专题10 辅助圆
模型一 定点定长作圆
已知：平面内，点A 为定点，点B 为动点，且AB长度固定
结论：点B 的轨迹是以点A 为圆心，AB长为半径的圆
已知:OA=OB=OC
结论:点A,B,C均在⊙O上
(拓展1) 已知:在矩形 ABCD中,点E 是 AB 边上的定点,点F是BC边上一点,将△BEF沿EF所在直线折叠得到△B'EF
结论：点B'的运动轨迹是以点E为圆心，BE长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧)
(拓展2) 已知:将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°得到 △AB'C'
结论：点B(C)的运动轨迹是以点A 为圆心，AB (AC)长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧)
例1 如图，在 中, 点 P是平面内一个动点，且 Q 为 BP的中点，在P 点运动过程中，设线段 CQ的长度为m，则m的取值范围是_______________.
解题思路 取AB 的中点M，连接QM，CM,分析可知点 C,点 M 是定点,点Q 是动点，且点Q 在以 M 为圆心，QM 长为半径的圆上运动，当C，M，Q三点共线且点Q 在线段 CM 上时，m取得最小值，当点Q 在射线 CM 上时，m取得最大值.
模型二 定弦定角作圆
已知:在△ABC中,AB的长为定值a,∠C=α为定角度
结论：1.确定点C的运动轨迹，有三种情况：(1)如 图①,当α<90°时,点C的运动轨迹为优弧ACB (不含点A、B);⑵如图②,当 α=90°时,点C的运 动轨迹为⊙O(不含点A、B);(3)如图③,当α>90°时，点C的运动轨迹为劣弧AB(不含点A、B)； 2.构成等腰三角形(AC=BC)时,点C到AB的距离最大，此时△ABC的面积最大
弦AB 为直径
例2 在中, 点 D 为平面上一个动点， 则线段 CD 长度的最小值为_________.
解题思路 根据作的外接圆⊙O,连接OA,OB,OC,当O,D,C三点共线时,CD 的长度取得最小值，将问题转化为点圆最值问题.证得 是等腰直角三角形，OB过O作 于点 H,易得 由勾股定理求得 OC 的长度，进而求出CD 长度的最小值.
模型三 定角定高作圆
已知:在△ABC中,∠BAC=α(定角),AD是BC 边 上的高,且AD=h(定高)
结论:构成等腰三角形(AB=AC)时,(1)BC的长最 小;(2)△ABC的面积最小;(3)△ABC的周长最小
例 3 某园林单位要在一个绿化带内开挖一个形如的工作面，使得CD是AB边上的高,且则的面积的最小值是__________.
解题思路 作的外接圆⊙O，连接OA,OB,OC,作( 于点 E,设根据圆周角定理和等腰三角形的性质得 由三角形三边关系可求x的最小值，最后根据三角形面积公式求解.
专项训练
1.如图,在矩形ABCD中,已知. 点 P 是 BC边上一动点(点 P 不与 B,C 重合)，连接AP，作点B 关于直线AP的对称点 M，则线段MC长度的最小值为( )
A.2 C.3
第1题图 第2题图
2.如图,四边形ABCD为矩形, 点P 是线段BC上一动点，点M为线段 AP 上一点，,则BM长度的最小值为 ( )
3.如图,在Rt△ABC中,点D 为AB的中点,点P在AC上, 且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P 的对应点为点Q，连接AQ，DQ.当 时,AQ的长为___________.
第3题图 第4题图
4.如图,在四边形ABCD中, 连接BD, 且 求四边形ABCD面积的最大值.小明过点C作交AB的延长线于点H，连接DH，则的正弦值为____________，据此可得四边形ABCD面积的最大值为____________.
5.在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 A 的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上(点B、C除外)， .小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1).
(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.
①该弧所在圆的半径长为____________；
面积的最大值为____________；
(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为 请你利用图1证明.
