2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第二部分 29套单元达标检测试卷
28 锐角三角函数单元达标检测试卷
（试卷满分120分，答题时间120分钟）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列计算结果，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可．
A、，该选项错误；
B、，该选项错误；
C、，该选项正确；
D、，该选项错误．
【点睛】本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2． 计算：cos245°+sin245°=（ ）
A． B． 1 C． D．
【答案】B
【解析】考点是 特殊角的三角函数值．首先根据cos45°=sin45°=，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
∵cos45°=sin45°=，
∴cos245°+sin245°
=
==1．故选：B．
3.如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】连接CD,由的半径为.得AD=3.
=
4. 如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴．
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．
5. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】A
【解析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解．
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα=，
∴BC= sinαAB=12 sinα（米）．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
6. 如图，是的高，若，，则边的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB．
∵，
∴，
∵直角中，，
∴，
∴直角中，由勾股定理可得，．
【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．
7. （2023湖北十堰）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】D
【解析】在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度．
在中，，，
∴米，
在中，，，
∴，
∴（米），
∴（米）
故选：D．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BC，
∴
∵AE：EB=4：1，
∴=5，
∴=，
设AB=2x，则BC=x，AC=x．
∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．
则tan∠CFB==．
9. 在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】,
设BC=k,则AC=3k,
由勾股定理得
10．如图，从点C观测点D的仰角是（ ）
A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC
【答案】B
【解析】∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，
∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，故选：B．
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1. sin30°的值为_____．
【答案】
【解析】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=．
2. 如图，在矩形中，为上的点，，，则______．
【答案】或者
【解析】设，
在矩形中，为上的点，，，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求正切，掌握正确的定义是解题的关键．
3. 在中，，分别为的对边，若，则的值
为______．
【答案】
【解析】如图所示：
在中，由勾股定理可知：，
，
，
， ，，
，即：，
求出或（舍去），
在中：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中， ，，．
4. 在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为_______．
【答案】或9或3
【解析】分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°，
∴，
∴，
当点P在线段AB上时，如图，
∵，
∴∠BPC=90°，即PC⊥AB，
∴；
当点P在AB的延长线上时，
∵，∠PBC=∠PCB+∠CPB，
∴∠CPB=30°，
∴∠CPB=∠PCB，
∴PB=BC=3，
∴AP=AB+PB=9；
当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图，
∴，
∵，
∴∠APC=60°，
∴∠ACP=60°，
∴∠APC=∠PAC=∠ACP，
∴△APC为等边三角形，
∴PA=AC=3．
综上所述，的长为或9或3．
【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．
5. （2023山东枣庄）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架米，可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面的距离为___________米．（结果保留根号）
【答案】##
【解析】【分析】过点作于点，过点作交于点，交于点，易得四边形为矩形，分别解，，求出长，利用进行求解即可．
【详解】过点作于点，过点作交于点，交于点，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴；
∴，
在中，，，
∴；
∴（米）；
故答案为：．
【点睛】考查解直角三角形的实际应用，矩形性质与判定．解题关键是添加辅助线，构造直角三角形．
6. （2023山东济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是_________．
【答案】##
【解析】结合三角形外角和等腰三角形的判定求得，然后根据特殊角的三角函数值解直角三角形．
由题意可得：四边形，四边形，四边形均为矩形，
∴，，
在Rt中，，
在Rt中，，
∴，
∴，
∴，
Rt中，，即，
解得，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
7. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．
【答案】
【解析】根据代入进行计算即可．
=
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
8. 回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，．已知测角仪的高度为，则大雁雕塑的高度约为_________．（结果精确到．参考数据：）
【答案】10.2
【解析】先根据三角形外角求得，再根据三角形的等角对等边得出BF=DF=AE=10m，再解直角三角形求得BG即可求解．
∵且，
∴，
∴，
即．
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、等腰三角形的判定、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的判定和解直角三角形的解题方法是解答的关键．
9. 如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为_______．
【答案】
【解析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后根据正切的定义即可得．
如图，由题意得：，
，
，
，
同理可得：，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．
10. （2023深圳）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则______．
【答案】
【解析】【分析】于点M，于点N，则，过点G作于点P，设，根据得出，继而求得，，，再利用，求得，利用勾股定理求得，，故，
【详解】由折叠的性质可知，是的角平分线，，用证明，从而得到，设，则，，利用勾股定理得到即，化简得，从而得出，利用三角形的面积公式得到：．
作于点M，于点N，则，
过点G作于点P，
∵于点M，
∴，
设，则，，
又∵，，
∴，，，
∵，即，
∴，，
中，，，
设，则
∴
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
化简得：，
∴，
∴
故答案是：．
【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
三、解答题（6个小题，共60分）
1. （8分）先化简，再求值：，其中
【答案】，0
【解析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算．
