2023北京首都师大附高一 10月月考
数 学
第Ⅰ卷（共 50分）
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分.在每小题给出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项）
1 0,1,2 0,1,2 1 0,1,2 0,1,2 = 2,0,1
1. 下列各式：① ；② ；③ ；④ ，其中错误的个数是
（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2. 命题“ x 2 , x2 2x 0 ”的否定是（ ）
A. x 2 , x2 2x 0 B. x 2 , 0 x 2
C. x 2 , x2 2x 0 D. x 2 , x 0 或 x 2
3. 将下列多项式因式分解，结果中不含因式 ( x + 2)的是（ ）
A. 2x2 + 4x B. 3x2 12
C. x2
2
+ x 6 D. (x 2) +8(x 2)+16
4. 若集合 A ={x∣x 3}, B = x∣x = 2n +1,n Z ，则 A B =（ ）
A. ( 1,1) B. ( 3,3) C. 1,1 D. 3, 1,1,3
5. 如图，I是全集，M、P、S是 I的 3 个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A. (M P) S B. (M P) S C. (M P) S D. (M P) S
1
6. 已知 p ： 1， q ： x (x +1) 0 ，则 p 是 q 的（ ）
x +1
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 下列结论成立的是（ ）
A. 若 ac bc，则 a b B. 若 a b ，则 a2 b2
1 1 1 1
C. 若 a b，则 D. 若 0，则b a 0
a b a b
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k 1 k 1
8. 设集合M = x | x = + ,k Z , N = x | x = + ,k Z ，则（ ）
3 6 6 3
A. M N B. M N C. N M D. M N =
9. 已知 A, B,C 是三个集合，若 A B = B C ，则一定有（ ）
A. A C B. C A C. C A D. A =
10. 设C (M )表示非空集合M 中元素的个数，已知非空集合 A, B .定义
C(A) C(B),C(A) C(B)
A B = ，若 A = 1, 2 ， B = x (x2 + ax)(x2 + ax + 2) = 0 且
C(B) C(A),C(A) C(B)
A B =1，则实数 a的所有取值为（ ）
A. 0 B. 0， 2 2 C. 0，2 2 D. 2 2 ，0，2 2
第Ⅱ卷（共 70分）
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分）
3x + y = 2
11. 方程组 的解集用列举法表示为______________.
2x 3y = 27
12. 若“ x 2m 5 ”是“|x|<1”的必要不充分条件，则实数 m的取值范围是___________
2
13. 设a，b R ，集合 a ,0, 1 = {a,b,0}，则 a + b 的值是______.
14. 已知集合 A = x | a x 3 ， B = x | x 0 ，若 A B = ，则实数 a的取值范围是______．
15. 当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元
1 2
素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合 A = 1, ,1 ， B = x | x = a .若A
2
与 B 构成“全食”，则a的取值范围是______；若A 与 B 构成“偏食”，则a的取值范围是______.
三、解答题（本大题共 4小题，共 45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. 已知全集U = R ，集合 A = {x R | 2x 1 1}，集合 B ={x R | 1 x 2}．
（1）求集合 A B 及 ( U A) B ；
（2）若集合C = {x R | a x 2a,a 0}，且C B ，求实数a的取值范围．
x 2 217. 已知关于 的一元二次方程 x + (2m 3) x +m = 0 有两个实数根x ，x . 1 2
（1）求实数m 的取值范围；
（2）若 x1 + x2 = 6 x1x m2 ，求 的值.
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x +8 2 2
18. 已知全集U = R ， A = x 1 ， B = x x 2mx +m 4 0 ，C = x 1 x 4 ，在①
2 x
x U A；② x A C ；③ x A C ；这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答.
问题：设 p ：______， q ： x B ，是否存在实数m ，使得 p 是 q 的必要不充分条件？若实数m 存在，求
m 的取值范围；若实数m 不存在，说明理由.