(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：
如图2，已知矩形ABCD的边长. 点P在直线CD的左侧，且
①线段 PB长的最小值为___________；
②若则线段 PD长为___________.
巩固练习
1.如图,已知. 内接于半径为1的⊙O, (θ是锐角),则 的面积的最大值为 ( )
2.如图，在边长为6的等边 中,点 E,F 分别是边AC,BC上的动点,且 连接 BE,AF 交于点 P,连接CP,求 CP长度的最小值.
3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点M(a,b),N.对于点 P 给出如下定义:将点 P 向右或向左 平移|a|个单位长度，再向上或向下 平移|b1个单位长度，得到点点 P'关于点 N 的对称点为 Q,称点 Q 为点 P 的“对应点”.
(1)如图,点 M(1,1),点 N 在线段 OM 的延长线上，若点 点Q 为点 P 的“对应点”.
①在图中画出点 Q；
②连接 PQ,交线段 ON 于点 T,求证:
(2)⊙O的半径为1,M是⊙O上一点,点 N在线段OM上,且 若P为⊙O 外一点,点Q 为点 P 的“对应点”,连接 PQ,当点 M 在⊙O 上运动时直接写出 PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示).
参考答案
例 1 答案
解析 如图，取 AB 的中点 M，连接QM,CM,
在 中,
∵ 点 M 是 AB 的中点,
∵ 点 Q 是 PB的中点,点 M 是 AB 的中点,∴QM 是 的中位线，
在 中,
∵点C,点M 是定点,点 Q 是动点,且点 Q 在以点 M 为圆心,QM 长为半径的圆上运动，
∴当C,M,Q三点共线,且点 Q 在线段 CM 上时，m取得最小值
当C，M，Q三点共线，且点 Q 在射线CM 上时，m取得最大值
综上，m的取值范围为
例2 答案
解析 如图，作△ABD 的外接圆⊙O,连接 OA,OB,OC,OC 与⊙O 交于点 D'.
CD'的长度即为 CD长度的最小值.
∵∠ADB=45°,∴∠AOB=90°.易得(
过 O 作 OH⊥BC 于点 H,易得 BH=OH=1,∴CH=BC-BH=3-1=2.
在 Rt△OHC 中,
∴线段CD长度的最小值为
例3 答案
解析 如图，作出△ABC的外接圆，设其为⊙O,连接 OA、OB、OC,作OE⊥AB于E,设OA=OC=2x.
∵∠AOB=2∠ACB,∠ACB=60°,∴∠AOB=120°,
又∵OA=OB,OE⊥AB,∴AE=EB,∠AOE=∠BOE=60°,则
即x的最小值为2.
∵ E 为 AB 的中点,
故AB 的最小值为 的最小值为
专项训练
1. A 连接 AM.
∵ 点 B 和点 M关于直线 AP对称,
∴M在以A为圆心，3 为半径的圆上,∴ 当A,M,C三点共线时,CM的长最小.
∴ CM≥5-3=2.
即线段 MC 长度的最小值为2.
2. D 在矩形 ABCD中, ∥
又∵ ∠ADM=∠PAB,∴ △ADM∽
∴点 M在以AD为直径的圆上.
如图，设AD的中点为 E，连接BE,与⊙E 的交点为 M,此时 BM的长度最小.
在 中,
故BM长度的最小值为 故选 D.
3.答案 或
解析 点 D 为 AB 的中点,且 ∴DQ 是 AB 的垂直平分线且经过点 C，
∴当点 Q 在 Rt△ABC 内部时,记为 由勾股定理得 当点 Q 在Rt△ABC外部时,记为( +1 = 3,由勾 股定 理得 ∴AQ的长为 或
难点突破
由于点Q在以 C为圆心，CP 长为半径的圆上且 DQ 垂直平分 AB，因而考虑两种情况：
①点Q 在 Rt△ABC 内部;②点Q在 Rt△ABC 外部,分别求解即可.
