2024届高三年级第二学期入学测试数学模拟试题
本试卷共 4 页，22小题，满分 150分.考试用时 120分钟.
一 选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合 A 1,0,1,2 ,B {x∣0 x 3}，则 A B （ ）
A. 1,1 B. 1,2 C. 1,0,1 D. 0,1,2
2.若复数 z满足 1 i z 4 2i（ i为虚数单位），则 z的共轭复数 z （ ）
A.3 i B.3 i C.1 3i D.1 3i
3.已知 tan 2，则 cos2 （ ）
3 3 4 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
a
4. 2,1 ,b x, 2 a
已知 ，若 ∥b，则 x （ ）
A.1 B.-1 C.4 D.-4
5.白酒又名烧酒 白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用
浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图 1是某白酒杯，可将它近
似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图 2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体
积为（ ）
55 cm3 51 cm3 47 43 A. B. C. cm3 D. cm3
6 6 6 6
6.若正实数m,n满足m n 2，则下列不等式恒成立的为（ ）
A. lnm lnn 0 1 1B. 2
m n
C.m2 n2 2 D. m n 2
2 2
7.已知椭圆C : x y 1(a b 0) 的右焦点为 F ，过原点的直线 l与C交于 A,B两点，若2 2 AF BF，且a b
AF 3 BF ，则C的离心率为（ ）
A. 10 B. 10 2 1C. D.
4 5 5 3
8.已知点 A在直线 x 2上运动，若过点 A恰有三条不同的直线与曲线 y x3 x相切，则点 A的轨迹长度为
（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
二 多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分.已知各位评委对某名
选手的打分如下：
45 48 46 52 47 49 43 51 47 45
则下列结论正确的为（ ）
A.平均数为 48 B.极差为 9
C.中位数为 47 D.第 75百分位数为 51
f x cos 2x 0 10.已知函数 2 的图像关于直线 x 对称，则（ ） 6
f 1A.
6 2
B. f x 在区间 ,
单调递减
4 6
f x C. 在区间 ,
恰有一个极大值点
2 2
D. f x 在区间 0, 有两个零点
3
11.已知抛物线C : y2 2px(p 0)的焦点为 F ，淮线为 l，过F 的一条直线与C交于 A，B两点，若点M
在 l上运动，则（ ）
A.当 AM AF 时， AM l
B.当 AM AF MF 时， AF 2 BF
C.当MA MB时， A,M ,B三点的纵坐标成等差数列
D.当MA MB时， AM BM 2 AF BF
12.在四面体 ABCD中，有四条棱的长度为 1，两条棱的长度为m，则（ ）
A.当 AB AD m时， AC BD
B. m
2 2
当 AB CD m时，四面体 ABCD的外接球的表面积为
2
C.m
3
的取值范围为 0, 2 D.四面体 ABCD体积的最大值为 12
三 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
6
13. x
1
x2
的展开式中常数项为__________（用数字作答）.
14.记 Sn为等比数列 an 的前 n项和，若 a3 a1 3,a4 a2 6，则 S5 __________.
15.已知定义在R上的函数 f x ，满足 f x 2 f x 2 ，当 x 0,2 时， f x 4x 2 x ，若方程
f x a 11 在区间 , 内有实数解，则实数a的取值范围为__________.
2
16.已知线段 AB是圆C : (x 1)2 (y 1)2 4上的一条动弦，且 AB 2 3，设点O为坐标原点，则
OA OB 的最大值为__________；如果直线 l1 : x my 3m 1 0与 l2 :mx y 3m 1 0相交于点M ，
则MA MB的最小值为__________.
四 解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
a
已知数列 an 满足 a1 1,a nn 1 n N*an 1
.
1
（1）证明：数列 是等差数列，并求数列 an 的通项公式；
an
（2）设bn anan 1，求数列 bn 的前 n项和Tn .
18.（12分）
记 ABC的内角 A,B,C 1的对边分别为 a,b,c，且bcosA a c .
2
（1）求 B；
（2）若 c 2a，且b 3 3，求 ABC的面积.
19.（12分）
如图，已知三棱锥 P ABC的三个顶点 A,B,C在圆O上， AB为圆O的直径， PAC是边长为 2的正三角
形，且平面 PBC 平面 PAC .
