2023北京汇文中学高二（上）期中
数 学
本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 直线过点，倾斜角为，则直线的方程为
A. B.
C. D.
2. 设a∈R，则“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切
6. 抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7. 直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点、，若，则弦的长是（ ）
A. B. C. D.
8. 我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”.已知“黄金椭圆”的中心在坐标原点，为左焦点，，分别为右顶点和是上顶点，则
A. B. C. D.
9. 已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，最小值为（ ）
A.2 B. C. 3 D. 4
10. 已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12. 曲线是平面直角坐标系内与两个定点和的距离之积等于4的点的轨迹，则（ ）
①曲线过原点；
②曲线关于原点对称；
③若点在曲线上，则的面积不大于2；
④曲线与曲线有且仅有两个交点．
其中正确命题的序号为（ ）
A. ①② B. ②③④ C. ③④ D. ①②④
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
13. 已知抛物线的准线方程为，则_________
14. 已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
15. 圆与轴相交于两点，则弦所对的圆心角的大小为_________．
16. 设为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点，使得，则动点的轨迹方程为__________．
17. 若直线与曲线有公共点，则k的取值范围是_____________．
18. 在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是___________.（填序号）
①若，则；
②到原点的“折线距离”不大于的点构成的区域面积为；
③原点与直线上任意一点M之间的折线距离的最小值为；
④原点与圆上任意一点M之间的折线距离的最大值为.
三、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为．
（1）求点和点的坐标；
（2）求边上的高所在的直线的方程．
20. 设抛物线的方程为，点为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
（1）当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；
（2）求证：直线恒过定点．
21. 已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，当直线与轴垂直时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线与轴不垂直时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由.
22. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
参考答案
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 【答案】D
【详解】试题分析：由直线的倾斜角为，得其斜率为．又过点，∴方程为，即．故选D．
考点：直线的点斜式方程．
2. 【答案】A
【分析】由“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”得到a＝－2或a＝1，即得解.
【详解】解：若a＝－2，则直线l1：－2x＋2y－1＝0与直线l2：x－y＋4＝0平行；
若“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”，∴，解得a＝－2或a＝1，
∴“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充分不必要条件．
故选：A
3. 【答案】B
【分析】利用截距式的几何意义得到，，从而求得该圆的圆心与半径，进而得解.
【详解】因为直线在x，y轴上的截距分别为4，2，则，，
所以AB的中点坐标为，且，
故以线段AB为直径的圆的方程为，即
故选：B.
4. 【答案】B
【分析】椭圆方程的分母均大于0且不相等，进而解出t.
【详解】由题意，.
故选：B.
5. 【答案】D
【分析】
利用圆心距与半径和的关系可判断两者的位置关系.
【详解】圆，其半径为3，
又，
因为即圆心距为两个圆的半径之和，故两圆外切，
故选：D.
6. 【答案】A
【分析】对求导可求与直线平行且与抛物线相切的切线方程，再利用两平行线的距离公式可得所求的最小距离．
【详解】因为，所以，
令，得，
所以与直线平行且与抛物线相切的切点，
切线方程为，即，
由两平行线的距离公式可得所求的最小距离
.
故选：A.
7. 【答案】C
【分析】利用抛物线的焦点弦公式可求得弦的长.
【详解】抛物线的准线方程为，
因为直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点、，
则.
故选：C.
8. 【答案】D
【分析】设出椭圆的方程，根据题意写出A,B,F的坐标，利用向量与向量乘积为0，得到.
【详解】设椭圆的方程为，
由已知，得
则
离心率
即
故答案选D
【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质，属于基础题.
9. 【答案】D
【分析】最小值满足四边形的面积最小，可转化为动点到点的距离最小值，即可求解．
【详解】圆，
，即圆心为，半径为2，
如图所示，
连接，，四边形的面积为，
要使最小，
则只需四边形的面积最小，即只需的面积最小，
，只需最小，
，
所以只需直线上的动点到点的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离，
此时，，
则此时四边形的面积为2，即的最小值为4．
故选：D．
10. 【答案】C
【分析】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值.
【详解】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得.
故选：C
11. 【答案】D
【分析】分等腰三角形以为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点，使得或，设点在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于、的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围.
【详解】如下图所示：
（1）当点与椭圆短轴的顶点重合时，是以为底边的等腰三角形，
此时，有个满足条件的等腰；
（2）当构成以为一腰的等腰三角形时，
以为底边为例，则或，此时点在第一或第四象限，
由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点，使得是以为一腰的等腰三角形，
不妨设点在第一象限，则，其中，
则，
或，
由可得，所以，，解得，
由可得，所以，，解得，
综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
12. 【答案】B
【分析】根据题意，化简得到曲线的方程为，结合曲线的对称性的判定方法，可①不正确，②正确；结合三角形的面积公式，可判定③正确；联立方程组，求得交点坐标，可判定④正确.