4.答案
解析 ∵HC⊥AB,BD⊥AB,∴HC∥BD,
∵∠BCD=60°,BD=CD,∴△BCD是等边三角形,∴∠CBD=60°,
∵BD⊥AB,
在 Rt△BDH 中,
在 Rt△BCH中,
易知
如图， ∥∴(h 为中AD边上的高)，
求 的最大值，即求 的最大值，又 AD 的长为定值，故当AD 边上的高最长时,S△ADH最大,
∴可作 的外接圆，设其圆心为O，过点O作 连接AO,DO,设⊙O 的半径为 R,延长 EO 交⊙O于点 H',
∵∠AOD 与∠AHD 分别是同弧所对的圆心角、圆周角，
当H'与 H 重合时,S△ADH最大,的最大值为
5.解析 (1)①2.
详解:设圆心为 O,连接 BO,CO,
又
是等边三角形， 即半径为2.
②
详解： 以BC 为底边,BC
∴当点 A 到 BC 的距离最大时,的面积最大，
如图，过点 O 作 BC 的垂线，垂足为 M,延长MO,交圆于 N,
面积的最大值为
(2)证明：如图，延长 交圆于点 H,连接CH,
∵点 H 在圆上,
即
详解:如图,当点P 在BC上,且PC时,
∵∠PCD=90°,AB=CD=2,AD=BC=3,为定值，
连接PD，设点Q为PD的中点，以点Q为圆心， 长为半径画圆，
当点 P在优弧 CPD 上时,连接BQ，与圆Q交于 此时 的长度即为 BP长度的最小值，过点 Q 作 垂足为 E,
∵点Q 是 PD的中点,∴ 点 E 为 PC 的中点,即
∴圆Q的半径为
即 BP长的最小值为
②
详解：
又 ∴△PAD 中AD边上的高=△PCD中 CD边上的高,即点 P 到AD 的
距离和点P 到CD的距离相等，∴点P在∠ADC的平分线上,如图,过点 C 作 CF ⊥ PD,垂足为 F,∵ DP 平分∠ADC,∴ ∠ADP =∴△CDF 为等腰直角三角形，又
巩固练习
1. D 当中，BC边上的高经过圆的圆心时， 的面积最大，记此时点A 为点. BC边上的高为 如图所示.连接OB.
在 中,
∴BD=sinθ,OD=cosθ,∴ BC=2BD=2sinθ,A'D=A'O+OD=1+cosθ,
(1+cos θ)= sinθ(1+cosθ).故选 D.
2.解析 ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC=BC,∠CAB=∠ACB=60°,
在△ABE 和△CAF中, ∴△ABE≌△CAF(SAS),
∴∠ABE=∠CAF,∴∠BPF=∠PAB+∠ABP=∠CAP+∠BAP=60°,∴∠APB=120°,
如图,过A,P,B三点作⊙O,连接CO,PO,AO,BO.
∴点 P在劣弧AB上运动，
∵AO=OP=OB,∴∠OAP=∠OPA,∠OPB=∠OBP,∠OAB=∠OBA,
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OPA-∠OPB-∠OBP=120°,∴∠OAB=30°,∴∠CAO=90°,
∵AC=BC,OA=OB,∴CO垂直平分AB,∴∠ACO=30°,
在△CPO中,CP≥CO-OP,∴当点 P 在线段 CO 上时,CP的长度有最小值，
∴CP长度的最小值
3.解析 (1)①点Q 如图所示.
②证明：依题意可知 的坐标为 P 的坐标为
∵P'和Q关于点 N对称,
(2)4t-2.
详解: ∵ M 是 ⊙O 上一 点,PP'∥
∴ P'在以点 P 为圆心,1 为半径的圆上，作点 P 关于点 O 的对称点S,点 P'关于点 M 的对称点 T, 则点 Q 在以点S 为圆心的圆上，
∵M、N分别为 的中点，
∵Q在以S为圆心，半径为 1的圆上运动，
= 2r=4t-2.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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