（1）证明：平面 PAC 平面 ABC；
（2）若 BC 2 3，点 E为 PB的中点，点 F 为圆O上一点，且 F 与C位于直径 AB的两侧，当 EF∥平
面 PAC 时，求平面 EFB与平面 ABC的夹角的余弦值.
20.（12分）
甲参加某多轮趣味游戏，在 A,B两个不透明的盒内摸球.规定在一轮游戏中甲先在 A盒内随机取出 1个小球放
入B盒，再在 B盒内陏机取出 2个小球.若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量
始终如下表（小球除颜色外大小质地完全相同）：
红球 蓝球 白球
A盒 2 2 1
B盒 2 2 1
（1）求在一轮游戏中甲从 A,B两盒内取出的小球均为白球的概率；
（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从 B盒内取出的小球均为红球，则甲获得 5分；若从 B盒内取出的小球
中只有 1个红球，则甲获得 3分；若从 B盒内取出的小球没有红球，则甲获得 1分.
（i）记甲在一轮游戏中的得分为 X ，求 X 的分布列；
（ii）假设甲共参加了 5轮游戏，记 5轮游戏甲的总得分为Y，求 E Y .
21.（12分）
已知 f x axe2x a R .
（1）当 a 0时，讨论 f x 的单调性；
（2）若关于 x的不等式 f x 2x lnx 0恒成立，求实数a的取值范围.
22.（12分）
x2 y2
已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的离心率为 2，且C的一个焦点到其一条渐近线的距离为 1.a b
（1）求C的方程；
（2）设点 A为C的左顶点，若过点 3,0 的直线 l与C的右支交于P,Q两点，且直线 AP, AQ与圆
S
O : x2 y2 a2 分别交于M ,N两点，记四边形 PQNM 的面积为 S1， AMN
1
的面积为 S2，求 S 的取值范2
围.
2024届高三年级第二学期入学测试数学模拟试题
参考答案及评分标准
本试卷 22小题，满分 150分.
一 选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C D B A D
8.解：设点 A 2,a ，过点 A的直线 l与曲线 y x3 x相切于点 B x0 , y0 ，
y 3x2 1, l 2的方程为 3x0 1 x x 30 y x0 x0 ，
3x20 1 2 x0 a x30 x0 ，化简得 a 2x30 6x20 2，
设 g x 2x3 6x2 2, g x 6x2 12x，
g x 在区间 ,0 , 2, 上单调递减，在区间 0,2 上单调递增，
若过点 A恰有三条不同的直线与曲线 y x3 x相切，
满足条件的 x0恰有三个， g 0 a g 2 ，即 2 a 6，则点 A的轨迹长度为 8.
二 多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
题号 9 10 11 12
答案 BC AC ACD ABD
11.解：（1）考查选项A：由抛物线定义可知，若 AM AF ，则 AM l，故选项A正确；
（2）考查选项B：当 AM AF MF 时， AMF为正三角形， 直线 AB的倾斜角为 ，
3
设直线 AB的方程为 y 3
x p 2
, A x1, y1 ,B x2, y2 ，
y 3 x p
2
, 2p 3p
由 可得 y2 y p2 0, y1 3p, y2 ，
y
2 2px, 3 3
AF y
1 3，故选项 B错误；
BF y2
p
（3）考查选项C ：过点 A,B作直线垂直于 l，垂足分别为 A ,B ，由（2）可知 A , y
,B p
2 1
, y ，
2 2
作 AB的中点 N , MA MB, MN
1
AB ，
2
由定义可知 AB AF BF AA BB , MN 1 AA BB , M 为 A B 的中点，
2
A,M ,B三点的纵坐标成等差数列，故选项C正确；
p
（4）考查选项D：设M , y2 0
，直线MF的斜率为 k1，直线 AB的斜率为 k2，
y y y y y y 2pk 01 p p
0 k 1 2 1 22
则 p ，由（2）可知 x1 x2 y
2 y2
1 2
y1 y2 ，
2 2 2p 2p
由（3）可知 y1 y2 2y0 , k
2p p y p
2 , k k 0 1, MF ABy1 y
1 2
2 y0 p y
，
0
MA MB, AM BM MF AB 2又 ，且 |MF | AF BF ，
由基本不等式可得 AM BM MF AB AF BF AF BF 2 AF BF ，
故选项 D正确.