【详解】设轨迹上的任意一点，则，
所以，化简得，
①中，把代入上述方程，可得，此式不成立，所以曲线不过原点，所以①不正确；
②中，把代换上述方程中的，其方程不变，所以曲线关坐标于原点对称，所以②正确；
③中，若点在曲线上，则的面积为，所以③正确；
④中，由曲线，可得，解得，
代入曲线，整理得，解得（舍去），所以，
解得，可得曲线与曲线有且仅有两个公共点，所以④正确.
故选：B.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
13. 【答案】2
【分析】由抛物线的准线方程可直接求解.
【详解】由抛物线，得准线方程为，
由题意，，得．
故答案为：2．
14. 【答案】
【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
15. 【答案】
【详解】试题分析：由题可知，根据圆的标准方程，令，解得，因此,,在中，,,,因此为直角三角形，即,故弦所对的圆心角的大小为；
考点：圆的标准方程
16. 【答案】
【分析】由椭圆定义可得，，从而，进而的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由此能求出动点的轨迹方程．
【详解】为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，
延长至点，使得，
，，
，
的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
动点的轨迹方程为．
故答案为：
17. 【答案】[0，1]
【详解】如图，曲线表示如图所示的半圆，表示过定点的动直线，当动直线在之间时，它与半圆总有公共点，又，，故，也即是.
点睛：注意表示半圆，又本题的实质是动直线与半圆的至少有一个公共点.利用几何意义可以直接求得两个临界值，所求范围在两个临界值之间.
18. 【答案】①③④
【分析】根据定义直接计算①，设点到原点的“折线距离”不大于，即可得到，画出图象，求出面积即可判断②，设即可表示再根据分段函数的性质计算可得③，依题意设，则，再利用点到直线的距离求出的范围，即可判断④；
【详解】解：对于①若则，故①正确；
对于②，设点到原点的“折线距离”不大于，则，即，则点在下图所示的平面区域内，则所围成的区域的面积为，故②错误；
对于③，设，则，函数图象如下所示：则，故③正确；
对于④，因为圆表示以为圆心，为半径的圆，
设，则，令，则
所以，解得，即，故④正确；
故答案为：①③④
三、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（1）联立直线和，可求得点的坐标，利用点斜式可得直线的方程，利用角平分线可得直线的斜率，利用点斜式可写出直线的方程，联立直线的方程可求得交点的坐标.（2）由直线的斜率可得高的斜率，利用点斜式可求得高所在直线方程.
试题解析：
（1）由已知点应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，
由得，故．
由，所以所在直线方程为，
所在直线的方程为，由，得．
（2）由（1）知，所在直线方程，所以所在的直线方程为，即．
20. 【答案】（1），相切
（2）证明见解析
【分析】（1）设过点的切线方程，代入，整理得，令，可得，的坐标，进而可得的中点，根据即可求解圆的方程，从而可判断圆与直线相切；
（2）利用导数法，确定切线的斜率，得切线方程，由此可得直线的方程，从而可得结论；
【小问1详解】
当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，
令，解得，
代入方程得，故得，，
因为的中点，且,
从而过，，三点的圆的圆心为，半径为，
故其方程为．
圆心坐标为，半径为，圆与直线相切
【小问2详解】
由已知得，求导得，切点分别为,，,，
故过点,的切线斜率为，从而切线方程为,即,
又切线过点,，所以得①,即,
同理可得过点,的切线为，
又切线过点,，所以得②即,
即点,,,均满足,故直线的方程为,
又,为直线上任意一点，故对任意成立，
所以，，从而直线恒过定点,
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
21. 【答案】（1）；（2）存在点
【分析】
（1）由题意可得方程解方程后即可得解；
（2）设直线，，，假设存在点，设，由题意，联立方程组表示出、，代入即可得解.
【详解】（1）由题意得，解得:，，.
所以椭圆的标准方程为：.
（2）依题意，若直线的斜率不为零，可设直线，，.
假设存在点，设，由题设，，且，.
设直线，的斜率分别为，，
则，.
因为，在上，
故，，
而轴上任意点到直线，距离均相等等价于“平分”，
继而等价于.
则.
联立，消去得：，
有，.
则，
即，故或（舍）.
当直线的斜率为零时，也符合题意.
故存在点，使得轴上任意点到直线，距离均相等.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆的位置关系及转化化归思想的应用，属于中档题.
22. 【答案】（1）
（2）
【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；
（2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；
【小问1详解】
解：依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
【小问2详解】
解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
