得．
故答案为：．
分式的值为的条件是：分子为；分母不为两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
13.【答案】
【解析】解：的垂直平分线交于，
，
，，
的周长为：．
故答案为：．
由的垂直平分线交于，根据线段垂直平分线的性质，即可得，又由的周长为：，即可求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等的应用．
14.【答案】、、、、、
【解析】解：，
，
不等式即为：，
解得，
不等式的非负整数解是、、、、、．
故答案为：、、、、、．
根据新定义运算，列出不等式，然后解不等式，即可得到该不等式的非负整数解．
本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，求不等式的非负整数解，根据新定义得出不等式是解题的关键．
15.【答案】为正整数
【解析】解：由所给的式子可知：原式为正整数
故答案为：为正整数
根据所给的等式即可求出规律．
本题考查数字规律问题，解题的关键是根据所给的式子找出规律，本题属于基础题型．
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
解得，
．
故答案为：．
通过通分得到分子的对应项，从而求得、的值，则易求的值．
本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．
17.【答案】解：；
．
【解析】首先计算负整数指数幂和零指数幂，然后相加即可；
根据负整数指数幂，积的乘方和同底数幂的乘法运算法则求解即可．
此题考查了负整数指数幂和零指数幂的运算，积的乘方和同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
18.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
把不等式的解集表示在数轴上，
原不等式组的解集是．
【解析】求出每个不等式的解集，把解集表示在数轴上，写出不等式组的解集即可．
此题主要考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
19.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，，
．
【解析】根据题意证明≌，然后利用全等三角形的性质求解即可．
此题考查了全等三角形的性质和判定，等角的补角相等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．
20.【答案】解：原式
当时，
原式
．
【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
21.【答案】解：如图所示，点即为所要求作的点，
货轮在海上以每小时海里的速度沿南偏东的方向航行，
，
货轮在处时，测得灯塔在其北偏东的方向上，
，
，
是等边三角形，
航行半小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其正北方向上，
，
，
货轮到达处时与灯塔的距离为海里．
【解析】根据题意画出点的位置即可；
首先得到是等边三角形，然后求，进而求解即可．
本题考查了平行线的性质，等边三角形判定和性质，利用方向角得出是等边三角形是解题关键．
22.【答案】解：设一次性医用外科口罩的单价是元，则口罩的单价是元，依题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的解，
．
故一次性医用外科口罩的单价是元，口罩的单价是元；
设购进一次性医用外科口罩只，依题意得：
，
解得．
故至少购进一次性医用外科口罩只．
【解析】可设一次性医用外科口罩的单价是元，则口罩的单价是元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；
可设购进一次性医用外科口罩只，根据购进的总费用不超过万元，列出不等式即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．
23.【答案】
【解析】证明：如图，延长至，使，连接，
是边上的中线，
，
在和中，
，
≌；
解：由知，≌，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
解：，理由如下：如图，延长至，使，连接，则，
同的方法得，≌，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
≌，
，
．
延长至，使，连接，先判断出，即可得出结论；
由知，≌，得出，再由三角形的三边关系得出，即可求出答案；
延长至，使，连接，则，同的方法得，≌，得出，进而判断出，，进而判断出≌，得出，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了倍长中线法，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，利用倍长中线法作出辅助线是解本题的关键．
24.【答案】解：解方程组，
由，解得，
把代入，解得，
所以，方程组的解为，
方程组的解都为正数，
，
解得，
则原不等式组的解集为；
，
；
，，，
，，
，，
，，
．
【解析】先把方程组解出，再根据解为正数列关于的不等式组解出即可；
根据及去绝对值符号法则，即可求得；
分别求、的取值范围，相加可得结论．
本题考查了二元一次方程组的解法及不等式组的解的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．
第1页，共1页
