湘教版2023-2024八年级上期末模拟试题4
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B． C． D．
如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD
下列实数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．3
不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2
如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（ ）
A．32° B．58° C．74° D．75°
方程＝的解是（ ）．
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE的值是（ ）
A．1：2 B．1： C．2：5 D．3：8
1 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
分式方程=1的解为 ．
解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为 ．
代数式有意义，则x的取值范围是 ．
如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3的度数为 度．
如图，在中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果，，的面积为18，则的面积为________．
如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 ．
1 、解答题（本大题共8小题，共66分）
计算：．
解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
先简化，再求值： ，其中
如图．已知角△ABC，∠B＝48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作图痕迹，不写作法）
如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
甲 7200
乙 3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．
（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．
（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A．C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．
某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖，乙超市全部按标价的8折售卖．
（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元，乙超市的购物金额为 元，
（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形．
（1）问题发现：
如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．
①求证：△ACD≌△BCE ，
②求∠AEB的度数．
（2）类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．
答案解析
1 、选择题
【考点】合并同项类，负整数指数幂，积的乘方，单项式除以单项式
【分析】利用合并同项类，负整数指数幂的运算法则，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则对各选项进行运算即可．
解：、和不是同类项，不能合并，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，解答的关键是对合并同类项的法则，积的乘方的法则，负整数指数幂的法则，单项式除以单项式的法则的掌握与运用．
【考点】三角形的高的定义
【分析】根据三角形的高的定义，过顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段为三角形的高，观察各选项直接选择答案即可．
解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选D．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．
解：A．不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意，
B、由AC∥BD可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意，
C、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意，
D、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
注意：AAA．SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【考点】实数的大小比较
【分析】直接根据实数的大小比较法则比较数的大小即可．
解：，，，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
【考点】解一元一次不等式组，在数轴表示不等式组的解集
【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后在数轴上表示，再加以对照，即可得出正确选项．
解：
不等式①的解集为
不等式②的解集为x<-5．
在数轴上表示为：
∴原不等式组无解．
故选：D
【点评】本题考查了不等式组的解法和用数轴表示不等式组的解集的知识点，熟知不等式组的解法步骤是解题的关键．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围；
解：由题意可知：
∴解得：x≥2
故选（B）
【点评】本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件,本题属于基础题型。
【考点】角平分线的性质．
【分析】先根据角平分线的性质得出PC=PD，再利用HL证明△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质得出∠CPO=∠DPO，OC=OD．
解：∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，
∴PC=PD，故A正确；
在Rt△OCP与Rt△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．
不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．
故选B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质，得出PC=PD是解题的关键．
【考点】等腰三角形的性质，平行线的性质．
【分析】由CA＝CB可得△ABC是等腰三角形，从而可求∠CBA的大小，再结合平行线的性质即可解答．
解：∵CA＝CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣32°）÷2＝74°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠CBA＝74°．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握性质是解题关键．
【考点】解分式方程
【分析】根据解分式方程的方法求解，即可得到答案．
解：∵＝
∴
∴
经检验，当时，与均不等于0
∴方程＝的解是：x＝3
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程的知识点；解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，从而完成求解．
【考点】作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形．
【分析】先证明△CDE是Rt△，再含30度角的直角三角形DE：CE的值，再根据三角形的面积公式求解．
解：由作图可知△ABE≌△ADE,BE=DE
∵∠ABC＝90°，∴∠ADE＝90°，
∴△CDE是Rt△，
∵∠BAC＝90°，∴∠C=30°
∴DE：CE＝1：2，
∴BE：CE＝1：2，
∴S△BDE：S△CDE＝1：2，
故选：A．
【点评】本题考查了基本作图，掌握线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形及三角形的面积公式是解题的关键．
1 、填空题
【考点】解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：两边都乘以x+4，得：3x=x+4，
解得：x=2，
检验：x=2时，x+4=6≠0，
所以分式方程的解为x=2，
故答案为：x=2．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：解不等式①，得x＞﹣2．
解不等式②，得x≤3．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为﹣2＜x≤3，
故答案为：x＞﹣2，x≤3，﹣2＜x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【考点】二次根式有意义的条件．分式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．
解：由题意可知：
∴x≤且x≠2，
∴x的取值范围为：x≤
故答案为：x
【点评】本题考查二次根式有意义的条件, 分式有意义的条件。解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件和分式有意义的条件,本题属于基础题型
【考点】平行线的性质，三角形外角的性质
【分析】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质得出答案．
解：∵a∥b，
∴∠3＝∠4，
∵∠1＝∠2+∠4＝∠2+∠3，∠1＝130°，∠2＝30°，
∴130°＝30°+∠3，
解得：∠3＝100°．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确应用平行线的性质是解题关键．
【考点】角平分线的性质，三角形面积公式
【分析】由作图步骤可知BG为∠ABC的角平分线，过G作GH⊥BC,GM⊥AB，可得GM=GH
,然后再结合已知条件和三角形的面积公式求得GH，最后运用三角形的面积公式解答即可．
解：由作图作法可知：BG为∠ABC的角平分线
过G作GH⊥BC,GM⊥AB
∴GM=GH
∴,
故答案为27．
【点评】本题考查了角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线定理是解答本题的关键．
【考点】等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【分析】设∠A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
解：设∠A=x，
∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，
∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，
∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，
∴∠P2P3P4=∠P13P12P10=3x，
…，
∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，
∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，
在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，
即x+7x+7x=180°，
解得x=12°，
即∠A=12°．
故答案为：12°．
【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．
1 、解答题
【考点】二次根式的性质与化简，负整数指数幂，绝对值，有理数的乘方
【分析】根据二次根式的性质化简，负整数指数幂，绝对值和有理数的乘方计算法则求解即可得到答案.