19. 已知集合 A = 1,2, ,n （ n 3），表示集合A 中的元素个数，当集合A 的子集 Ai 满足 Ai = 2时，称
Ai 为集合A 的二元子集，若对集合A 的任意m 个不同的二元子集 A A A1， 2 ，…， m ，均存在对应的集合
B 满足：① B A；② B = m；③ B Ai 1（1 i m），则称集合A 具有性质 J .
（1）当n = 3时，若集合A 具有性质 J ，请直接写出集合A 的所有二元子集以及m 的一个取值；
（2）当n = 6 ，m = 4 时，判断集合A 是否具有性质 J ？并说明理由.
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参考答案
第Ⅰ卷（共 50分）
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分.在每小题给出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项）
1. 【答案】A
【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系即可求解.
【详解】由元素与集合的关系可知1 0,1,2 正确， 1 0,1,2 不正确，
由集合之间的关系知 0,1,2 正确，
由集合中元素的无序性知 0,1,2 = 2,0,1 正确，
故错误的个数为 1，
故选：A
【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，集合的子集，集合的相等，属于容易题.
2. 【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结果.
【详解】命题“ x 2 , x2 2x 0 ”是存在量词命题,
又 x2 2x 0 0 x 2 ,
所以其否定为全称量词命题,即为“ x 2 , x 0 或 x 2 ”.
故选:D.
3. 【答案】C
【分析】利用提取公因式法判断 A，利用公式法判断 B，利用十字相乘法判断 C、D.
【详解】对于 A.原式= 2x (x + 2)，不符合题意；
2
对于 B.原式= 3(x 4) = 3(x + 2)(x 2)，不符合题意；
对于 C 原式= (x 2)(x +3)，符合题意；
2 2
对于 D.原式= (x 2+ 4) = (x + 2) ，不符合题意.
故选：C.
4. 【答案】C
【分析】解绝对值不等式得 A，根据交集的定义计算即可.
【详解】解 x 3得 3 x 3，即 A = ( 3,3)，B为奇数集，故 A B = 1,1 .
故选：C
5. 【答案】C
【分析】根据 Venn 图表示的集合运算作答．
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【详解】阴影部分在集合M , P的公共部分，但不在集合S 内，表示为 (M P) S ，
故选：C．
6. 【答案】D
【分析】分别求出 p,q ，再分析出 p,q 的推导关系.
1 1 x
【详解】 1 1 0 0 x (x +1) 0，
x +1 x +1 x +1
所以 p : x 0 或 x 1，而 q : 1 x 0 ，所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件，
故选：D
7. 【答案】D
【分析】根据不等式的性质或举出反例对各选项逐一判断即可.
【详解】选项 A：当 c 0时，若 ac bc，则 a b ，当 c 0 时，若 ac bc，则 a b ，故 A 说法错误；
选项 B：若 a =1，b = 2满足 a b，此时 a2 b2 ，故 B 说法错误；
a b 1 1
1 1
选项 C：当 0或0 a b 时， ，当a 0 b 时， ，故 C 说法错误；
a b a b
1 1
选项 D：当 0时， ab 0，所以不等式同乘 ab 可得b a 0，故 D 说法正确；
a b
故选：D
8. 【答案】B
1 1
【分析】根据集合M , N 的表达式，可求出集合M 是 的奇数倍， N 是 的整数倍，即可得出M , N 的
6 6
关系.
k 1 1 1
【详解】由M = x | x = + ,k Z = x | x = (2k +1) ,k Z 可知，集合M 表示的是 的奇数倍；
3 6 6 6
k 1 1 1
由 N = x | x = + ,k Z = x | x = (k + 2) ,k Z 可知，集合 N 表示的是 的整数倍；
6 3 6 6
即可知M 是 N 的真子集，即M N .
故选：B
9. 【答案】A
【分析】
根据 (B C ) B ，以及 (B C ) C ，结合已知条件，即可判断集合之间的关系.
【详解】因为 (B C ) B ，又 A B = B C ，
故可得 (A B) B ，则 A B ；
因为 (B C ) C ，又 A B = B C ,
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故可得 (A B) C ，则 B C ；
综上所述： A B C .
