2022-2023学年河南省三门峡市高二（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若数列满足，，则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
3.圆的圆心坐标和半径分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.已知平面、的法向量分别为、，若，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线上点到点的距离为，则点到点的距离为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元． 设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值盈利额等于收入减去成本，则等于( )
A. B. C. D.
7.数列中，，，若，则( )
A. B. C. D.
8.拋物线：的焦点为，过且倾斜角为的直线与拋物线交于，两点，点为拋物线上的动点，且点在的右下方，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
9.记为等差数列的前项和若，，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知点在圆：上，点，，则( )
A. 直线与圆相交 B. 直线与圆相离
C. 点到直线距离大于 D. 点到直线距离小于
11.如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点则满足的是( )
A. B.
C. D.
12.如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，下列式子正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13.已知直线：和：互相平行，则实数的值为______ ．
14.已知点，平面过，，三点，则点到平面的距离为 ．
15.设双曲线的一条渐近线为，则的离心率为______ ．
16.过作圆与圆的切线，切点分别为，，若，则的最小值为______ ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.已知等差数列满足：，，其前项和为．
Ⅰ求数列的通项公式及；
Ⅱ若，求数列的前项和．
18.已知抛物线：的焦点与曲线：的右焦点重合．
求抛物线的标准方程；
若抛物线上的点满足，求点的坐标．
19.如图，正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，点为的中点，点在直线上，且．
证明：面；
求平面和平面夹角的余弦值．
20.已知数列的前项和为，并且满足，．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，求证：．
21.如图，四棱锥中，平面，是边长为的等边三角形，直线与底面所成的角为，，，是棱的中点．
求证：；
在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由．
22.已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．
求椭圆的标准方程；
若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
直线斜率，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：数列满足，，
数列是首项为，公比为的等差数列，
数列的通项公式为，
故选：．
直接根据数列的递推关系式即可求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆的标准方程及其配方法，属于基础题．
由方程可得，即可得到圆心的坐标和半径．
【解答】
解：由方程可得，
圆心坐标为，半径为．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，因为，则有，
那么，
解得．
故选：．
根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得，解可得答案．
本题考查平面垂直的判断，涉及平面向量的法向量，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：双曲线中，，故，
设，，则，为双曲线的焦点，
则由双曲线的定义，知，而，，
所以或．
故选：．
利用双曲线的定义可得答案．
本题考查双曲线的定义，是一个基础题，解题的关键是注意有两种情况，因为这里是差的绝对值是一个定值，不要忽略绝对值．
6.【答案】
【解析】解：设该设备第年的运营费为万元，则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，
则该设备使用了年的运营费用总和为，
设使用年的盈利总额为，则，
年平均盈利额当且仅当时取等，
当时，年平均盈利额取得最大值万元，
故选：．
根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论．
本题主要考查与数列有关的应用问题，根据条件利用等差数列的通项公式求出盈利总额的表达式是解决本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得．
故选：．
由已知得数列是以为首项，以为公比的等比数列，求出，再利用等比数列求和可得答案．
本题考查了等比数列的定义，等比数列前项和公式，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：拋物线：的焦点为，
过且倾斜角为的直线的方程为，
联立，可得，
解得，，
则，
设，，
由到直线的距离，
当时，取得最大值，
所以的面积的最大值为，
故选：．
求得抛物线的焦点坐标，可得直线的方程，与抛物线的方程联立，求得交点的横坐标，再由弦长公式可得，由点到直线的距离公式和二次函数的最值求法，求得到直线的距离的最大值，结合三角形的面积公式，可得所求最大值．
本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，，
，，
解得：，，
故选：．
利用等差数列的通项公式、求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由：知，圆心为，半径，
直线的方程为，即，
则圆心到直线距离．
所以直线与圆相离，故A错误，B正确；
由圆心到直线的距离知，
圆上的点到直线距离的最大为，最小值为，故C，D正确．
故选：．
根据圆心到直线的距离判断，再由圆上点到直线距离的最值判断即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，设正方体棱长为，与所成角为，
则，不满足，故A错误；
对于，如图，作出空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，，，
