第六讲 圆锥的体积
1、理解圆锥体积公式的推导过程，掌握圆锥体积的计算公式。
2、运用圆锥体积公式解决简单的实际问题。
1、圆锥的体积计算公式。
圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。
2、圆柱和圆锥的关系。
（1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积。
（2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。
（3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。
掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。
一、选择题
1．如图，把等腰三角形绕它的底边上的高旋转一周，得到的立体图形的体积是（ ）立方厘米。
A．6π B．8π C．18π D．24π
2．把一团圆柱形橡皮泥揉成与它等底的圆锥形，高将（ ）。
A．增加3倍 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的
3．一个圆柱和一个圆锥底面积相等，体积比是1∶2，如果圆柱高3.6厘米，那么圆锥的高是（ ）。
A．1.8厘米 B．7.2厘米 C．10.8厘米 D．21.6厘米
4．把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，体积减少了，原来这个圆柱的底面积是，削成的圆锥的高是（ ）cm。
A．18 B．9 C．12 D．6
5．小红有5个不同形状的积木，如下图（单位：厘米），与圆锥形积木体积相等的是（ ）。
A．① B．② C．③ D．④
6．一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积比圆柱少12立方厘米，圆柱的体积是（ ）立方厘米。
A．6 B．12 C．18 D．24
二、填空题
7．一个圆锥形橡皮泥，底面积是12cm2，高是9cm。如果把它捏成同样底面大小的圆柱，这个圆柱的高是（ ）cm；如果把它捏成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是（ ）cm2。
8．一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆柱形铁块的体积是（ ）立方厘米，现在将它铸造成了一个体积相等的圆锥形零件，圆锥的底面半径是3厘米，那它的高是（ ）厘米。
9．一个圆锥的底面积是一个圆柱底面积的，圆锥的高与圆柱的高之比是6∶5，那么圆锥的体积是圆柱体积的。
10．把一个高6厘米的圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积一共增加24平方厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。
11．一个圆锥的底面周长为18.84分米，高为5分米，它的体积是（ ）立方分米，和它底面积相等，高也相等的圆柱的体积是（ ）立方分米。
12．下面圆锥形杯子最多能盛水（ ）克。（1立方厘米水重1克）将下面圆柱形容器装满水，再将水倒入圆锥形杯子中，最多能倒满（ ）个这样的杯子。
三、计算题
13．计算下面圆柱和圆锥的体积。
14．从下面圆柱形木料中挖去一个圆锥形木块，求剩下木料的体积。
四、解答题
15．一个铁皮粮囤的形状如下图，这个铁皮粮囤的空间是多少立方米？（铁皮的厚度忽略不计）
16．一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都是14厘米，其中有一些水，正放时水面离容器顶部11厘米，倒放时水面离容器顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（）
17．学完《圆柱与圆锥》这一单元后，老师要求每位学生都设计一道可以利用本单元内容解决的题目。以下是奇思设计的题目，请帮忙解答：如图，它是由直角三角形和正方形组成的梯形，梯形的上底和高均为10cm，下底为16cm。当这个梯形以虚线为轴旋转一周后会形成一个立体图形。
（1）请问形成的立体图形的体积是多少？
（2）计算形成立体图形的圆柱部分露在外面的面的面积是多少？
18．长征二号运载火箭顶部是逃逸塔发动机部分，为研究方便制作了一个模型（如图），它的下底面直径是6分米，上底面直径是3分米，高8分米，这个模型的体积是多少立方分米？
19．国家统计局数据显示，2022年我国全年粮食产量13731亿斤，比上年增加74亿斤，增长0.5%。这是我国粮食产量连续八年稳定在1.3万亿斤以上，也是连续十九年获得丰收。某种粮专业户把小麦堆成了一个圆锥形，高是3米，底面周长是25.12米。如果每立方米小麦大约重0.8吨，这堆小麦大约重多少吨？
20．王大伯用一块长方形铝皮和一块圆形铝皮做一个无盖的水桶。
（1）王大伯至少需要准备多少平方分米铝皮？（接头处忽略不计）
