2023-2024学年山西省大同重点中学高二（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的左焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点，，则( )
A. 直线坐标平面 B. 直线坐标平面
C. 直线坐标平面 D. 直线坐标平面
3.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且，则解下个圆环所需的最少移动次数为( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线的焦点在轴上，且焦点到坐标原点的距离为，则抛物线的标准方程为( )
A. B. 或
C. D. 或
5.已知，则圆与直线的位置关系是( )
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定
6.过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为若为坐标原点，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D. 或
7.已知双曲线，抛物线：的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的内切圆半径的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知、，则下列命题中正确的是( )
A. 平面内满足的动点的轨迹为椭圆
B. 平面内满足的动点的轨迹为双曲线的一支
C. 平面内满足的动点的轨迹为抛物线
D. 平面内满足的动点的轨迹为圆
10.若正项数列是等差数列，且，则( )
A. 当时， B. 的取值范围是
C. 当为整数时，的最大值为 D. 公差的取值范围是
11.圆：，抛物线：，过圆心的直线与两曲线的四个交点自下向上依次记为，，，，若，，构成等差数列，则直线的方程可能是( )
A. B.
C. D.
12.已知双曲线过点且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于，两点，分别过点，且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是( )
A. 双曲线的标准方程是
B. 若的中点为，则直线的方程为
C. 若点的坐标为，则直线的方程为
D. 若点在直线上运动，则直线恒过点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列的前项和，则数列的通项公式为______ ．
14.设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为______ ．
15.已知椭圆：的左焦点为，经过原点的直线与交于，两点，总有，则椭圆离心率的取值范围为______ ．
16.在棱长为的正方体中，动点在正方体内切球的球面上，则的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求适合下列条件的曲线方程：
与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程；
渐近线方程为，经过点双曲线的标准方程．
18.本小题分
记为等差数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
求，并求的最小值．
19.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点是的中点．
求到平面的距离；
求证：平面平面D.
20.本小题分
已知数列满足，
记，写出，，并求数列的通项公式；
求的前项和．
21.本小题分
已知抛物线：的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．
若，求的方程；
若，求．
22.本小题分
已知椭圆的离心率，且椭圆经过点．
求椭圆的标准方程；
过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：双曲线可得，则，
所以双曲线的左焦点坐标．
故选：．
利用双曲线的标准方程，直接求解双曲线的左焦点坐标．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中线面的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
平面的一个法向量为，易得，再由线面平行的判定定理得解．
【解答】
解：由，，知，
因为平面的一个法向量为，所以，即，
又平面，
所以直线坐标平面．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查递推式的应用，属于基础题．
本题可根据递推式逐步计算．
【解答】
解：由题意，可知：
，
，
．
故选A．
4.【答案】
【解析】解：由题意得，解得，
所以抛物线的方程为或．
故选：．
根据抛物线的性质求得的值即可求解．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，直线可转化为，
由，得，
所以直线恒过定点，由，
所以点在圆内，
故直线与圆相交．
故选：．
由题意，可判断直线恒过定点，而此点在圆的内部，故可得直线与圆的位置关系．
本题考查直线过定点，考查直线与圆的位置关系，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：在中，因为，
所以，则，
所以，
故选：．
根据题意可得，从而，再由求解．
本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，方程思想，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知，抛物线：的焦点，准线方程为，
为正三角形，
，
设双曲线的一条渐近线方程为，
，
，
双曲线的渐近线方程为
故选：．
先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，再结合正三角形的性质求出点的坐标，进而求出双曲线的渐近线方程．
本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设的内切圆半径为，椭圆方程为，
则，，，即，
又，
所以，
由于，
所以．
故选：．
寻找的内切圆半径与三角形面积之间的关系，根据面积的取值范围可以得到的内切圆半径的取值范围．
本题考查椭圆的几何性质，焦点三角形的内切圆问题，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A，有、，且，由椭圆定义可知选项A正确；
对于选项B，有、，且，轨迹为射线，
不符合双曲线的定义可知选项B错误；
对于选项C，有、，且，轨迹为线段的垂直平分线，
不符合抛物线的定义可知选项C错误；
对于选项D，有、，且，
设点，则，
化简可得，可知选项D正确．
故选：．
由椭圆的定义可直接判定选项A；由双曲线的定义可直接判定选项B；由抛物线的定义可直接判定选项C；设点，列式化简即可判定选项D；
本题考查圆锥曲线定义，轨迹问题，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：当时，公差，，A正确．