，，
，不满足，故B错误；
对于，如图，作出空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，，，
，，
，满足，故C正确；
对于，如图，作出空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，，，
，，
，不满足，故D错误．
故选：．
对于，设正方体棱长为，与所成角为，求出，不满足；对于，，，作出空间直角坐标系，设正方体棱长为，利用向量法进行判断，即可．
本题考查空间中线与线的位置关系，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直的方法是解题的关键，考查空间立体感和运算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：如图：
对于，由图可知，，故A不正确；
对于，，故B正确；
对于，，由， 知，即，从而，即：，故C不正确，D正确．
故选：．
根据题意得，再结合不等式的性质即可得答案．
本题考查知识的迁移与应用，考查分析问题与处理问题的能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：当时，两条直线化为：：；：，此时两条直线重合，应舍去．
时，直线的方程分别化为：直线：，：．
，
，
解得．
综上可知：
分类讨论：当时，直接验证即可．时，直线的方程分别化为：直线：，：由，可得，解得即可．
本题考查了两条直线平行于斜率的关系、分类讨论方法，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查点面距离的计算，属于基础题．
先求得平面的一个法向量，然后由求解．
【解答】
解：因为，，，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
所以则点到平面的距离为，
故答案为：．
15.【答案】或
【解析】解：当该双曲线焦点位于实轴时，则有，，
因为该双曲线一条渐近线为，
所以有，
即此时双曲线的离心率为；
当该双曲线焦点位于虚轴时，则有，，
因为该双曲线一条渐近线为，
所以有，
即此时双曲线的离心率为．
故答案为：或．
根据双曲线焦点的位置，结合双曲线方程与离心率公式分类讨论进行求解即可．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：圆，显然，半径为，
圆，显然，半径为，
因为，分别是圆，圆的切线，
所以，，
因为，
所以有，
即，
化简，得代入中，
得，
所以当时，的最小值为，
故答案为：．
利用圆切线的性质，结合代入法、二次函数的性质进行求解即可．
本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，则，
解得：，，
，
．
，
数列的前项和为
．
【解析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
利用“裂项求和”方法即可得出．
18.【答案】解：因为曲线：的右焦点为，
所以抛物线：的焦点，
所以，可得，
所以抛物线的标准方程为；
设点的坐标为，
若抛物线上的点满足，所以，
所以，则，
所以点坐标为
【解析】本题主要考查抛物线的定义和性质，考查双曲线的性质，考查计算能力，属于基础题．
根据题意可求得抛物线的焦点坐标，从而可求得，从而可得抛物线的标准方程；
设点的坐标为，由抛物线的性质可求得，代入抛物线方程中可求得，从而可得点坐标．
19.【答案】解：证法一：正中，点为的中点，，
平面平面，且平面平面，面，
面，面，，
，且，，面
证法二：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，设，
则，，
，，
，，
设面的法向量，
则，取，则，
，面
由知，，，，
设面的法向量为，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面和平面夹角为，
则平面和平面夹角的余弦值为．
【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
法一：推导出，从而面，，再由，能证明面
法二：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明面
求出面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面和平面夹角的余弦值．
20.【答案】解：，
当时，，
当时，，即，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
．
证明：，
，
，
得：，
，
，，
．
【解析】通过推出数列是以为首项，为公差的等差数列，求解通项公式．
利用错位相减法转化求解数列的和即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：平面，平面，平面，平面，
，，，
直线与底面所成的角为，，
是边长为的等边三角形，，
又，．
在中，，，，
在三角形中，，，，
，可得，
又，、平面，
平面，
又平面，
；
解：假设在棱上存在一点，满足题意，则，
由可知，，，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，
建立空间直角坐标系．
则，，，，，
设，则，
又，
，得，，，
，．
设平面的法向量为，
则有，
取，得，
而平面的一个法向量为，
，
解得，即，所以是的中点，
故在棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．
由平面，得，，，再由直线与底面所成的角为，得，在等边三角形中，求得，进一步得到，求解三角形可得，由线面垂直的判定可得平面，则；
假设在棱上存在一点，满足题意，则，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．求出，，，，的坐标．然后分别求出平面与平面的一个法向量，由二面角的余弦值为列式求得，可得在棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
22.【答案】解：椭圆离心率为，即，
点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，
，，，故椭圆方程为．
由直线与椭圆交于，两点，
联立，得，
设，，则，
，，
所以，
，
，
原点到的距离，
为定值．
【解析】通过椭圆的离心率，结合点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，求出，，即可得到椭圆方程．
由直线与椭圆交于，两点，联立，得，设，，利用以及韦达定理，通过斜率乘积推出，利用弦长公式以及点到直线的距离求解三角形的面积，推出结果即可．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
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