（2）王大伯先往这个水桶里倒入适量的水，测得水深是0.13米，接着又将一个底面积为3平方分米的圆锥形铁块完全浸没在水中，并测得此时水深是1.5分米，这个圆锥形铁块的体积是多少立方分米？
参考答案
1．A
【分析】等腰三角形绕它的底边上的高旋转一周，可以得到一个圆锥，这个圆锥的底面半径是3厘米，高是2厘米，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，用π×32×2×即可求出圆锥的体积。
【详解】π×32×2×
＝π×9×2×
＝6π（立方厘米）
得到的立体图形的体积是6π立方厘米。
故答案为：A
【分析】本题考查了圆锥的体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。
2．B
【分析】等体积等底面积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此分析。
【详解】把一团圆柱形橡皮泥揉成与它等底的圆锥形，同一块橡皮泥，说明圆柱和圆锥体积相等，高将扩大到原来的3倍。
故答案为：B
3．D
【分析】根据圆锥体积公式：V圆锥＝S圆锥h圆锥，可得：h圆锥＝3V圆锥÷S圆锥；根据圆柱体积公式：V圆柱＝S圆柱h圆柱，可得：h圆柱＝V圆柱÷S圆柱；已知S圆柱＝S圆锥，V圆柱∶V圆锥＝1∶2，由此利用圆柱和圆锥的体积公式推理得出它们的高的比，据此答题即可。
【详解】由分析可得：
S圆锥＝S圆柱，则S圆锥∶S圆柱＝1∶1，
V圆柱∶V圆锥＝1∶2
h圆锥∶h圆柱＝（3V圆锥÷S圆锥）∶（V圆柱÷S圆柱）
＝（3×2÷1）∶（1÷1）
＝（6÷1）∶1
＝6∶1
即该圆锥的高是圆柱的高的6倍，圆锥高为：
3.6×6＝21.6（厘米）
故答案为：D
【分析】本题考查了对圆柱和圆锥体积公式的灵活运用，解答本题的关键是求出圆锥和圆柱的高的比是多少，从而求出圆锥的高。
4．D
【分析】把一个圆柱木料削成一个最大的圆锥，也就是削成的圆锥与圆柱等底等高，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以把一个圆柱木料削成一个最大的圆锥，减少的体积相当于圆锥体积的（3－1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝Sh，那么h＝3V÷S，把数据代入公式解答。
【详解】36÷（3－1）×3÷9
＝36÷2×3÷9
＝18×3÷9
＝54÷9
＝6（cm）
所以：把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，体积减少了，原来这个圆柱的底面积是，削成的圆锥的高是6cm。
故答案为：D
【分析】此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
5．C
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。
【详解】由分析可知：
12×＝4（厘米）
所以与圆锥积木体积相等是图③。
故答案为：C
【分析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用。
6．C
【分析】等底等高的圆柱体和圆锥体，圆柱体的体积是圆锥体的3倍，根据题意，圆锥的体积比圆柱少12立方厘米，即圆柱和圆锥的体积相差12立方厘米，由此设圆锥体的体积为x立方厘米，则圆柱体的体积为3x立方厘米，圆柱和圆锥体积相差12立方厘米，列方程：3x－x＝12，解方程，即可解答。
【详解】解：设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米。
3x－x＝12
2x＝12
x＝12÷2
x＝6
6×3＝18（立方厘米）
一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积比圆柱少12立方厘米，圆柱的体积是18立方厘米。
【分析】解答本题的关键是明确等底等高的圆柱和圆锥的体积关系。
7．3 4
【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆柱的体积等于圆锥的体积，底面积相等，则圆柱的高＝圆锥的高×；圆柱的体积等于圆锥的体积，高相等，则圆柱的底面积＝圆锥的底面积×，据此解答。
【详解】9×＝3（cm）
12×＝4（cm2）
一个圆锥形橡皮泥，底面积是12cm2，高是9cm。如果把它捏成同样底面大小的圆柱，这个圆柱的高是3cm；如果把它捏成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是4cm2。
【分析】明确体积相等的圆柱与圆锥之间的关系是解答本题的关键。
8．113.04 12
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出圆柱的体积，因为圆柱的高＝体积÷底面积，圆锥的高＝体积×3÷底面积，所以当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱的3倍，据此解答。
【详解】3.14×32×4
＝3.14×9×4
