江西省上饶市饶州中学2023-2024学年高一上学期1月考试
数学试题
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）
1．给定下列两个命题：
①“”为真是“”为假的必要不充分条件；
②“，使”的否定是“，使”.
其中说法正确的是（ ）
A．①真②假 B．①假②真 C．①和②都为假 D．①和②都为真
2．对于一个函数：当自变量取时，其函数值等于，则称为这个函数的H数．若二次函数（，为常数且）有且只有一个H数1，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知m，n，p是均不等于1的正实数，，，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．放射性物质的半衰期的定义为：每经过时间，该物质的质量会衰减成原来的一半．由此可知，，其中为初始时物质的质量，为经过的时间，为半衰期，为经过时间后物质的质量．若某铅制容器中有，两种放射性物质，半衰期分别为，，开始时这两种物质的质量相等，100天后测量发现物质的质量为物质的质量的四分之一，则（ ）
A． B． C．50 D．25
7．某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试后，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示：
班级 （1） （2） （3）
优秀率
则下列说法错误的是（ ）
A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高
B．（3）班学生的数学成绩优秀人数不一定最少
C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为
D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为，则（1）班人数少于（2）班人数
8．一副扑克牌（含大王、小王）共54张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4张，从该副扑克牌中随机取出两张，事件“取出的牌有两张6”，事件“取出的牌至少有一张黑桃”，事件“取出的牌有一张大王”，事件“取出的牌有一张红桃6”，则（ ）
A．事件A与事件互斥 B．事件与事件互斥
C．事件与事件互斥 D．事件A与事件互斥
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最大值为2
B．若且，则的最小值为
C．若，且，则的最小值为8
D．若，且，则的最大值为8
10．已知定义在上的函数满足以下条件：①，当时，；②对任意实数恒有，则（ ）
A．
B．恒成立
C．若对恒成立，则的取值范围为
D．不等式的解集为
11．已知且，函数在同一坐标系中的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则函数的最小值为 ．
14．已知函数，且正数满足，若恒成立，则实数的取值范围是 .
15．函数的值域为 ．
16．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的众数为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知，，其中.
(1)当时，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求的值；
(3)当时，求的解析式.
19．定义在上的增函数对任意都有．
(1)求证：为奇函数；
(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围
20．已知定义域为的函数是奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数的单调性；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．某食品加工厂生产出，两种新配方饮料，现从生产的，这两种饮料产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85的为废品，在内的为一等品，大于或等于115的为特等品.现把，两种配方饮料的质量指标值的测量数据整理如下表及图，其中饮料的废品有6件.
配方饮料质量指标值的频数分布表
质量指标值
频数 8 22 26 8
B配方饮料质量指标值的频率分布直方图
(1)求，的值；
(2)若从，两种饮料中选择一种进行推广，以两种饮料的质量指标值的均值为判断依据，试确定推广哪种比较好 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
22．某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
数学参考答案
1．D
【分析】①“”为真，则，中至少有一个为真，推不出“”为假；反之成立，由充分必要条件即可判断；②由存在性命题的否定是全称性命题，即可判断.
【详解】①“”为真，则，中至少有一个为真，推不出“”为假，
若“”为假，则为真，“”为真，
故“”为真是“”为假的必要不充分条件，故①正确；
②“，使”的否定是“，使”，故②正确.
故选：D.
2．D
【分析】根据题意以及一元二次方程的性质建立不等式组，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】由题意，令，则方程的解为1
所以，解得，
故可得，
显然当时，；当时，；当时，或4.
由题意可得.
故选:D.
3．D
【分析】利用抽象函数定义域求法可得的定义域为，结合根式和分母要求即可求得结果.
【详解】根据题意可得函数的定义域为，可知，
即的定义域为，
所以需满足，解得，
即的定义域为.
故选：D
4．C
【分析】利用函数奇偶性及其部分解析式，求出函数的解析式画出其图象即可求得不等式的解集.
【详解】根据题意可知，当时，，
利用函数奇偶性可得，即，
即，画出函数的图象如下图所示：
由图象可知的解集为.
故选：C
5．C
【分析】设，则且，由指数式化为对数式，根据得到，由换底公式和对数运算法则得到方程，求出，得到答案.
【详解】设，则且，
∴，，，
显然，则，，，
由得，即，
等式两边同除以得，，
其中，
故，.
故选：C．
6．A
【分析】设，两种物质的初始质量均为1，求出100天后，两种物质的质量，再根据给定的关系列式化简即得.
【详解】设开始时，两种物质的质量均为1，天后，两种物质的质量分别为，，
则，，于是100天后有，，
由，得，即，于是，
所以.
故选：A
7．C
【分析】根据题意结合统计知识逐项分析判断.
【详解】选项A：显然（2）班学生的数学成绩的优秀率最高，故A正确；
选项B：只根据优秀率的大小，无法比较每班学生的数学成绩优秀人数多少，故B正确；
对于C：全体学生数学成绩的优秀率为全年级数学成绩优秀的学生人数与全年级学生总人数之比，
由于各班的学生人数不知道，所以不能计算该年级全体学生数学成绩的优秀率，故C不正确；
对于D：设（1）班、（2）班数学成绩优秀的人数分别为，，（1）班、（2）班人数分别为，
则，得，
又（1）班和（2）班放在一起统计的优秀率为，
所以，即，可得，则，故D正确．
故选：C.