；
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2. （8分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan, 即ctan=
根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30 = ；
（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
【答案】（1）（2）
【解析】可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30 ；tanA=，为了计算方便，可以设BC=3 ，AC=4根据余切定义就可以求出ctanA的值．
（1）设BC=1, ∵α=30
∴AB=2
∴由勾股定理得：AC=
ctan30 ==
(2) ∵tanA=
∴设BC=3 AC=4
∴ctanA==
3.（10分）（2023黑龙江绥化）如图，直线和为河的两岸，且，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸的点测得，从点沿河岸的方向走米到达点，测得．
（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）
（2）若从D点继续沿的方向走米到达P点．求的值．
【答案】（1）河两岸之间的距离是米 （2）
【解析】【分析】（1）过点作于点，设米，在中，，在中，，根据，建立方程，解方程即可求解；
（2）根据题意求得的长，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）如图所示，
过点作于点，设米，
∵
∴，
∴，
在中，，
∴
∴
解得：
答：河两岸之间的距离是米；
（2）如图所示，
依题意，，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
4. （10分）（2023湖北随州）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）
（1）求点D到地面的距离；
（2）求该建筑物的高度．
【答案】（1）5米 （2）米
【解析】【分析】（1）过点D作，根据坡角的概念及含直角三角形的性质分析求解；
（2）通过证明，然后解直角三角形分析求解．
【详解】（1）过点D作，
由题意可得，
∴在Rt中，，
即点D到地面的距离为5米；
（2）如图，
由题意可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴在Rt中，，即，
解得，
在Rt中，，即，
解得，
答：该建筑物的高度为15米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5. （12分）（2023湖南永州）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示），寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面上D处为陈树湘雕拍照，相机支架高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为，然后将相机架移到处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）
【答案】1.5
【解析】【分析】如图，，，四边形，四边形是矩形，四边形是矩形，中，，，，中，，，所以，进一步求得，所以．
【详解】如图，米，米
四边形，四边形是矩形，四边形是矩形
∴米，
∵中，，
∴米，
∴米
∵中，，
∴
∴米
∴米
∴米
【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，观察图形，确定组合图形中，通过直角三角形、矩形之间的位置关系确定线段间的数量关系是解题的关键．
6. （12分）（2023贵州省）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）
（1）求索道的长（结果精确到）；
（2）求水平距离的长（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）根据的余玄直接求解即可得到答案；
（2）根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出C到的距离即可得到答案；
【详解】（1）∵两处的水平距离为，索道与的夹角为，
∴；
（2）∵、两段长度相等，与水平线夹角为，
∴，，
∴；
【点睛】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第二部分 29套单元达标检测试卷
28 锐角三角函数单元达标检测试卷
（试卷满分120分，答题时间120分钟）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列计算结果，正确的是（ ）
A. B. C. D.
2． 计算：cos245°+sin245°=（ ）
A． B． 1 C． D．
3.如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，
的值是（ ）
A． B． C． D．
4. 如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6. 如图，是的高，若，，则边的长为（ ）
A. B. C. D.
7. （2023湖北十堰）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ）
A． B． C． D．
9. 在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
10．如图，从点C观测点D的仰角是（ ）
A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1. sin30°的值为_____．
2. 如图，在矩形中，为上的点，，，则______．
3. 在中，，分别为的对边，若，则的值
为______．
4. 在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为_______．
5. （2023山东枣庄）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架米，可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面的距离为___________米．（结果保留根号）
6. （2023山东济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是_________．
7. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．
8. 回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，．已知测角仪的高度为，则大雁雕塑的高度约为_________．（结果精确到．参考数据：）
9. 如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为_______．
10. （2023深圳）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则______．
三、解答题（6个小题，共60分）
1. （8分）先化简，再求值：，其中
2. （8分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan, 即ctan=
根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30 = ；
（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
3.（10分）（2023黑龙江绥化）如图，直线和为河的两岸，且，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸的点测得，从点沿河岸的方向走米到达点，测得．
（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）
（2）若从D点继续沿的方向走米到达P点．求的值．
4. （10分）（2023湖北随州）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）
（1）求点D到地面的距离；
（2）求该建筑物的高度．
5. （12分）（2023湖南永州）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示），寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面上D处为陈树湘雕拍照，相机支架高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为，然后将相机架移到处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）
6. （12分）（2023贵州省）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）
（1）求索道的长（结果精确到）；
（2）求水平距离的长（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
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