＝113.04（立方厘米）
4×3＝12（厘米）
圆柱形铁块的体积是113.04立方厘米，圆锥的高是12厘米。
【分析】本题主要考查了圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。
9．
【分析】圆锥的底面积是一个圆柱底面积的，可以表示为；圆锥的高与圆柱的高之比是6∶5，圆锥的高是圆柱高的，可以表示为；再结合圆锥的体积＝，圆柱的体积＝，代入相应的关系式求解，据此解答。
【详解】圆锥的体积＝
圆柱的体积＝
因为，，
所以圆锥的体积＝
所以圆锥的体积÷圆柱的体积
＝（）÷
＝（）÷1
＝÷1
＝
因此圆锥的体积是圆柱体积的。
10．25.12
【分析】根据题意可知，增加的面积是2个底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高的三角形面积，用增加的面积÷2，求出一个三角形的面积，再根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，底＝面积×2÷高，代入数据，求出三角形的底，也就是圆锥的底面直径，进而求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。
【详解】24÷2×2÷6
＝12×2÷6
＝24÷6
＝4（厘米）
3.14×（4÷2）2×6×
＝3.14×4×6×
＝12.56×6×
＝75.36×
＝25.12（立方厘米）
把一个高6厘米的圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积一共增加24平方厘米，圆锥的体积是25.12立方厘米。
【分析】解答本题的关键明确增加的面积是两个三角形的面积和，以及三角形的底和高与圆锥的底面直径和高的关系。
11．47.1 141.3
【分析】圆锥的底面周长已知，利用周长÷3.14÷2得半径长度，进而求得圆锥的底面积，再利用圆锥的体积公式：，求得圆锥的体积。再根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，计算出圆柱的体积。
【详解】18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（分米）
3×3×3.14×5×
＝15×3.14
＝47.1（立方分米）
47.1×3＝141.3（立方分米）
圆锥的体积是（47.1）立方分米，和它底面积相等，高也相等的圆柱的体积是（141.3）立方分米。
【分析】此题主要考查圆柱和圆锥的体积计算方法，关键是理解等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的。
12．12.56 6
【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形杯子的体积；再乘1，即可求出这个水杯最大盛水多少克；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱形容器的体积，再用圆柱形容器的体积÷圆锥形水杯的体积，即可解答。
【详解】3.14×（4÷2）2×3××1
＝3.14×4×3××1
＝12.56×3××1
＝37.68××1
＝12.56×1
＝12.56（克）
[3.14×（4÷2）2×6]÷12.56
＝[3.14×4×6]÷12.56
＝[12.56×6]÷12.56
＝75.36÷12.56
＝6（个）
下面圆锥形杯子最多能盛水12.56克。（1立方厘米水重1克）将下面圆柱形容器装满水，再将水倒入圆锥形杯子中，最多能倒满6个这样的杯子。
【分析】熟练掌握圆柱的体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。
13．9420cm3；0.2355m3
【分析】第一个图形是求底面直径是20cm，高是30cm的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答；
第二个图形是求底面半径是0.5m，高是0.9m的圆锥的体积，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×（20÷2）2×30
＝3.14×102×30
＝3.14×100×30
＝314×30
＝9420（cm3）
3.14×0.52×0.9×
＝3.14×0.25×0.9×
＝0.785×0.9×
＝0.7065×
＝0.2355（m3）
14．471立方厘米
【分析】求剩下木料的体积，就是底面直径是10厘米，高是8厘米的圆柱的体积减去底面直径是10厘米，高是6厘米的圆锥的体积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×（10÷2）2×8－3.14×（10÷2）2×6×
＝3.14×25×8－3.14×25×6×
＝78.5×8－78.5×6×
＝628－471×
＝628－157
＝471（立方厘米）
15．30.144立方米