三 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
0, 3 13.15 14.31 15. 16.2 2 2，6 4 2 . 4
16.解：设D为 AB中点，则 CD 1, 点D的轨迹方程为 (x 1)2 (y 1)2 1，
OA OB 2 OD ，则最大值为 2 2 2, l1 l2，且 l1过定点 1, 3 , l2过定点 3, 1 ，
点M 的轨迹为 (x 2)2 (y 2)2 2，
2 2 MA MB MD DA MD DB MD DA MD DA MD DA ，
MA MB |MD |2 3, MD (1 2)2 (1 2)2 1 2 2 2 1，
MA MB |MD |2 3 (2 2 1)2 3 6 4 2, MA MB 的最小值为6 4 2 .
四 解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
a
17.解：（1）证明： an 1 nan 1
，
1 1 an 1 1 1
an 1 an an an
a 11 1, 数列 a
是以 1为首项，1为公差的等差数列，
n
1
1 n 1 n 1
a ，则 an .n n
（2） bn a a
1
n n 1, bn n n 1 ，
b 1 1 n ，n n 1
1 1 1 1 1 1 n
T n 1 1 , T .
2 2 3 n n 1 n 1 n n 1
a b c 1
18.解：（1）由正弦定理 及条件，得 sinBcosA sinA sinC ，
sinA sinB sinC 2
又 sinC sin A B sinAcosB sinBcosA，
sinBcosA 1 sinA sinC sinAcosB sinBcosA ，
2
1
sinA sinAcosB
2
sinA 0, 1 cosB ，
2
0 B , B .
3
（2）记 ABC的面积为 S，由余弦定理b2 a2 c2 2accosB，
B 及 ，可得a2 c2 ac 27，
3
将 c 2a代入上式，得 a2 9，故 a 3,c 6，
S 1 acsinB 9 3 .
2 2
19.证明：（1）作 PC的中点D, PAC为等边三角形， AD PC，
平面 PBC 平面 PAC ，平面 PBC 平面 PAC PC, AD 平面 PBC ，
BC 平面 PBC, BC AD，
AB为圆O的直径， BC AC，
又 AC AD A, BC 平面 PAC ，
BC 平面 ABC, 平面 PAC 平面 ABC .
（2）（法一）由三角形中位线的性质可知 EO∥ AP，
又 EO 平面 PAC, AP 平面 PAC, EO∥平面 PAC ，
EF∥平面 PAC,EO EF E, 平面 EOF ∥平面 PAC ，
平面 EOF 平面 AFBC FO，平面 PAC 平面 AFBC AC, FO∥AC，
由题可知 BC 2 3, AB 4，取 AC中点M 连接 PM ，则 PM AC, 平面 PAC 平面 AFBC AC，
由（1）可知 PM 平面 ABC，如图 1建立空间直角坐标系，
P 0,0, 3 , A 1,0,0 ,B 1,2 3,0 ,E 1 , 3,
3
2 2
,F 2, 3,0 ，
BF 3, 3,0 ,EF 5 ,0,
3
，
2 2
3x 3y 0,
设平面BEF的一个法向量m x, y, z ，则
5x 3z 0,
令 x 3，则 y 3, z 5, m
3,3,5 ，
由（1）可知平面 ABC的一个法向量 n 0,0,1 ，
设平面BEF与平面 ABC的夹角为 ，
m cos n
5 5 37
则 ，m n 37 37
5 37平面 BEF与平面 ABC的夹角的余弦值为 .
37
（法二）由 BC 2 3, AB 4，取 AC中点M 连接 PM ，则 PM AC，
平面 PAC 平面 AFBC AC，由（1）可知PM 平面 ABC，如图 1建立空间直角坐标系，
P 0,0, 3 , A 1,0,0 ,B 1,2 3,0 ,E 1 3 , 3, ,F 2, 3,0 ，
2 2
令 F x, y,0 , EF x 1 , y 3,0
，而平面 PAC 的一个法向量 0,1,0 ，
2
在平面 ABC内，圆O的方程为 x2 (y 3)2 4，且 EF∥平面 PAC ，
x2 (y 3)2 4
y 3 0
x 0, y 0，则 x 2, y 3, z 0, F 2, 3,0 ，
5 BF 3, 3,0 ,EF ,0,
3
，
2 2
3x 3y 0,
设平面BEF的一个法向量m x, y, z ，则
5x 3z 0,
令 x 3，则 y 3, z 5, m
3,3,5 ，
n 由（1）知平面 ABC的一个法向量 0,0,1 ，
m n 5 5 37
设平面BEF与平面 ABC的夹角为 ，则 cos ，m n 37 37
平面 BEF 5 37与平面 ABC的夹角的余弦值为 .