解：
【点评】本题主要考查了二次根式的性质化简，负整数指数幂，绝对值和有理数的乘方计算法则，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
解：，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【考点】分式的化简求值
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将x的值代入计算即可求出值．
解：原式＝
将代入
原式＝
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
【考点】作图—复杂作图，等腰三角形的判定．
【分析】先作∠ABC的平分线BD，再作BC的垂直平分线l，直线l交BD于P点，则P点满足条件．
解：如图，点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
【考点】分式方程的运用
【分析】设出乙的进货价为x，表示出乙的进货数量，表示出甲的进货数量与进货价，根据假的进货数量乘以进货价等于甲的总金额列出方程，解出方程即可．
解：设乙的进货价为x，则乙的进货数量为 件，
所以甲的数量为（+40）件，甲的进货价为x（1+50%）
可列方程为：x（1+50%）（+40）=7200
4800+60x=7200
60x=2400
解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的解，
所以乙的进价为40元/件．
答：乙商品的进价为40元/件．
，+40=120，x（1+50%）=60，
补全进货单如下表：
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
甲 60 120 7200
乙 40 80 3200
【点评】本题考查了分式方程的运用，分式方程的解法的运用及工程问题的数量关系的运用，解答时根据假的进货数量乘以进货价等于甲的总金额列出方程是关键．
【考点】全等三角形的应用；二元一次方程组的应用；三角形三边关系．
【分析】（1）相等．连接AC，根据SSS证明两个三角形全等即可．
（2）分两种情形①当点C在点D右侧时，②当点C在点D左侧时，分别列出方程组即可解决问题，注意最后理由三角形三边关系定理，检验是否符合题意．
解：（1）相等．
理由：连接AC，
在△ACD和△ACB中，
，
∴△ACD≌△ACB，
∴∠B=∠D．
（2）设AD=x，BC=y，
当点C在点D右侧时，，解得，
当点C在点D左侧时，解得，
此时AC=17，CD=5，AD=8，5+8＜17，
∴不合题意，
∴AD=13cm，BC=10cm．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、二元一次方程组、三角形三边关系定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，考虑问题要全面，属于中考常考题型．
【考点】一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用．
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，可求出购买30件这种文化用品所需原价，再结合两超市给出的优惠方案，即可求出在两家超市的购物金额，
（2）设购买x件这种文化用品，当0＜x≤40时，在甲超市的购物金额为10x元，在乙超市的购物金额为8x元，显然在乙超市支付的费用较少，当x＞40时，在甲超市的购物金额为（6x+160）元，在乙超市的购物金额为8x元，分6x+160＞8x，6x+160＝8x及6x+160＜8x三种情况，可求出x的取值范围或x的值，综上，即可得出结论．
解：（1）∵10×30＝300（元），300＜400，
∴在甲超市的购物金额为300元，在乙超市的购物金额为300×0.8＝240（元）．
故答案为：300，240．
（2）设购买x件这种文化用品．
当0＜x≤40时，在甲超市的购物金额为10x元，在乙超市的购物金额为0.8×10x＝8x（元），
∵10x＞8x，
∴选择乙超市支付的费用较少，
当x＞40时，在甲超市的购物金额为400+0.6（10x﹣400）＝（6x+160）（元），在乙超市的购物金额为0.8×10x＝8x（元），
若6x+160＞8x，则x＜80，
若6x+160＝8x，则x＝80，
若6x+160＜8x，则x＞80．
综上，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少，当购买数量为80件时，选择两超市支付的费用相同，当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，根据两超市给出的优惠方案，用含x的代数式表示出在两家超市的购物金额是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【分析】（1）①由△ACB和△DCE是等边三角形知AC＝BC，CD＝CE，∠ACD＝60°﹣∠DCB＝∠BCE，据此即可得证 ，
②由△ACD≌△BCE知∠ADC＝∠BEC＝120°，结合∠CED＝60°可得∠AEB＝60° ，
（2）证△ACD≌△BCE得∠CDA＝∠CED＝60°，由∠ADB+∠CDA＝∠DCE+∠CED知∠ADB＝60°，根据CM⊥BE，且△CDE为等边三角形可得BE＝2DM，BE+BD＝BE＝AD ，
（3）同理知△ACD≌△BCE，据此得∠BEC＝∠ADC，继而知∠CDF+∠CEF＝180°，即∠ECD+∠DFE＝180°，从而得出答案．
（1）①证明：∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°﹣∠DCB＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS） ，
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC＝120°，
又∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝60° ，
（2）∵AC＝BC，CD＝CE，∠ACD＝60°+∠DCB＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA＝∠CED＝60° ，
∵∠ADB+∠CDA＝∠DCE+∠CED，
∴∠ADB＝60°，
又∵CM⊥BE，且△CDE为等边三角形，
∴BE＝2DM，BE+BD＝BE＝AD ，
（3）同理知△ACD≌△BCE，
∴∠BEC＝∠ADC，
∴∠CDF+∠CEF＝180°，
∴∠ECD+∠DFE＝180°，
∴α＝∠ECD＝60°．
【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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