【分析】观察图形可知，这个铁皮粮囤的体积等于底面直径是4米，高是2米的圆柱的体积加上底面直径是4米，高是1.2米的圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×（4÷2）2×2＋3.14×（4÷2）2×1.2×
＝3.14×4×2＋3.14×4×1.2×
＝12.56×2＋12.56×1.2×
＝25.12＋15.072×
＝25.12＋5.024
＝30.144（立方米）
答：这个铁皮粮囤的空间是30.144立方米。
【分析】熟练掌握圆柱的体积公式、圆锥的体积公式是解答本题的关键。
16．2499立方厘米
【分析】已知圆柱的底面直径和高，只需要求出圆锥高即可。根据正放时水面离容器顶部11厘米，假设圆锥部分的高为厘米，如下图，则正放时空气部分的体积相当于高为的圆锥的体积加上高为（11－）的圆柱部分的体积。而圆柱和圆锥是等底的，根据等底的圆柱和圆锥的体积关系，高为的圆锥体积也可以看成是高为的圆柱的体积，这样正放时空气部分的体积相当于高为的圆柱体积。因为无论正放、倒放，空气体积是不变的，所以这一部分空气体积，也等于倒放时高为5厘米的圆柱的体积。因为圆柱的底面始终一样，所以两部分圆柱的高一定是相等的，即，解方程即可求得的值。再根据圆柱、圆锥的体积公式即可求得这个容器的容积。
【详解】解：设圆锥的高为厘米，
体积：
（立方厘米）
答：这个容器的容积是2499立方厘米。
17．（1）3768cm3
（2）942cm2
【分析】（1）根据题意可知，形成的立体图形是一个底面半径为10cm，高是10cm的圆柱体与底面半径10cm，高是（16－10）cm的圆锥体的组合图形，根据圆柱的体积公式：底面积×高，圆锥的体积公式：底面积×高×，代入数据，即可求出立体图形的体积；
（2）求露在外面圆柱部分的面积就是求去掉一个底面积的圆柱的表面积；根据圆柱的表面积面积公式：底面积＋侧面积，代入数据，即可解答。
【详解】（1）3.14×102×10＋3.14×102×（16－10）×
＝3.14×100×10＋3.14×100×6×
＝314×10＋314×6×
＝3140＋1884×
＝3140＋628
＝3768（cm3）
答：形成的立体图形的体积是3768cm3。
（2）3.14×102＋3.14×10×2×10
＝3.14×100＋31.4×2×10
＝314＋62.8×10
＝314＋628
＝942（cm2）
答：形成立体图形的圆柱部分露在外面的面的面积是942cm2。
【分析】解答本题的关键是明确旋转后所形成的图形，以及圆柱、圆锥的体积公式、圆柱的表面积公式的应用。
18．131.88立方分米
【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出大小两个圆锥的体积差即可。
【详解】×3.14×（6÷2）2×（8×2） ×3.14×（3÷2）2×8
＝×3.14×9×16－×3.14×2.25×8
＝150.72－18.84
＝131.88（立方分米）
答：这个模型的体积是131.88立方分米。
【分析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
19．40.192吨
【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆锥形小麦堆的底面半径，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出这堆小麦的体积，再乘0.8，即可解答。
【详解】25.12÷3.14÷2
＝8÷2
＝4（米）
3.14×42×3××0.8
＝3.14×16×3××0.8
＝50.24×3××0.8
＝150.72××0.8
＝50.24×0.8
＝40.192（吨）
答：这堆小麦大约重40.192吨。
【分析】熟练掌握和灵活运用圆的周长公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。
20．（1）15.7平方分米
（2）0.628立方分米
【分析】（1）求王大爷至少需要准备多少平方分米的铝皮，就是求这个无盖的圆柱的表面积；观察图形可知，这个圆柱的底面直径是2分米，圆柱的高是2分米，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答。
（2）水面上升的部分的体积就是圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。
【详解】（1）3.14×（2÷2）2＋3.14×2×2
＝3.14×12＋6.28×2
＝3.14×1＋12.56
＝3.14＋12.56
＝15.7（平方分米）
答：王大爷至少需要准备15.7平方分米的铝皮。
（2）0.13米＝1.3分米
3.14×（2÷2）2×（1.5－1.3）
＝3.14×12×0.2
＝3.14×1×0.2
＝3.14×0.2
＝0.628（立方分米）
答：这个圆锥形铁块的体积是0.628立方分米。
【分析】解答本题的关键是确定出圆柱形无盖的水桶的高与底面半径，再利用圆柱的表面积以及圆柱的体积公式进行解答，注意单位名数的统一。