因为是正项等差数列，所以，即，且，
所以公差的取值范围是，D错误．
因为，所以的取值范围是，B正确．
，当为整数时，的最大值为，C正确．
故选：．
对于根据等差数列的定义求出公差的值，即可求出；又数列是正项等差数列，根据，及，即可求出公差的取值范围，继而可以判断，，．
本题考查等差数列的性质的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意易知，抛物线：的焦点为圆心，
由，，构成等差数列，
则，，，
令，，
，，
当直线的斜率不存在时，，不适合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
代入抛物线方程得：，
，，
所以直线的方程为或，
故选：．
设出的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理建立关于参数的方程，从而得到结果．
本题考查了直线与抛物线的位置关系，数列与解析几何的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由双曲线过点且与双曲线共渐近线，可设双曲线的方程为，且，
则，即，可得双曲线的方程为，故A错误；
设直线的斜率为，，，由的中点为，可得，，
由双曲线的方程可得，，两式相减可得，
即有，则直线的方程为，化为，故B正确；
在双曲线的方程为的两边，对求导数，可得，即有，
设点的坐标为，可得切线的方程为，
化为，故C正确；
由的方程，设，可得的方程为，设，且，
可得，，则，均在直线上，而过，的直线有且只有一条，
可得直线的方程为，即为，化为，
由，可得，，即有直线恒过定点，故D错误．
故选：．
由共渐近线的双曲线方程的设法，结合代入法，可判断；由点差法和中点坐标公式，可得直线的方程，可判断；在双曲线的方程两边对求导数求得切线的斜率，可得所求切线方程，可判断；分别求得，的方程，代入的坐标，求得直线的方程，由，结合直线恒过定点的求法，可判断．
本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：数列的前项和，
可得时，；
当时，．
则．
故答案为：．
由数列的通项与前项和的关系，化简可得所求通项．
本题考查数列的通项与前项和的关系，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：抛物线，所以焦点为，准线方程为，
当时，所以，因为，所以点在抛物线内部，
如图，
过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，
由抛物线的定义，可知，
故．
即当、、三点共线时，距离之和最小值为．
故答案为：．
过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，根据抛物线的定义可得，当、、三点共线时，小值．
本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：如图所示，设椭圆的右焦点为，则四边形是平行四边形，
，．
设，，
由椭圆的定义可知，，由基本不等式的性质可知，，
在中，由余弦定理知，
，
，
，
，解得，
，
离心率
故答案为：
设椭圆的右焦点为，则四边形是平行四边形，于是把原问题转化为求时，离心率的取值范围；然后在中，结合椭圆的定义、余弦定理和基本不等式列出关于离心率的不等式，解之即可得解．
本题主要考查椭圆的定义、离心率等几何性质，还用到了余弦定理、基本不等式等基础知识点，考查学生灵活运用知识的能力、转化与化归能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，可得正方体内切球的球半径，设正方体的内切球的球心为，中点为，
则，．
所以，
而，可得，
当共线且方向相同时，取得最大值，当共线且方向相反时，取得最小值．
因此，，即的取值范围是．
故答案为：．
作出图形，设正方体的内切球的球心为，中点为，将、用向量、、表示，利用正方体的性质与数量积的运算法则，算出，进而可得所求取值范围．
本题主要考查正方体的性质、空间向量的数量积运算及其性质，考查了等价转化的数学思想，属于中档题．
17.【答案】解：与椭圆有相同的焦点，则椭圆的焦点为，所以，
设椭圆的方程为，将代入可得，，
所以椭圆的标准方程为；
由渐近线方程为，设双曲线的方程为，，
代入点可得，解得，
所以双曲线的方程为：．
即双曲线的标准方程为．
【解析】由题意先求出椭圆的焦点坐标，设出椭圆的标准方程，代入点运算得解；
设出共渐近线的双曲线方程，代入点运算得解．
本题考查椭圆的性质及双曲线的性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：等差数列中，，，
，，
解得，，
；
，，，
，
当时，前项的和取得最小值，为．
【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和公式，属于基础题．
根据，，可得，，求出等差数列的公差，然后求出即可；
由，，，得，由此可求出的最小值．
19.【答案】解：建系如图，则根据题意可得：
，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，取，
到平面的距离为：
；
证明：设平面的法向量为，
由可得，取，
又平面的法向量为，
，，
平面平面D.
【解析】建系，利用向量法，即可求解；
建系，利用向量法，即可证明．
本题考查点面距的求解，面面垂直的证明，向量法的应用，属中档题．
20.【答案】解：因为，，
所以，，，
所以，，
，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以；
由可得，，
则，，
当时，也适合上式，
所以，，
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则的前项和为：
．
【解析】本题考查据数列的递推公式求数列的项、等差数列的判定或证明、等差数列的通项公式、分组并项法求和，属于中档题．
由数列的通项公式可求得，，从而可得求得，，由可得数列是等差数列，从而可求得数列的通项公式；
由数列的通项公式可得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可．
21.【答案】解：设直线，，，
由题意，可得，故，
因为，
所以，
联立，整理得，
可知：，
由韦达定理可知，，
从而，解得，
所以直线的方程为．
设直线，，，
由，可得，
联立，整理得，
可知：，
由韦达定理可知，，
又，解得，
代入抛物线方程得，，
即，，
故．
【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
根据题意，利用抛物线的性质进行求解即可；
由，可得，由根与系数的关系可得，从而解出、两点坐标，进行计算即可．
22.【答案】解：由题意可得：，解得，
所以椭圆的方程为：；
证明：设点，，则，
设直线的方程为，
联立，整理可得，
则，，，得，
由题意，直线的方程为，
令，所以点的横坐标．
所以直线与轴交于定点．
【解析】由椭圆的离心率及过的点的坐标，可得，的值，进而求出椭圆的方程；
设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，设直线的方程，令，可得的横坐标的表达式，将两根之和及两根之积代入可得的横坐标为定值．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
第1页，共1页