故选：A.
【点睛】本题考查由集合的运算结果，求集合之间的关系，属基础题.
10. 【答案】D
【分析】由题意可得集合 B 中的元素个数为 1个或 3个，分集合 B 中的元素个数为 1和集合 B 中的元素个数
为 3 两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可.
2
【详解】解：由 x ax x
2 ax 2 0可得 x2 ax 0 或 x2 + ax + 2 = 0，
又因为 A = 1, 2 ， A B =1，
所以集合 B 中的元素个数为 1 个或 3 个，
当集合 B 中的元素个数为 1 时，则 x2 ax 0 有两相等的实数根，且 x2 + ax + 2 = 0无解，
a2 = 0
所以 ，解得 a = 0 ； 2
a 8 0
当集合 B 中的元素个数为 3 时，则 x2 ax 0 有两不相等的实数根，且 x2 + ax + 2 = 0有两个相等且异于
方程 x2 ax 0 的根的解，
a 0
所以 2 ，解得 a = 2 2 或 a = 2 2 ，
Δ = a 8 = 0
综上所述， a = 0 或 a = 2 2 或 a = 2 2 .
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意得出集合 B 中的元素个数为 1 个或 3 个.
第Ⅱ卷（共 70分）
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分）
11. 【答案】 (3, 7)
【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对 (a,b)的形式表
示元素）.
3x + y = 2 x = 3
【详解】因为 ，所以 ，所以列举法表示解集为： (3, 7) .
2x 3y = 27 y = 7
故答案为 (3, 7) .
【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可
将元素表示成有序数的形式： ( x, y) .
12. 【答案】 ( , 2
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【分析】根据题意得到 ( 1,1) (2m 5,+ )，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可.
【详解】 |x|<1, 1
( 1,1) (2m 5,+ ) ,
2m 5 1, m 2 ,
实数m的取值范围是 ( ,2] ,
故答案为： ( ,2] .
13. 【答案】0
【分析】由集合相等的含义，分类讨论元素对应关系即可.
【详解】由集合元素互异性： a 0，
2 a
2 = a a2 = b
又 a ,0, 1 = {a,b,0}，则 或 ，
b = 1 a = 1
a =1 a = 1
解得 或 ，
b = 1 b =1
故 a + b = 0
故答案为：0
14. 【答案】 a 0
【分析】分别讨论 A = 和 A 两种情况求解.
【详解】因为 A B = ，
若a 3，则 A = ，满足题意；
若 a 3，则应满足 a 0 ，所以0 a 3，
综上， a 0 .
故答案为： a 0 .
1
15. 【答案】 ①. a |a 0或 a =1 ②.
4
【分析】分情况解集合 B ，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可.
【详解】由 B = x | x2 = a 可知，当 a<0时， B = ，此时 B A；
当 a = 0 时， B = 0 ，此时 A B = ，
当 a 0 时， B = a , a ；
1
又 A = 1, ,1 ，若A 与 B 构成“全食”，则 B A，
2
当 a<0时，满足题意；当 a = 0 时，不合题意；
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当 a 0 时，要使 B A，则 B = 1,1 ，即 a =1，解得 a =1；
综上，A 与 B 构成“全食”时， a的取值范围是 a |a 0或 a =1 ；
若A 与 B 构成“偏食”时，显然 a 0 时，不满足题意，
1 1 1 1
当 a 0 时，由 A B ，所以 B = , ，即 a = ，解得a = ，
2 2 2 4
1
此时 a的取值范围是 .
4
1
故答案为： a |a 0或 a =1 ；
4
三、解答题（本大题共 4小题，共 45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. 【答案】（1） A B = ( 1,1]， U A B = ( 1,+ )；
（2） (0,1]
【分析】（1）解一元一次不等式求集合 A，再应用集合的交并补运算求 A B 及 ( U A) B .