8．D
【分析】根据互斥事件的定义作出判断.
【详解】ABC选项，因为事件A与事件，事件与事件，
事件与事件都可以同时发生，所以A，B，C错误.
D选项，因为取出的牌有两张6的同时不可能还能取出一张大王，
所以事件A与事件C互斥.
故选：D
9．BCD
【分析】A：先化负为正，然后利用基本不等式求解出最大值并判断；B：由条件可得，然后将原式变形为，利用基本不等式求解出最小值并判断；C：将原式变形为，可得关于的表示，再利用基本不等式结合配凑法求解出最小值并判断；D：采用换元法令，由此构建关于的一元二次不等式，可求的最大值并判断.
【详解】对于A，因为，则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，故A错误；
对于B，因为且，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，由，得，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
此时取得最小值8，故C正确；
对于D，因为为正实数，则，
令，则，解得，所以，
即，即，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为8，故D正确；
故选：BCD.
10．ABD
【分析】A选项，赋值，求出；B选项，令，得到；C选项，设，换元后参变分离，得到，结合基本不等式求出最值，得到答案；D选项，不等式变形为，利用单调性定义得到在上单调递增，赋值法得到，利用单调性解不等式，得到，构造函数，由单调性解不等式，求出解集.
【详解】由，
得到，
对于A，令可得，
又，故，故A正确；
对于B，令，可得，
又，故，
当0时，，则，
所以恒成立，B正确；
对于，中，令得
，
故变形为，
设，则，
原不等式等价于在恒成立，
即，
其中，
当且仅当时取等号，，故C错误；
对于，由于，
，
.下面证明的单调性：任取，且，
则
，所以函数在上单调递增，
因为，所以，
，
，
令在上单调递增，
且，
所以原不等式的解集为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】分离参数法基本步骤为：
第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，
第二步：先求出含变量一边的式子的最值，使用基本不等式进行求解.
第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.
11．ACD
【分析】根据指数函数、对数函数和一次函数的图象性质，可得答案.
【详解】当时，单调递减，单调递增，与轴交点的纵坐标大于，ABCD均不满足；
当时，单调递增，单调递减，与轴交点的纵坐标介于和之间，可知只有B满足.
故选：ACD.
12．ABC
【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误.
【详解】对于A: 从中任取100件，可能有10件，A错误；
对于B: 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，B错误；
对于C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C错误；
对于D:10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D正确.
故选: ABC.
13．5
【分析】根据基本不等式即可求出最小值．
【详解】解：，则函数，
当且仅当时即时取等号，
故函数的最小值为5.
故答案为：5．
14．
【分析】根据函数的性质确定若时则，据此得出，根据“1”的技巧，利用均值不等式求出最小值，转化为不等式得解.
【详解】因为
，
所以，若成立，则，
又，
而在上单调递增，所以在上单调递增，
由，则只能，因此当且仅当时成立；
又已知，所以，即，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，所以，
要使恒成立，只需满足，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：
15．
【分析】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得.
【详解】当时，，
当时，，
所以的值域为．
故答案为：.
16．/
【分析】根据频率分布直方图频率最高一组数据的中点值即为众数，计算可得.
【详解】由频率分布直方图可知，频率最高的一组数据为：,
所以众数为.
故答案为：.
17．【详解】（1）当时，，
所以，.
（2）若，则，则，解得.
故实数的取值范围是.
18．【详解】（1）因为，
所以，解得且，
即函数定义域为.
（2）.
（3）当时，，
则
.
19．【详解】（1）令，得，即．
令，得，又，
对任意都成立．
为奇函数．
（2）为奇函数，
．
为上的增函数，，
.
,
.
20．【详解】（1）当时，，
∴
又∵是上的奇函数，
∴且
∴当时，
综上：.
（2）∵当时，单调递减，
因为是定义域为的奇函数，由对称性可知，在上单调递减，
∴，有，
又∵当时，单调递减，
∴，有，
∴是上的减函数.
（3）由得，
∵是奇函数，∴，
又∴是上的减函数，∴，
即对任意的恒成立
①当时，恒成立，满足条件
②当时，应满足即
综上：的取值范围是.
21．【详解】（1）因为A、配方样本容量相同，设为，
由于配方废品有6件，由配方的频率分布直方图可知，废品的频率为，解得，
所以，，
由，解得.
（2）由（1）及A配方的频数分布表得，
A配方质量指标值的样本平均数为，
由配方的频率分布直方图知，B配方质量指标值的样本平均数为
，
质量指标值的样本方差为
，
所以，，，即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但配方质量指标值的样本方差比配方质量指标值的样本方差大，
所以，选择配方较好.
22．【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”为事件A，“乙家庭回答正确这道题”为事件B，
“丙家庭回答正确这道题”为事件C，
则，，，
即，，
所以，，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，；
（2）有3个家庭回答正确的概率为，
有2个家庭回答正确的概率为：
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