37
（法三）如图 2，由三角形中位线的性质可知 EO∥ AP，
又 EO 平面 PAC, AP 平面 PAC ，
EO∥平面 PAC, EF∥平面 PAC,EO EF E，
平面 EOF ∥平面 PAC ，
平面 EOF 平面 AFBC FO，
平面 PAC 平面 AFBC AC, FO∥AC，
由题可知 BC 2 3, AB 4，取 AC中点M 连接 PM ，
则PM AC, 平面 PAC 平面 AFBC AC，
由（1）可知 PM 平面 ABC，连接 BM ，过点E作 EH∥PM ，
H 为 BM 的中点，且EH 平面 ABC，
BF 平面 ABC, EH BF ，过点H作HN BF ，垂足为 N ，连接 EN , EH HN H，
BF 平面 ENH , EN BF，则 ENH 为平面 EFB与平面 ABC的夹角，
5
在 BHF中， FH , BFH , HN FHsin
5
，
2 6 6 4
5
EH 1 3 EN
37 ,cos ENH 4 5 37 PM , 由勾股定理可得
2 2 4
，
37 37
4
平面 BEF与平面 ABC 5 37的夹角的余弦值为 .
37
20.解：（1）记“在一轮游戏中甲从 A,B两盒内取出的小球均为白球”为事件C，
1 C 2 1
由条件概率可知P C 22 ，5 C6 75
1在一轮游戏中甲从 A,B两盒内取出的小球均为白球的概率为 .
75
（2）（i）由题可知 X 可以取1,3,5，
2 C2 2 2
P X 1 3 2 C 1 C 82 42 42 ，5 C6 5 C6 5 C6 25
2 C1C1 2 C1C1 1 1P X 3 3 3 2 4 1 C 2C4 14
5 C2 2 2
，
6 5 C6 5 C6 25
2 2 2
P X 5 2 C 2 C 1 C 3 3 2 2 ，
5 C2 5 C2 26 6 5 C6 25
随机变量 X 的分布列为
X 1 3 5
8 14 3
P
25 25 25
E X 5 3 3 14 1 8 13（ii）由（i）可知 ，
25 25 25 5
每轮游戏的结果相互独立，且甲共参加了 5轮游戏，
E Y 5E X 13 .
21. 2x 2x解：（1） f x a e xe 2 a 2x 1 e2x ，
1 1当 a 0时，由 f x 0，解得 x ，由 f x 0，解得 x ，
2 2
1 1
当 a 0时，由 f x 0，解得 x ，由 f x 0，解得 x ，
2 2
1 1 当 a 0时， f x 的单调增区间为 , ，单调减区间为 , ，
2 2
1 1
a 0 当 时， f x 的单调增区间为 , ，单调减区间为 , .
2 2
（2）由 f x 2x lnx 0，得 axe2x 2x lnx 0，……①
2x
（法一）令 g x axe2x 2x lnx 1 1 2x axe 1，则 g x a 1 2x e2x 2 ，
x x
a 0 g 1 ae2当 时， 2 0不满足条件， a 0不成立，
当 a 0时，令 k x axe2x 1,k x a 1 2x e2x 0，
k x 1,k 1
2
当 x 0 时，
e a 1 0 ，
a
x 0 0,
1 2x
，使得 k x0 0，即 ax 0
a 0
e 1，
当 x 0, x0 时， k x 0，当 x x0 , 时， k x 0，
g x 在区间 0, x0 上单调递减，在区间 x0 , 上单调递增，当 x x0时， g x 取得最小值 g x0 ，
2x 2x
由 ax e 00 1，取对数得 lna lnx0 2x0 0，则 g x0 ax e 00 2x0 lnx0 1 lna，
要使不等式①恒成立，需1 lna 0，解得 a 1 ，
e
实数 a 1的取值范围是 a .
