第四章 指数函数、对数函数与幂函数 章末检测练习
一、单选题
1．若函数有三个零点，则实数a的值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知函数，若(互不相等)，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C． D．或
5．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强（Pa）随海拔高度（m）的变化规律是（m-1），是海平面大气压强.已知在某高山两处测得的大气压强分别为，，那么两处的海拔高度的差约为（ ）
（参考数据：）
A．550m B．1818m C．5500m D．8732m
6．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
7．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则、满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．若函数在区间上单调递增，则下列实数可以作为值的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知幂函数的图象经过点，则下列判断中正确的是（ ）
A．函数图象经过点 B．当时，函数的值域是
C．函数满足 D．函数的单调减区间为
12．下列几个说法，其中正确的有（ ）
A．已知函数的定义域是，则的定义域是
B．若函数有两个零点，则实数的取值范围是
C．函数与图像的交点个数是个
D．函数在上是增函数，则的取值范围为
E．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为和，则
三、填空题
13．幂函数f(x)的图象过点(3，9)，则f(4)的值为
14．设函数，若方程恰有4个不同的根，则实数的取值范围为 .
15．已知是定义在R上的偶函数，且，如果当时，，则 .
16．若，则实数的取值范围是 .
四、解答题
17．求值：
（1）
（2）
18．计算与化简
（1）化简
（2）计算
19．化简下列各式：
（1）；（2）
20．化简：
(1)．
(2)；
21．（1）计算：.
（2）化简：且.
22．化简（式中各字母均为正数）：
(1)；
(2)；
(3)．
参考答案：
1．C
【解析】作出函数与的图象，通过图象观察，即可得答案；
【详解】函数有三个零点方程的有三个根函数与函数有三个不同的交点，
作出函数与的图象，如图所示，
（1）当时，显然有三个交点，成立，
（2）当时，与相切时，则，此时
，如图所示
（3）当时，与相切时，则，此时
，如图所示，
的值有个，
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意借助图象的直观性解题.
2．A
【解析】依题意画出函数图象，令，设，
可得，，则，再利用对勾函数的性质计算可得；
【详解】解：作出函数函数的图象，
如图，时，，令，设，则有，，所以，
所以，
因为，因为在上单调递增，所以
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，解答的关键是数形结合分析出几个变量之间的关系，再利用函数的性质计算可得；
3．B
【分析】由换底公式以及对数函数与指数函数的单调性可判断大小关系.
【详解】根据换底公式，．因为，
所以，故．
又，
所以
故选：B.
4．A
【解析】将不等式化为，结合指数函数单调性可化为一元二次不等式，解不等式可求得结果.
【详解】，原不等式可化为，
在上单调递增，，即，
解得：或，
不等式的解集为或.
故选：A.
5．C
【分析】根据以及指数的运算即可求解.
【详解】在某高山两处海拔高度为，
所以，
所以，
所以（m）.
故选：C
6．B
【分析】计算出，的值，根据零点存在性定理即可判断
【详解】解：因为，
又因为函数在定义域上为连续函数，
所以函数的零点所在的区间为，
故选：B
【点睛】此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题
7．D
【分析】利用对数函数的单调性解不等式，注意真数大于零.
【详解】由题意可得，解得．
∴不等式的解集为
故选D
【点睛】本题考查对数型不等式的解法，注意对数函数的单调性以及真数的范围是解题的关键.
8．D
【分析】直接计算得到答案.
【详解】，则.
故选：D
9．ABC
【分析】利用指数式与对数式的互化可得出，，利用换底公式结合对数的运算性质可判断A选项；利用基本不等式可判断BCD选项.
【详解】因为，则，，
对于A选项，，A对；
对于B选项，由A选项可知，，则，即，B对；
对于C选项，，，
所以，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：ABC.
10．CD
【分析】设，由复合函数单调性可确定单调性和在上恒成立，结合二次函数性质可构造不等式组求得的范围，结合选项可得结果.
【详解】设，要使在区间上单调递增，
则需在上单调递增，且在上恒成立，
，解得：，则选项中可以作为的值的是和.
故选：CD.
11．AD
【分析】根据题意，求得函数，结合幂函数与二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，幂函数的图象经过点，
可得，解得，即，
由，可得函数的图象过，所以A正确；
由二次函数的性质，可得函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
又由，所以，所以函数的值域为，所以B错误；
由，可得C错误；
根据二次函数的图象与性质，可得函数开口向上，对称轴为，
所以函数在区间上单调递减，所以D正确.
故选：AD.
12．ABE
【分析】根据函数的定义域，零点，函数单调性和值域的性质依次判断得到答案.
【详解】A. 的定义域满足，解得，故定义域为，正确；
B. 如图所示，画出函数的图像，根据图像知：，正确；
C. 画出函数与图像知有3个交点，故错误；
D. 取得到，不满足定义域，故错误；
E. 设，故，为奇函数.
设在的最大值和最小值互为相反数，故，故正确；
故选：.
【点睛】本题考查了函数的定义域，零点问题，函数的单调性，最值，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力.
13．
【分析】先求得，由此求得.
【详解】设，
，
所以.
故答案为：
14．
【分析】作出的图像，通过数形结合，计算可得结果.
【详解】由已知作出的图像如图所示：
方程恰有4个不同的根等价于有四个不同的交点，
由图可知,,,则只需满足即可.
故答案为：
【点睛】本题考查方程的根的个数问题，通过数形结合转化为图像交点问题，考查分段函数图像的画法，属于中档题.
15．5
【分析】根据题意可得，函数的周期为16，可得，再结合条件即可求出．
【详解】由，得，
又∵是定义在R上的偶函数，
∴，
∴，即
∴函数是周期为16的周期函数，
所以，
又，当时，，
∴.
故答案为：5.
16．
【分析】由题得即，解分式不等式得解.
【详解】由题得，
所以，
所以，
所以，
所以或,
所以a的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，考查分式不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．（1）0；（2）.
【解析】（1）根据对数的运算法则计算化简即可得解；
（2）根据指数幂的运算性质化简求值.
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握对数及指数幂的运算性质，准确化简求值.
18．（1）；（2）1.
【分析】（1）根据指数幂的运算化简求值即可；
（2）根据对数的运算、性质化简求值.
【详解】（1）原式
(2）原式
19．（1）；（2）.
【解析】（1）运用的指数幂的运算公式直接求解即可；
（2）运用的指数幂的运算公式直接求解即可；
【详解】解：（1）；
（2）.
【点睛】本题考查了指数幂的运算法则，考查了数学运算能力.
20．(1)
(2)2
【分析】（1）利用分数指数幂进行计算；（2）利用对数运算公式和换底公式进行计算.
【详解】（1）
（2）
21．（1）（2）
【分析】（1）根据指数幂的运算可得答案；
（2）通分化简计算可得答案.
【详解】（1）
；
（2）
.
22．(1)
(2)
(3)
【分析】利用指数幂运算法则进行运算即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
（3）方法一（从里向外化）
．
方法二（从外向里化）
．