（2）由集合的包含关系可得 2a≤2，结合已知即可得 a的取值范围．
【小问 1 详解】
由 2x 1 1得： x 1，所以 A = ( ,1]，则 U A = (1,+ )，
由 B = ( 1,2]，所以 A B = ( 1,1]， U A B = ( 1,+ )．
【小问 2 详解】
因为C B 且 a 0 ，
所以 2a≤2，解得 a 1．
所以 a的取值范围是 (0,1]．
3
17. 【答案】（1）m
4
（2）m = 1
【分析】（1）根据根的判别式列不等式，然后解不等式即可；
（2）根据韦达定理得到 x1 + x2 = 2m+ 3， x1x2 = m
2
，然后代入求解即可.
【小问 1 详解】
2 3
因为有两个实根，所以 = (2m 3) 4m2 = 12m+9 0 ，解得m .
4
【小问 2 详解】
由题意得 x1 + x2 = (2m 3) = 2m+ 3 x x = m
2
， 1 2 ，
所以 2m + 3 = 6 m2 ，整理得 (m 3)(m+1) = 0，解得m = 3或-1，
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3
因为m ，所以m = 1 .
4
18. 【答案】答案见解析
【分析】分别求解集合 A, B ，并求解三个条件的集合，再根据必要不充分条件，转化为集合的包含关系，
即可列式求解.
x +8 x +8 x +3
【详解】不等式 1 1 0 0，即 (x +3)(x 2) 0，
2 x 2 x x 2
解得： 3 x 2 ，即 A = x 3 x 2 ，
x2 2mx +m2 4 0 x (m 2) x (m+ 2) 0，
解得：m 2 x m + 2，即 B = x m 2 x m+ 2 ，
若选①， U A ={x x 3或 x 2}，
p : x U A ={x x 3或 x 2}，q : x B = x m 2 x m+ 2 ，
若 p 是 q 的必要不充分条件，则 B U A ,
即m + 2 3或m 2 2 ，解得：m 5或m 4；
所以存在实数m ，使得 p 是 q 的必要不充分条件，m 的范围为m 5或m 4；
若选②， A C = x 1 x 2 ，
p : x A C = x 1 x 2 ， q : x B = x m 2 x m+ 2 ，
若 p 是 q 的必要不充分条件，则 B (A C ) ,
m 2 1
则 ，解集为 ；
m+ 2 2
所以不存在实数m ，使得 p 是 q 的必要不充分条件；
若选③， A C = x 3 x 4 ，
p : x A C = x 3 x 4 ，q : x B = x m 2 x m+ 2 ，
若 p 是 q 的必要不充分条件，则 B (A C ) ,
m 2 3
则 ，解得： 1 m 2 ；
m+ 2 4
所以存在实数m ，使得 p 是 q 的必要不充分条件，m 的取值范围为 1 m 2 ；
19. 【答案】（1）答案见解析
（2）不具有，理由见解析
【分析】（1）根据集合A 具有性质 J 的定义即可得出答案；
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（2）当 n = 6 ，m = 4 时，利用反证法即可得出结论.
【小问 1 详解】
当 n = 3时， A = 1,2,3 ，
集合A 的所有二元子集为 1,2 , 1,3 , 2,3 ，
则满足题意得集合 B 可以是 1 或 2 或 3 ，此时m =1，
或者也可以是 1, 2 或 1,3 或 2,3 ，此时m = 2 ；
【小问 2 详解】
当 n = 6 ，m = 4 时， A = 1,2,3,4,5,6 ，
假设存在集合 B ，即对任意的 A1, A2 , A3, A4 , B = 4, B Ai 1(1 i 4)，
则取 A1 = 1,2 , A2 = 3,4 , A3 = 5,6 , A4 = 2,3 ，（ A4 任意构造，符合题意即可）
此时由于 B = 4 ，由抽屉原理可知，必有 B Ai = 2(2 i 3)，
与题设矛盾，假设不成立，
所以集合A 是不具有性质 J .
【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念
的理解与把握是解题的关键.
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