e
2x lnx 2x lnx
（法二） x 0, 由（1）解得 a
xe2x
，令 h x 2x ，xe
2 1 2x xe 2x lnx e2x 2xe2x
则 x 2x 1 1 2x lnxh x ，
2x 2 x2e2xxe
令 x 1 2x lnx, x 1 2 0, x 在区间 0, 上单调递减，
x
1 ln2 0, 1 1 0 ，
2
x 10
,1 ，使得 x 0，即1 2x lnx 0，
2 0 0 0
且当 x 0, x0 时， x 0，当 x x0 , 时， x 0，
h x 在区间 0, x0 上单调递增，在区间 x0 , 上单调递减，当 x x0时， h x 取得最大值 h x0 ，
2x lnx 1
由1 2x lnx 0 x e2x，得 00 0 0 e，则 h x 0 00 2x x 00e e
，
1实数 a的取值范围是 a .
e
（方法三）先证明不等式 ex x 1（等号在 x 0时取得）成立，
u x ex x 1 u x ex设 ，则 1，
当 x 0时，u x 0, x 0时，u x 0，
u x u 0 0，即不等式 ex x 1成立，
2x lnx 2x lnx 2x lnx 1
则 2x xe e e2x lnx 1 e 2x lnx e ，
根据法二的证明，（评分标准参照法二）
x lnx 2x 1 0 2x lnx 1存在实数 0使得 0 0 成立，则上式等号能够取得， xe2x
的最大值为 ，
e
1
因此，实数 a的取值范围是 a .
e
22.解：（1）考虑右焦点到一条渐近线的距离，
由题可知C的一条渐近线方程为bx ay 0，右焦点为 c,0 ，
bc a 0
右焦点到渐近线的距离 d ，
a2 b2
c2 a2 b2 , d b，则依题意b 1，
c a2 b2
由离心率 e 2，有 2，解得 a 1，a a
双曲线C的方程为 x2 y2 1.
（2）设直线 l的方程： x ty 3,P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，
x ty 3,
由 2 22 2 得 t 1 y 6ty 8 0，
x y 1,
要使直线 l与双曲线C的右支交于两点，
t 2 1 0,
需 Δ ( 6t)2 32 t 2 1 0,解得 1 t 1,
y 8
1
y2 t 2
0,
1
A点坐标为 1,0 ，
k y1 y2 y1y2AP kAQ x1 1 x2 1 ty1 4 ty2 4
y y ，
1 2
t 2 y1y2 4t y1 y2 16
将 y y 6t 81 2 2 , y1y2 代入，t 1 t 2 1
8
2
得 kAP kAQ t 1
t 2 8 2 4t
6t
2 16t 1 t 1
8 1 .
2 2 2 8t 24t 16t 16 2
设 AP : x m1y 1, AQ : x m2y 1，且 m1 1, m2 1，
1 1 1
，即m1 m2 2，故 m1 m2 2m ，1 m2 2
m 22 1, 1 m 2m 1 ，1
x m1y 1,
2 2由 2 2 ，得 m 1 y 2mx y 1 1 1y 0，
2m
y 1 y 2m 2P m21 1
，同理可得 Q m22 1
，
x m1y 1,
m2 2由 2 2 得 1 1 y 2m1y 0，
x y 1,
y 2m1 2m2M m2 1，同理可得
yN m2 1，1 2
1
S | AP || AQ | sin PAQ
APQ 2 | AP | | AQ |
S 1 AMN | AM || AN | sin MAN |AM | |AN |
2
2m1 2m2
y y m2 2
P Q 1
1 m
2
1
yM y 2m1 2mN 2
m21 1 m
2
2 1
m21 1 m22 1 m2 2 21m2 m1 m22 1
m2 1 m2 1 m2m2 2 21 2 1 2 m1 m2 1
5 m2 m2
1 2
5 m21 m22
2 2
令 n m1 m2 ，由 m1 m2 2,1 m1 2，
n m2 4得 1 4,5 m2 ，1
S 5 n 10
APQ 1,n 4,5
S AMN 5 n 5 n
令 f n 10 1,n 4,5 ，
5 n
f n 在区间 4,5 上为增函数，所以 f n 的取值范围为 9, ，
S1
S
APQ
S AMN S APQ 1, S 1 的取值范围为 8, .
S2 S AMN S AMN S2
